Física, PAU 2023 de Cataluña: el examen extraordinario resuelto

En un laboratorio se ha realizado el experimento que se muestra en la figura 1. En una cubeta de plástico transparente se ha añadido aproximadamente un centímetro de agua del grifo, y se han colocado a ambos lados dos placas conductoras de cobre separadas a una distancia de $20\,\mathrm{cm}$. Las placas se han conectado a una fuente de alimentación.

Debajo de la cubeta transparente hay un papel cuadriculado que permite determinar las posiciones (figura 1). A la placa conectada al terminal negativo de la fuente de alimentación se ha conectado el terminal negativo del voltímetro. El terminal positivo del voltímetro se ha movido por distintos puntos de la cuadrícula para medir el potencial eléctrico y el resultado se indica en la tabla de abajo.

Figura 1. Esquema del montaje del experimento y papel cuadriculado de la cubeta x (cm) $V_I$ (V) $V_{II}$ (V) $V_{III}$ (V) $V_{medio}$ (V) $4{,}00$ $1{,}4$ $1{,}5$ $1{,}4$ $8{,}00$ $2{,}8$ $2{,}9$ $2{,}8$ $12{,}00$ $4{,}2$ $4{,}3$ $4{,}4$ $16{,}00$ $5{,}7$ $5{,}7$ $5{,}8$

a) Rellene la tabla de arriba con la media aritmética del potencial eléctrico en las posiciones x = 4, 8, 12 y $16\,\mathrm{cm}$. Dibuje las líneas equipotenciales en x = 4, 8, 12 y $16\,\mathrm{cm}$ y las líneas de campo eléctrico en el papel cuadriculado de la cubeta (figura 1).

Represente en los ejes de coordenadas (figura 2) la media aritmética del potencial eléctrico en función de x. Calcule el módulo del campo eléctrico a partir del gráfico.

[$1{,}25$ puntos]

Figura 2

b) Se coloca una carga positiva de $3{,}00\,\mathrm{mC}$ en el punto P indicado dentro de la cubeta en la figura 1. Indique qué trayectoria va a seguir. Represente en el papel cuadriculado (figura 1) la dirección y el sentido de la fuerza aplicada por el campo eléctrico sobre esa carga. Determine el módulo de la fuerza. Calcule el trabajo realizado por el campo eléctrico para mover la carga desde x = $8\,\mathrm{cm}$ hasta x = $0\,\mathrm{cm}$.

[$1{,}25$ puntos]

Se realiza una experiencia de resonancia en un tubo con agua que consiste en sumergir un tubo abierto por ambos extremos en un recipiente que contiene agua, tal y como se muestra en la figura de la derecha. Encima del extremo superior del tubo hacemos vibrar un diapasón, que emite un sonido de frecuencia $442\,\mathrm{Hz}$. La longitud de la columna de aire (L) se ajusta elevando el tubo fuera del agua hasta encontrar un punto donde se produce la resonancia (se oye una nota intensa). Cuando se empieza la experiencia con todo el tubo sumergido, se observa la primera resonancia para L = $19{,}3\,\mathrm{cm}$ y la segunda resonancia para L = $58{,}0\,\mathrm{cm}$.

a) Dibuje la forma de la onda resonante para la primera y segunda resonancias. Indique en ambos casos de qué armónico se trata e identifique los vientres y nodos. Justifique por qué en ambos casos la longitud de onda no varía. Determine la longitud del tubo que debe quedar por encima del agua cuando resuena el quinto armónico.

[$1{,}25$ puntos]

b) A partir de los resultados de la experiencia, determine la velocidad del sonido en el aire. Si se sustituye el agua por glicerina, ¿variará este resultado? Razone la respuesta.

[$1{,}25$ puntos]

Datos: La velocidad del sonido en el agua es de $1493\,\mathrm{m\,s^{-1}}$.

La velocidad del sonido en la glicerina es de $1904\,\mathrm{m\,s^{-1}}$.

Un espectrómetro de masas es un aparato que permite determinar la relación carga/masa de iones. El espectrómetro de masas contiene tres partes diferenciadas. La primera parte es un filamento que ioniza las moléculas o átomos que entran en el espectrómetro. En la salida del filamento todos los iones tienen una carga negativa. En la segunda parte del aparato, los iones pasan por un selector de velocidades (figura 1) que está formado por dos placas paralelas, entre las cuales se genera un campo eléctrico uniforme. La separación entre estas placas es de $1{,}50\,\mathrm{cm}$. Entre las placas también se genera un campo magnético uniforme de $0{,}50\,\mathrm{T}$ perpendicular al plano del papel y en sentido saliente, tal y como se muestra en la figura 1.

Figura 1

a) Queremos que el selector de velocidades solo deje pasar a los iones que se muevan a una velocidad de $2{,}00\times10^{5}\,\mathrm{m\,s^{-1}}$. Determine la diferencia de potencial que debemos aplicar entre las placas para que los iones que se mueven a esta velocidad no se desvíen. ¿Qué placa debe conectarse a potencial alto y qué placa a potencial bajo?

Justifique las respuestas y represente las fuerzas que actúan sobre un ion. Diga si el selector de velocidades configurado de esta manera también funciona para iones positivos y justifique su respuesta.

[$1{,}25$ puntos]

b) La tercera parte del espectrómetro se encuentra a la salida del selector de velocidades y es una región donde existe otro campo magnético uniforme de $0{,}20\,\mathrm{T}$, perpendicular al plano del papel y en sentido entrante (figura 2). Las pantallas laterales permiten medir la posición en la que impactan los iones y de esta forma poder determinar su masa.

Represente esquemáticamente sobre la figura 2 la trayectoria que describen los iones que salen del selector de velocidades indicando la dirección y el sentido de la fuerza ejercida por el campo magnético en un punto de la trayectoria. Justifique la respuesta. Calcule a qué distancia de la salida del selector de velocidades impactará el ion de los isótopos del neón ${}^{20}\mathrm{Ne}^{-}$ (el ion tiene la misma carga que un electrón). Figura 2

[$1{,}25$ puntos]

Datos: |e| = $1{,}602\times10^{-19}\,\mathrm{C}$.

Masa del ion: ${}^{20}\mathrm{Ne}^{-}$ = $3{,}32\times10^{-26}\,\mathrm{kg}$.

a) Justifique si se podría determinar la masa de un objeto colgándolo de un muelle de constante elástica conocida ($100\,\mathrm{N/m}$) y dejándolo oscilar unas cuantas veces, y en caso afirmativo, explique cómo la calcularía. ¿Obtendríamos el mismo resultado si lo hiciéramos en la Luna? Desprecie el efecto de la fuerza de fricción.

[$1{,}25$ puntos]

b) Deduzca la ecuación de movimiento del objeto a partir de la ecuación del movimiento armónico simple (MAS) teniendo en cuenta que la amplitud del movimiento es de $6{,}00\,\mathrm{cm}$, que la frecuencia de oscilación es de $10{,}0\,\mathrm{Hz}$ y que el movimiento se inicia cuando la aceleración es máxima y positiva. Calcule la velocidad y aceleración máximas del MAS a partir de la ecuación de movimiento.

[$1{,}25$ puntos]

En las centrales nucleares se produce electricidad a partir de la fisión de núcleos de uranio. Esta energía se utiliza para generar vapor de agua, que hace girar una turbina.

El uranio es un elemento químico metálico de símbolo U y número atómico 92. En la naturaleza encontramos diferentes isótopos del uranio, pero los más comunes son el uranio 238 y el uranio 235.

a) Calcule el defecto de masa y la energía de enlace por nucleón para el uranio 235, e introduzca el valor obtenido en la tabla de abajo. Explique la relación entre la energía de enlace por nucleón y la estabilidad del núcleo. A partir de aquí, indique cuál de los núcleos de la tabla es el más estable.

[$1{,}25$ puntos]

Núcleo azufre 34 hierro 56 radio 226 uranio 235 Energía de enlace por nucleón (MeV) $8{,}58$ $8{,}79$ $7{,}66$

b) En una reacción nuclear de fisión del uranio 235, un neutrón de alta energía impacta en un núcleo de uranio. Como resultado, se forman dos núcleos más pequeños y tres neutrones. Si se considera que uno de los núcleos que se forman es el bario 141, escriba la reacción nuclear completa. Para cada núcleo de uranio fisionado, se liberan $202{,}5\,\mathrm{MeV}$. Calcule cuántos gramos de uranio 235 son necesarios para producir la energía necesaria para iluminar un estadio deportivo durante un partido en que se consumen aproximadamente $25000\,\mathrm{kW\,h}$.

[$1{,}25$ puntos]

Datos: c = $3{,}00\times10^{8}\,\mathrm{m\,s^{-1}}$.

$1\,\mathrm{eV}$ = $1{,}602\times10^{-19}\,\mathrm{J}$.

Masas nucleares (en kg):

Protón Neutrón Núcleo de uranio 235

$1{,}672622\times10^{-27}$ $1{,}674927\times10^{-27}$ $3{,}902158\times10^{-25}$

Número atómico de varios elementos químicos:

Kr Rb Sr Ba La U

Z = 36 Z = 37 Z = 38 Z = 56 Z = 57 Z = 92

Se desea construir un sensor de radiación ultravioleta que sea sensible a radiaciones de longitud de onda de $300\,\mathrm{nm}$. Se decide utilizar el efecto fotoeléctrico como principio del sensor. Así pues, se utilizará una célula fotoeléctrica que emita electrones. Para el buen funcionamiento de esta célula, es necesario que la energía mínima de los electrones emitidos sea de $1\,\mathrm{eV}$.

a) Calcule la longitud de onda umbral del material que se debería utilizar para construir la célula.

[$1{,}25$ puntos]

b) Rellene la tabla de abajo con los valores de la longitud de onda umbral de los tres materiales dando el resultado en nanómetros. Si se puede escoger entre uno de los tres materiales mostrados en la tabla de abajo para construir la célula, ¿cuál elegiría?

Justifique la respuesta.

[$1{,}25$ puntos]

Elemento Símbolo Función de trabajo (J) Longitud de onda umbral (nm) Tungsteno W $8{,}36\times10^{-19}$ Magnesio Mg $5{,}86\times10^{-19}$ Potasio K $3{,}67\times10^{-19}$

Datos: $1\,\mathrm{eV}$ = $1{,}602\times10^{-19}\,\mathrm{J}$.

c = $3{,}00\times10^{8}\,\mathrm{m\,s^{-1}}$.

h = $6{,}63\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s}$.