Física, PAU 2025 de Cataluña: el examen de junio (serie 4) resuelto

Planteamiento Se pide el campo que crea el cable 1 donde está el cable 2, la fuerza por unidad de longitud sobre el cable 2 y un esquema con sus sentidos. Usamos los ejes de la figura: los cables van en la dirección $z$, el cable 2 está en el sentido $+y$ respecto del cable 1 y el eje $x$ sale hacia el lector; $\vec i$, $\vec j$ y $\vec k$ son los vectores unitarios de $x$, $y$ y $z$.

1. Campo del cable 1 a $r=0{,}30\,\mathrm{m}$, con $I_1=1{,}50\,\mathrm{kA}=1\,500\,\mathrm{A}$:

   $B_1$${}= \frac{\mu_0I_1}{2\pi r}$${}= \frac{4\pi\times10^{-7}\cdot1\,500}{2\pi\cdot0{,}30}$${}= 1{,}00\times10^{-3}\,\mathrm{T}$

2. Sentido, con la regla de la mano derecha (pulgar con la corriente, $+z$): las líneas son circunferencias alrededor del cable 1 y, en el cable 2, el campo va en el sentido $-x$, entrando en el papel (figura).

   $\vec B_1=-1{,}00\times10^{-3}\,\vec i\ \mathrm{T}$

3. Fuerza sobre un tramo de longitud $l$ del cable 2, con $I_2=1\,500\,\mathrm{A}$. El cable (eje $z$) y el campo (eje $x$) son perpendiculares:

   $\vec F=I_2\,\vec l\times\vec B_1$$\frac Fl$${}= I_2B_1$${}= 1\,500\cdot1{,}00\times10^{-3}$${}= 1{,}50\,\mathrm{N\,m^{-1}}$

4. Sentido: $\vec l\times\vec B_1$ va en $\vec k\times(-\vec i)=-\vec j$, hacia el cable 1. Con corrientes en el mismo sentido, los cables se atraen.

   $\frac{\vec F}{l}=-1{,}50\,\vec j\ \mathrm{N\,m^{-1}}$

Resultado$B_1=1{,}00\times10^{-3}\,\mathrm{T}$; en el cable 2 va en el sentido $-x$ (entra en el papel). $F/l=1{,}50\,\mathrm{N\,m^{-1}}$, hacia el cable 1: los cables se atraen.

La pauta oficial da: B = 1,00 × 10⁻³ T (−x); F/l = 1,50 N/m (−y)

Planteamiento Se pide si aparece corriente inducida en la espira en los dos movimientos de las figuras y, si aparece, su sentido. Por la ley de Faraday solo hay corriente inducida si cambia el flujo magnético que atraviesa la espira.

1. El cable, con la corriente hacia arriba, crea a su derecha, donde está la espira, un campo que entra en el papel y que es más débil cuanto más lejos está del cable:

   $B=\frac{\mu_0I}{2\pi r}$

2. Figura 1: al alejar la espira, el campo que la atraviesa es cada vez más débil y el flujo disminuye. Por la ley de Faraday se induce una fem y circula corriente.

   $\Phi$${}= \int_S\vec B\cdot\mathrm d\vec S\ \text{disminuye}$${}\Rightarrow \varepsilon=-\frac{\mathrm d\Phi}{\mathrm dt}$${}\neq 0$

3. Sentido, por la ley de Lenz: la corriente inducida se opone a la disminución del flujo, así que crea dentro de la espira un campo que también entra en el papel. Con la regla de la mano derecha, eso pide una corriente en sentido horario.

   $\vec B_{\mathrm{ind}}\uparrow\uparrow\vec B$

4. Figura 2: al subir paralela al cable, la espira se mantiene a la misma distancia de él; el campo que la atraviesa y el flujo no cambian. No hay fem ni corriente inducida.

   $\Phi=\text{constante}\;\Rightarrow\;\varepsilon=0$

Planteamiento Se pide a qué distancia de la lente va la película para que la imagen llene la pantalla y la potencia de la lente. Usamos el criterio de signos DIN: la luz va de izquierda a derecha, las distancias delante de la lente son negativas y una imagen real, detrás de la lente, está a distancia positiva.

1. La imagen se forma en la pantalla: $s'=16{,}0\,\mathrm{m}$. El proyector invierte la imagen (por eso la película se pone cabeza abajo y en la pantalla se ve derecha): si el fotograma mide $y=4{,}00\times10^{-3}\,\mathrm{m}$, la imagen mide $y'=-2{,}00\,\mathrm{m}$. Aumento lateral:

   $\beta$${}= \frac{y'}{y}=\frac{-2{,}00}{4{,}00\times10^{-3}}$${}= -500$

2. En una lente delgada el aumento también vale $s'/s$; despejamos la posición de la película:

   $\beta$${}= \frac{s'}{s}$${}\Rightarrow s=\frac{s'}{\beta}$${}= \frac{16{,}0}{-500}$${}= -3{,}20\times10^{-2}\,\mathrm{m}$

3. Ecuación de las lentes delgadas; la potencia es la inversa de la distancia focal imagen:

   $P$${}= \frac1{f'}$${}= \frac1{s'}-\frac1s$${}= \frac1{16{,}0}$${}-\frac1{-3{,}20\times10^{-2}}$${}= 31{,}3\,\mathrm{D}$

Planteamiento Se pide la distancia entre la lente y la película para enfocar en una pantalla a $20{,}0\,\mathrm{cm}$, con la misma lente, y el diagrama de rayos.

1. Ahora $s'=0{,}200\,\mathrm{m}$ y la potencia es la del apartado a). Despejamos $s$ de la ecuación de la lente:

   $\frac1s$${}= \frac1{s'}-\frac1{f'}$${}= \frac1{0{,}200}-31{,}3$${}= -26{,}3\,\mathrm{m^{-1}}$${}\Rightarrow s=-3{,}80\times10^{-2}\,\mathrm{m}$

2. La imagen es real e invertida, y algo más de cinco veces mayor que el fotograma:

   $\beta$${}= \frac{s'}{s}=\frac{0{,}200}{-3{,}80\times10^{-2}}$${}= -5{,}26$

3. Diagrama de rayos (figura), con $f'=1/P=3{,}19\,\mathrm{cm}$: el rayo paralelo al eje sale por el foco imagen $F'$, el que pasa por el centro de la lente no se desvía y el que pasa por el foco objeto $F$ sale paralelo al eje. Los tres se cortan en la imagen, a $20{,}0\,\mathrm{cm}$ detrás de la lente.

ResultadoLa película va a $3{,}80\,\mathrm{cm}$ delante de la lente ($s=-3{,}80\times10^{-2}\,\mathrm{m}$); la imagen es real, invertida y $5{,}26$ veces mayor.

La pauta oficial da: s = −0,0380 m

Planteamiento Se pide el número de núcleos de potasio 40 que hay en una persona de $80\,\mathrm{kg}$ y su actividad. Pasamos de la masa corporal a la masa de potasio, de ahí a la de potasio 40 y a núcleos (con el número de Avogadro), y usamos $A=\lambda N$.

1. Masa de potasio y de potasio 40:

   $m_K$${}= 80\cdot\frac{0{,}36}{100}$${}= 0{,}288\,\mathrm{kg}$${}= 288\,\mathrm{g}$$m_{40}$${}= 288\cdot\frac{0{,}012}{100}$${}= 3{,}456\times10^{-2}\,\mathrm{g}$

2. Número de núcleos, con la masa molar $M=40{,}0\,\mathrm{g/mol}$:

   $N$${}= \frac{m_{40}}{M}\,N_A$${}= \frac{3{,}456\times10^{-2}}{40{,}0}\cdot6{,}022\times10^{23}$${}= 5{,}203\times10^{20}$

3. Constante de desintegración, con el período en segundos ($1\,\text{año}=365\,\text{días}$):

   $T_{1/2}$${}= 1{,}30\times10^{9}\cdot365\cdot86\,400$${}= 4{,}10\times10^{16}\,\mathrm{s}$$\lambda$${}= \frac{\ln2}{T_{1/2}}$${}= 1{,}691\times10^{-17}\,\mathrm{s^{-1}}$

4. Actividad: desintegraciones por segundo.

   $A$${}= \lambda N=1{,}691\times10^{-17}\cdot5{,}203\times10^{20}$${}= 8{,}80\times10^{3}\,\mathrm{Bq}$

Planteamiento Se pide la desintegración del potasio 40 en calcio 40, con todas las partículas, y su tipo. El número másico se mantiene ($40$) y el número atómico sube de $19$ a $20$: un neutrón se convierte en un protón.

1. Conservación del número másico y de la carga: la partícula emitida tiene $A=0$ y $Z=-1$, un electrón.

   $40=40+A_x\;\Rightarrow\;A_x=0$$19=20+Z_x\;\Rightarrow\;Z_x=-1$

2. Para conservar el número leptónico se emite además un antineutrino electrónico:

   ${}^{40}_{19}\mathrm{K}$${}\longrightarrow {}^{40}_{20}\mathrm{Ca}$${}+{}^{0}_{-1}e+\bar\nu_e$

Planteamiento Se pide en qué metales hay efecto fotoeléctrico con luz de $514\,\mathrm{nm}$, qué es el potencial de frenado y su valor en esos metales. Hay efecto si la energía de cada fotón supera el trabajo de extracción del metal.

1. Energía de un fotón de $514\,\mathrm{nm}$:

   $E$${}= \frac{hc}{\lambda}=\frac{6{,}63\times10^{-34}\cdot3{,}00\times10^{8}}{514\times10^{-9}}$${}= 3{,}87\times10^{-19}\,\mathrm{J}$${}= 2{,}42\,\mathrm{eV}$

2. Comparamos con los trabajos de extracción: solo el cesio y el potasio tienen un trabajo menor que $2{,}42\,\mathrm{eV}$. En el sodio, el calcio y el aluminio no hay efecto fotoeléctrico.

   $2{,}14<2{,}42$$2{,}30<2{,}42$$2{,}75;\ 2{,}87;\ 4{,}28>2{,}42\ (\mathrm{eV})$

3. La energía cinética máxima de los electrones es lo que sobra de la energía del fotón después de arrancarlos:

   $E_{c,\max}=hf-W_0$

4. El potencial de frenado es la diferencia de potencial mínima que hay que aplicar entre el metal y el ánodo para detener incluso a los electrones más rápidos, de modo que ninguno llegue al ánodo. El trabajo que hace ese campo sobre un electrón iguala su energía cinética máxima:

   $|e|\,V_f$${}= E_{c,\max}$${}\Rightarrow V_f$${}= \frac{hf-W_0}{|e|}$

5. Con las energías en eV, el potencial de frenado en voltios es la diferencia (con dos decimales, como los trabajos de extracción):

   $V_f(\mathrm{Cs})=2{,}42-2{,}14=0{,}28\,\mathrm{V}$$V_f(\mathrm{K})=2{,}42-2{,}30=0{,}12\,\mathrm{V}$

Planteamiento Se pide la velocidad máxima de los electrones arrancados del cesio con luz de $300\,\mathrm{nm}$, su masa relativista y si hace falta tener en cuenta la relatividad.

1. Energía del fotón:

   $E$${}= \frac{hc}{\lambda}=\frac{6{,}63\times10^{-34}\cdot3{,}00\times10^{8}}{300\times10^{-9}}$${}= 6{,}63\times10^{-19}\,\mathrm{J}$

2. Energía cinética máxima, con el trabajo de extracción del cesio, $W_0=2{,}14\,\mathrm{eV}=3{,}43\times10^{-19}\,\mathrm{J}$:

   $E_{c,\max}$${}= 6{,}63\times10^{-19}$${}-3{,}43\times10^{-19}$${}= 3{,}20\times10^{-19}\,\mathrm{J}$

3. Velocidad máxima:

   $v$${}= \sqrt{\frac{2E_{c,\max}}{m_e}}$${}= \sqrt{\frac{2\cdot3{,}20\times10^{-19}}{9{,}11\times10^{-31}}}$${}= 8{,}38\times10^{5}\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

4. Masa relativista, con la expresión del enunciado: $v/c=2{,}79\times10^{-3}$, así que la raíz es prácticamente $1$.

   $m_{r,e}$${}= \frac{9{,}11\times10^{-31}}{\sqrt{1-(2{,}79\times10^{-3})^2}}$${}= 9{,}11\times10^{-31}\,\mathrm{kg}$

5. La masa relativista se diferencia de la masa en reposo en unas cuatro millonésimas: la velocidad es mucho menor que $c$ y no hace falta la relatividad; el cálculo clásico de la velocidad es correcto.

   $\frac{m_{r,e}-m_e}{m_e}$${}\approx \frac12\left(\frac vc\right)^2$${}= 3{,}9\times10^{-6}$