Derivadas: reglas, cadena y ejercicios resueltos

Lo esencial

La tasa de variación media compara dos valores de una función. La derivada en un punto es el límite de esa tasa cuando el incremento tiende a cero, si existe y es finito. Su interpretación geométrica es la pendiente de la tangente; no la altura del punto.

Empieza por la operación exterior. Una suma se deriva término a término; un producto necesita dos términos y un cociente conserva un orden concreto de resta. En una composición, deriva la capa exterior y multiplica por la derivada de la interior. Si hay varias capas, repite la regla de la cadena.

Reglas de derivación; u y v son funciones derivables y c es constante

Función	Derivada	Condición o recordatorio
$c$	Derivada $0$	Condición o recordatorioConstante
$x^n$	Derivada $nx^{n-1}$	Condición o recordatorioDonde la potencia sea derivable
$u+v$	Derivada $u'+v'$	Condición o recordatorioSuma término a término
$uv$	Derivada $u' v+uv'$	Condición o recordatorioNo es el producto de las derivadas
$u/v$	Derivada $\frac{u' v-uv'}{v^2}$	Condición o recordatorio $v\ne0$
$F(u)$	Derivada $F'(u)u'$	Condición o recordatorioRegla de la cadena
$\sqrt{u}$	Derivada $\frac{u'}{2\sqrt{u}}$	Condición o recordatorio $u>0$
$\sin u$	Derivada $\cos(u)u'$	Condición o recordatorioRadianes
$\cos u$	Derivada $-\sin(u)u'$	Condición o recordatorioRadianes
$\tan u$	Derivada $u'/\cos^2u$	Condición o recordatorio $\cos u\ne0$
$e^u$	Derivada $e^u u'$	Condición o recordatorioCadena si procede
$\ln u$	Derivada $u'/u$	Condición o recordatorio $u>0$
$\log_{10}u$	Derivada $\frac{u'}{u\ln10}$	Condición o recordatorio $u>0$

Las funciones trigonométricas se derivan con sus argumentos en radianes. El logaritmo neperiano y el decimal no tienen la misma derivada: el segundo incluye el factor de cambio de base. En el comprobador de esta página, ln significa neperiano, log significa base diez y exp representa la exponencial natural.

Indica el dominio antes de simplificar. No se divide entre cero, el argumento de un logaritmo real debe ser positivo y una raíz cuadrada puede tener puntos del dominio donde no exista derivada finita. Una transformación algebraica no recupera puntos excluidos de la función original.

La tangente se construye con el valor de la función y su derivada en el punto. Para localizar extremos en un intervalo hay que estudiar los candidatos y, si corresponde, los extremos del intervalo; anular la derivada no basta para demostrar un máximo o mínimo.

Ejemplos resueltos

Deriva

f(x)=3x^3-2x^2+4

. Trabaja en

x\in\mathbb{R}

. Justifica las reglas que aplicas.

Aplica la regla de la potencia a los términos variables y deriva la constante como cero.
$f'(x)=3\cdot3x^2-2\cdot2x=9x^2-4x$

Resultado $f'(x)=9x^2-4x$

Deriva

f(x)=\sqrt{2x+3}

. Trabaja en

x>-3/2

. Justifica las reglas que aplicas.

La raíz es una potencia de una función lineal; deriva la función exterior y después la interior.
$f'(x)=\frac{2}{2\sqrt{2x+3}}$
Cancela el factor común. La fórmula de la derivada se usa donde el radicando es positivo.
$f'(x)=\frac1{\sqrt{2x+3}}$

Resultado $f'(x)=\frac1{\sqrt{2x+3}}$

Deriva

f(x)=(x+1)\ln x

. Trabaja en

x>0

. Justifica las reglas que aplicas.

Ambos factores dependen de la variable: se aplica la regla del producto.
$f'(x)=1\cdot\ln x+(x+1)\frac1x$
Divide cada sumando del numerador por la variable para simplificar.
$f'(x)=\ln x+1+\frac1x$

Resultado $f'(x)=\ln x+1+\frac1x$

Ejercicios

De menos a más. «Probar en el comprobador» te lo deja preparado arriba para que lo resuelvas tú y el código lo corrija; la solución está plegada debajo.

Ejercicio 1Nivel 1Comprobado por código
Deriva $f(x)=5x^4-3x+2$ . Trabaja en $x\in\mathbb{R}$ . Justifica las reglas que aplicas.
Ver la solución
1. Deriva cada sumando por separado porque la derivación respeta sumas y constantes multiplicativas.
  $(5x^4)'=5\cdot4x^3$
2. La derivada del término lineal es su coeficiente; la de la constante es nula.
  $f'(x)=20x^3-3$
Ejercicio 2Nivel 1Comprobado por código
Deriva $f(x)=\sqrt{x}+\frac{2}{x}$ . Trabaja en $x>0$ . Justifica las reglas que aplicas.
Ver la solución
1. Escribe la raíz y el recíproco como potencias para aplicar la misma regla.
  $f(x)=x^{1/2}+2x^{-1}$
2. Multiplica por el exponente y réstale una unidad; conserva el signo del exponente negativo.
  $f'(x)=\frac12x^{-1/2}-2x^{-2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{2}{x^2}$
Ejercicio 3Nivel 1Comprobado por código
Deriva $f(x)=\sin x+2\cos x$ . Trabaja en $x\in\mathbb{R}$ ; los ángulos de las funciones trigonométricas se miden en radianes. Justifica las reglas que aplicas.
Ver la solución
1. Deriva la suma término a término con los ángulos medidos en radianes.
  $(\sin x)'=\cos x,\quad (\cos x)'=-\sin x$
2. Mantén el factor constante y el signo negativo que aparece al derivar el coseno.
  $f'(x)=\cos x-2\sin x$
Ejercicio 4Nivel 1Comprobado por código
Deriva $f(x)=\ln x+\log_{10}x$ . Trabaja en $x>0$ . Justifica las reglas que aplicas.
Ver la solución
1. Distingue las bases: ln es el logaritmo neperiano y $\log_{10}$ , el decimal, que se pasa a neperiano cambiando de base.
  $\log_{10}x=\frac{\ln x}{\ln10}$
2. Deriva cada término; el factor de cambio de base es constante.
  $f'(x)=\frac1x+\frac{1}{x\ln10}$
Ejercicio 5Nivel 2Comprobado por código
Deriva $f(x)=(2x-1)^5$ . Trabaja en $x\in\mathbb{R}$ . Justifica las reglas que aplicas.
Ver la solución
1. Reconoce una composición: primero una función lineal y después una potencia.
  $u=2x-1,\quad u'=2$
2. Deriva la potencia exterior y multiplica por la derivada interior para aplicar la cadena.
  $f'(x)=5(2x-1)^4\cdot2=10(2x-1)^4$
Ejercicio 6Nivel 2Comprobado por código
Deriva $f(x)=x^2e^x$ . Trabaja en $x\in\mathbb{R}$ . Justifica las reglas que aplicas.
Ver la solución
1. Hay un producto de dos funciones variables; deriva cada factor manteniendo el otro.
  $f'(x)=2xe^x+x^2e^x$
2. Extrae el factor común para presentar la misma derivada de forma más compacta.
  $f'(x)=e^x(x^2+2x)$
Ejercicio 7Nivel 2Comprobado por código
Deriva $f(x)=\frac{x^2+3}{x-2}$ . Trabaja en $x\ne2$ . Justifica las reglas que aplicas.
Ver la solución
1. Identifica numerador y denominador. En un cociente se conserva el orden de la resta.
  $u=x^2+3,\ u'=2x,\quad v=x-2,\ v'=1$
2. Aplica la regla del cociente; el denominador queda al cuadrado.
  $f'(x)=\frac{2x(x-2)-(x^2+3)}{(x-2)^2}$
3. Simplifica únicamente el numerador sin cambiar el dominio.
  $f'(x)=\frac{x^2-4x-3}{(x-2)^2}$
Ejercicio 8Nivel 2Comprobado por código
Deriva $f(x)=\tan(3x)$ . Trabaja en $\cos(3x)\ne0$ ; los ángulos de las funciones trigonométricas se miden en radianes. Justifica las reglas que aplicas.
Ver la solución
1. La tangente actúa sobre una función lineal, por lo que se necesita la cadena.
  $u=3x,\quad u'=3$
2. Multiplica la derivada de la tangente por la derivada interior y excluye sus polos.
  $f'(x)=\frac3{\cos^2(3x)}$
Ejercicio 9Nivel 3Comprobado por código
Deriva $f(x)=\ln\!\left(\frac{x^2+1}{x+2}\right)$ . Trabaja en $x>-2$ . Justifica las reglas que aplicas.
Ver la solución
1. El numerador es positivo y el argumento del logaritmo debe ser positivo: se trabaja con el denominador positivo.
  $x^2+1>0,\quad x+2>0$
2. En ese dominio, separa el logaritmo del cociente para simplificar la derivación.
  $f(x)=\ln(x^2+1)-\ln(x+2)$
3. Aplica la cadena a cada logaritmo; el numerador de cada fracción es la derivada de su argumento.
  $f'(x)=\frac{2x}{x^2+1}-\frac1{x+2}$
Ejercicio 10Nivel 3Comprobado por código
Deriva $f(x)=\frac{e^{\sin(x^2)}}{1+x^2}$ . Trabaja en $x\in\mathbb{R}$ ; los ángulos de las funciones trigonométricas se miden en radianes. Justifica las reglas que aplicas.
Ver la solución
1. Separa el cociente y observa que su numerador contiene dos composiciones sucesivas.
  $u=e^{\sin(x^2)},\quad v=1+x^2$
2. Deriva desde fuera hacia dentro: exponencial, seno y cuadrado; cada capa aporta un factor.
  $u'=e^{\sin(x^2)}\cos(x^2)\,2x,\quad v'=2x$
3. Introduce esas derivadas en el cociente y extrae el factor común, sin olvidar el cuadrado del denominador.
  $f'(x)=\frac{e^{\sin(x^2)}[2x(1+x^2)\cos(x^2)-2x]}{(1+x^2)^2}$

Así cae en la PAU

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Errores típicos

Entregar solo una fórmula sin justificar el procedimiento: los criterios valoran el razonamiento y penalizan su ausencia.
Criterio de corrección
Confundir la derivada con la recta tangente. La pregunta de tangencia requiere construir la ecuación de la recta.
Criterio de corrección
Buscar el máximo o el mínimo en un intervalo sin comprobar todos los candidatos y sus extremos cuando proceda.
Olvidar multiplicar por la derivada interior en una composición.
Derivar un producto multiplicando las derivadas de sus factores.
Usar la fórmula de ln para el logaritmo decimal, o evaluar logaritmos fuera de su dominio real.

Preguntas frecuentes

¿Cómo sé qué regla de derivación usar?

Mira la operación exterior de la expresión: suma, producto, cociente o composición. Después deriva las partes y aplica la regla de la cadena si dentro de una función aparece otra.

¿Cuándo se usa la regla de la cadena?

Se usa al derivar una función compuesta. La derivada de la capa exterior se evalúa en la interior y se multiplica por la derivada de esta.

¿La derivada de un producto es el producto de las derivadas?

No: hay que sumar dos términos, derivando cada factor mientras se mantiene el otro. Omitir uno de esos términos cambia la función obtenida.

¿Qué diferencia hay entre ln y log al derivar?

En esta página, ln es neperiano y log es decimal. La derivada del logaritmo decimal incluye el factor $1/\ln10$ además del que corresponde al argumento.

¿Una función continua siempre es derivable?

No: la continuidad no garantiza derivabilidad. Pueden existir esquinas, tangentes verticales o extremos del dominio donde no haya derivada finita bilateral.

Fuentes

El comprobador de esta página compara tu derivada con la de f en muchos puntos válidos. Es una comprobación práctica, no una demostración simbólica de que dos expresiones sean iguales ni un análisis completo de derivabilidad.

RD 243/2022, anexo II: Matemáticas I y II, sentido de la medida, cambio; definición, interpretación y aplicaciones de la derivada. Abrir
EvAU Madrid, Matemáticas II, ordinaria 2024: A.2.a, enunciado p. 1, criterios p. 3 y solución p. 4. Abrir
PAU Madrid, Matemáticas II, ordinaria 2025: 2.a, enunciado p. 1, criterios p. 3 y solución p. 4. Abrir
PAU Madrid, Matemáticas II, extraordinaria 2025: 2, enunciado p. 1, criterios p. 4 y solución p. 5. Abrir

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