Física, PAU 2023 de Cataluña: el examen de junio (serie 1) resuelto

Un hilo conductor muy largo sigue el eje z y transporta una corriente I = $2{,}00\,\mathrm{A}$. Cuando llega a la altura de z = $0{,}00\,\mathrm{cm}$ cambia su dirección trazando una circunferencia en el plano xy, de radio R = $2{,}00\,\mathrm{cm}$ y centrada en el punto (0, R, 0), y después continúa por el eje z.

a) Calcule el vector y el módulo del campo magnético total en el centro de la circunferencia, es decir, en el punto (0, R, 0).

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b) Podemos rotar a voluntad la espira respecto al eje y. ¿En qué dirección debemos orientarla para obtener el módulo del campo magnético mínimo y el módulo del campo magnético máximo? Encuentre estos dos valores del módulo del campo magnético y especifique el plano donde está la espira y el sentido de giro de la corriente en cada caso.

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Datos: El módulo del campo magnético creado por un hilo infinito por donde circula una corriente I a una distancia r del hilo es $B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}$.

El módulo del campo magnético creado en el centro de una espira de radio R

por donde circula una corriente I es $B=\frac{\mu_0 I}{2R}$.

$\mu_0$ = $4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{T\,m\,A^{-1}}$.

Desde la playa, se observa que la distancia entre las crestas de dos olas consecutivas es de $4\,\mathrm{m}$. Por otro lado, observando una de las boyas que limita la zona de baño, contamos que oscila 30 veces en un minuto y que su desplazamiento vertical total, desde la posición más baja hasta el punto más alto, es de $40\,\mathrm{cm}$.

a) Determine la frecuencia, la longitud de onda y la velocidad de propagación de las ondas. Escriba la ecuación del movimiento que describe la boya en función del tiempo.

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b) Deduzca la expresión de la velocidad y de la aceleración de la boya y calcule los valores máximos de la velocidad y la aceleración. Represente en la cuadrícula de abajo la evolución de la velocidad respecto al tiempo durante un período.

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Nota: Para determinar la fase inicial considere que al principio la boya se encuentra en la posición más alta.

A raíz del anuncio realizado en diciembre de 2022 por Estados Unidos de que se había logrado por primera vez la fusión nuclear con una ganancia neta de energía, algunos medios de comunicación han publicado que un vaso de agua puede producir la energía que consumiría una familia de cuatro miembros durante toda su vida. Por otra parte, dentro del Sol existe una presión y temperatura tan elevadas que los átomos de hidrógeno se fusionan y se transforman en helio. El principal proceso de fusión nuclear que tiene lugar en el Sol es la cadena protón-protón. El balance global de este proceso es que cuatro protones se unen para formar un núcleo de helio.

a) Calcule la energía que se libera en la cadena protón-protón cuando se forma un núcleo de helio. Teniendo en cuenta que un vaso de agua contiene, aproximadamente, $17\,\mathrm{mol}$ de agua, ¿cuánta energía se puede extraer del hidrógeno contenido en el agua de un vaso mediante la cadena protón-protón?

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b) Desgraciadamente, en la Tierra no se pueden alcanzar las condiciones de temperatura y presión existentes en el Sol, por esta razón, en los reactores de fusión se utilizan los isótopos del hidrógeno: el deuterio (${}^{2}_{1}\mathrm H$) y el tritio (${}^{3}_{1}\mathrm H$). La abundancia relativa del deuterio es de un $0{,}001\,\mathrm{\%}$, mientras que la del tritio es prácticamente nula (en la Tierra hay unos $20\,\mathrm{kg}$ de tritio natural).

Para generar tritio, se utiliza litio 6 (${}^{6}_{3}\mathrm{Li}$) obtenido a partir de reactores nucleares de fisión. El tritio se obtiene a base de bombardear núcleos de litio 6 con neutrones.

Escriba la reacción nuclear sabiendo que el resultado es la formación de tritio y partículas alfa. Se ha afirmado que la fusión nuclear es una energía limpia porque la reacción de la cadena protón-protón no genera residuos radiactivos. Sin embargo, en el proceso de fusión del deuterio y del tritio se liberan neutrones con una energía capaz de convertir en radiactivos los materiales circundantes. Diga si la fusión nuclear es una fuente de energía limpia e inagotable y justifique su respuesta.

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Datos: c= $3{,}00\times10^{8}\,\mathrm{m\,s^{-1}}$.

$N_A$ = $6{,}022\times10^{23}$.

Masas nucleares (en kg):

Protón Núcleo de helio

$1{,}67262192\times10^{-27}$ $6{,}64283533\times10^{-27}$

El consumo anual medio de electricidad de una persona en Catalunya es de

$1{,}22\times10^{10}\,\mathrm{J}$.

Cuando se miden los valores de potencial eléctrico en una cubeta se obtiene la distribución representada en la figura, donde se pueden observar dos cargas ($Q_1$ y $Q_2$), una positiva y otra negativa.

a) Determine de forma razonada cuál es la carga positiva y cuál la negativa. Según su respuesta, dibuje la dirección y el sentido del campo eléctrico en el punto A.

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b) Suponga que un electrón se mueve del punto A al punto B. Calcule el trabajo que realiza el campo eléctrico durante este movimiento. ¿Qué trabajo realiza el campo eléctrico cuando el electrón se mueve del punto A al punto C pasando por B?

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Dato: |e| = $1{,}602\times10^{-19}\,\mathrm{C}$.

Una espira se encuentra fija en una región donde existe un campo magnético uniforme en dirección perpendicular a la hoja y hacia adentro, como se indica en la figura de la izquierda. En la figura de la derecha se muestra la gráfica de la variación del flujo que atraviesa la espira en función del tiempo.

a) Determine el sentido de la corriente inducida en el intervalo de tiempo de $0\,\mathrm{s}$ a $4\,\mathrm{s}$, en el intervalo de $4\,\mathrm{s}$ a $8\,\mathrm{s}$ y en el intervalo de $8\,\mathrm{s}$ a $12\,\mathrm{s}$. Justifique cuál de las variaciones de campo magnético representadas abajo (a o b) provoca la variación de flujo.

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b) Calcule la intensidad de corriente eléctrica en cada intervalo de tiempo si la resistencia de la espira es de $5\,\mathrm{m\Omega}$.

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Nota: La ley de Ohm establece que $I=V/R$.

En un centro de estética disponen de una máquina de broncear con radiación ultravioleta. Hay que cambiar uno de los tubos fluorescentes porque se ha estropeado debido a su uso. El tubo a sustituir indica: «Luz UVA $300\,\mathrm{nm}$ $20\,\mathrm{W}$ $600\,\mathrm{mm}$». Dado que la empresa fabricante de la máquina ha quebrado, se busca un tubo fluorescente compatible. Después de hacer una selección, se elige una lámpara que puede ser útil. En las especificaciones del producto elegido se lee: «Luz UVA $350\,\mathrm{nm}$ $20\,\mathrm{W}$ $600\,\mathrm{mm}$ T8 lámpara fluorescente». Como los dos tubos consumen la misma potencia, emiten el mismo número de fotones.

El aparato dispone de un dispositivo de seguridad basado en el efecto fotoeléctrico que apaga el fluorescente cuando el número de electrones emitidos por unidad de tiempo es superior a $2{,}50\times10^{15}\,\mathrm{s^{-1}}$. Este dispositivo está formado por una placa de sodio (la función de trabajo es $2{,}40\,\mathrm{eV}$) y, con los tubos originales, el número de electrones que abandona la superficie de sodio por unidad de tiempo es $2{,}00\times10^{15}\,\mathrm{s^{-1}}$.

a) Determine la energía cinética máxima de los electrones emitidos y la intensidad de corriente que abandona la superficie de sodio con los tubos originales.

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b) Determine cómo afecta el nuevo tubo al funcionamiento del dispositivo de seguridad.

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Datos: $1\,\mathrm{eV}$ = $1{,}602\times10^{-19}\,\mathrm{J}$.

|e| = $1{,}602\times10^{-19}\,\mathrm{C}$.

c = $3{,}00\times10^{8}\,\mathrm{m\,s^{-1}}$.

h = $6{,}63\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s}$.