Física, PAU 2025 de Cataluña: el examen extraordinario resuelto

Escoja UNA de las dos opciones (A o B) y responda a los apartados correspondientes.

OPCIÓN A

Una varilla metálica se desplaza a una velocidad constante de $3{,}00\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ sobre un conductor en forma de U dentro de un campo magnético uniforme $B=0{,}40\,\mathrm{T}$, perpendicular al plano y en el sentido indicado en las figuras. En el instante inicial, la varilla se encuentra a una distancia de $3{,}00\,\mathrm{cm}$ de la parte izquierda del conductor.

a) Calcule el flujo magnético a través del circuito cerrado por la varilla en el instante inicial indicado en la figura $1$. En el momento en que la varilla se pone en movimiento, aparece una corriente inducida en el sentido indicado en la figura $2$. Justifique cuál es el sentido de movimiento de la varilla, a la izquierda o a la derecha, y dibuje el vector de velocidad sobre la figura de la varilla en movimiento. Determine la FEM inducida mientras la varilla se mueve a $3{,}00\,\mathrm{m\,s^{-1}}$. [$1{,}25$ puntos]

b) Considere la situación ilustrada en la figura $2$, en la que la intensidad inducida es de $6{,}00\,\mathrm{mA}$. Justifique si en estas condiciones aparecerá alguna fuerza magnética sobre la varilla. En caso afirmativo, calcule el módulo de la fuerza magnética sobre la varilla y dibújela. [$1{,}25$ puntos]

OPCIÓN B

El modelo del átomo de hidrógeno de Bohr supone que el electrón describe una órbita circular alrededor del protón y que el momento angular de la órbita es un múltiplo entero de la constante de Planck $L=n\frac{h}{2\pi}$, donde n es un número natural.

a) Demuestre que el momento angular se expresa como $L=e\sqrt{k\cdot m\cdot r}$, donde e es la carga del electrón, k es la constante de Coulomb, m es la masa del electrón y r es el radio de la órbita. Encuentre la expresión del radio de la órbita del electrón en función de h, n, k, m y e. Calcule el radio para $n=1$. [$1{,}25$ puntos]

b) Suponiendo que el radio de la órbita para $n=1$ es $53\,\mathrm{pm}$, calcule las energías cinética, potencial y mecánica clásicas del electrón. [$1{,}25$ puntos] Datos: $|e|=1{,}602\cdot10^{-19}\,\mathrm{C}$. $k$${}= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$${}= 8{,}99\cdot10^9\,\mathrm{N\,m^2\,C^{-2}}$. $m=9{,}11\cdot10^{-31}\,\mathrm{kg}$. $h=6{,}63\cdot10^{-34}\,\mathrm{J\,s}$.

Escoja UNA de las dos opciones (A o B) y responda a los apartados correspondientes.

OPCIÓN A

En el taller del instituto se diseña un péndulo con un soporte y un peso que cuelga de un hilo de longitud L y de masa despreciable. Cuando se toman medidas del periodo T de este péndulo en función de la longitud del hilo, se obtienen los siguientes datos: Longitud L (m) $0{,}20$ $0{,}30$ $0{,}50$ $0{,}80$ $1{,}20$ Periodo T (s) $0{,}90$ $1{,}08$ $1{,}43$ $1{,}75$ $2{,}20$ $T^2$ ($\mathrm{s^2}$) a) Rellene la tercera fila de la tabla anterior con los valores del periodo al cuadrado. Represente $T^2(L)$ en la cuadrícula de abajo y justifique por qué los puntos están alineados. Calcule la pendiente de este gráfico. A partir del resultado, calcule también la intensidad del campo gravitatorio. [$1{,}25$ puntos]

b) Se deja caer el péndulo de $1{,}50\,\mathrm{kg}$ de masa desde un ángulo de $30^\circ$ respecto a la vertical y se considera despreciable el rozamiento con el aire. Teniendo en cuenta que la longitud del péndulo es de $1{,}00\,\mathrm{m}$, calcule las energías potencial y cinética máximas y la energía mecánica del péndulo, así como la velocidad máxima que alcanzará. Elija como referencia de energía potencial cero la posición de equilibrio. [$1{,}25$ puntos] Dato: El péndulo describe un movimiento armónico simple de periodo $T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$.

OPCIÓN B

Alaitz está encima de un trampolín situado justo sobre el borde de la piscina y está a punto de lanzarse. En este momento observa un objeto en el fondo de la piscina con un ángulo de $40{,}0^\circ$ respecto a la vertical. La altura del trampolín es de $0{,}90$ metros respecto a la superficie del agua, la profundidad de la piscina es de $2{,}00$ metros y los ojos de Alaitz se encuentran a $1{,}60$ metros respecto al trampolín.

a) Calcule a qué distancia x se encuentra el objeto respecto al borde de la piscina. [$1{,}25$ puntos]

b) El objeto sumergido es un puntero láser encendido y dirigido hacia arriba con una cierta inclinación. ¿A partir de qué ángulo de inclinación respecto a la vertical el rayo del láser no saldrá de la piscina? ¿A qué velocidad se propagará el haz láser dentro de la piscina? Sabiendo que la luz que emite el láser tiene una longitud de onda de $632{,}8\,\mathrm{nm}$ en el aire, ¿cuál es la frecuencia y la longitud de onda del haz láser dentro de la piscina? [$1{,}25$ puntos] Datos: $c=3{,}00\cdot10^{8}\,\mathrm{m\,s^{-1}}$. $n_{aire}=1{,}00$. $n_{agua}=1{,}33$.

El isótopo de yodo $131$ ($Z=53$) se utiliza en radioterapia para tratar determinadas enfermedades de la tiroides, especialmente el hipertiroidismo y el cáncer de tiroides. Este isótopo se desintegra y da lugar al xenón $131$ estable ($Z=54$).

a) Escriba la reacción de desintegración de este isótopo. Complete la reacción nuclear con todas las partículas que intervienen en la reacción y justifique la respuesta. ¿De qué tipo de desintegración se trata? [$1{,}25$ puntos]

b) Si a un paciente se le suministra una pastilla de I-$131$ con una actividad de $40{,}0\cdot10^{6}\,\mathrm{Bq}$, ¿qué masa de yodo $131$ contiene esta pastilla? ¿Qué actividad tendrá el I-$131$ al cabo de una semana? Represente en la cuadrícula de abajo la evolución de la actividad durante esta semana en función del tiempo en días. La curva debe tener como mínimo tres puntos calculados. [$1{,}25$ puntos] Datos: Número de Avogadro: $N_A=6{,}022\cdot10^{23}$. $m({}^{131}\mathrm{I})$ = $131\,\mathrm{g/mol}$. El periodo de semidesintegración del yodo $131$ es de $8{,}02$ días.