Física, PAU 2022 de Cataluña: el examen extraordinario resuelto

En la figura 1 adjunta, se ha situado una carga puntual Q = $+1{,}00\,\mathrm{nC}$ en el origen de coordenadas.

a) Determine a qué distancia de la carga el potencial es igual a $3{,}00\,\mathrm{V}$, $6{,}00\,\mathrm{V}$, $9{,}00\,\mathrm{V}$ y $12{,}0\,\mathrm{V}$, respectivamente. Represente dentro de la figura las líneas equipotenciales correspondientes a los potenciales de $3{,}00\,\mathrm{V}$, $6{,}00\,\mathrm{V}$, $9{,}00\,\mathrm{V}$ y $12{,}0\,\mathrm{V}$. Diga si la distancia entre las líneas equipotenciales es constante y cuánto vale o valen estas distancias.

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b) En la misma figura, represente 8 líneas de campo eléctrico. ¿Qué ángulo forman las líneas de campo con las líneas equipotenciales en el punto donde se cruzan?

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Dato: $k$${}= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$${}= 9{,}00\times10^9\,\mathrm{N\,m^2\,C^{-2}}$.

El volcán Cumbre Vieja entró en erupción el 19 de septiembre de 2021 en la isla de La Palma. El sonido de la erupción volcánica fue medido por un equipo de vulcanólogos, que determinaron que estaba formado por diferentes frecuencias y que tenía un nivel de intensidad sonora variable. En cuanto al sonido que produce en algunos momentos de la erupción, un volcán puede modelizarse como si fuera un instrumento musical de viento gigante. De forma simplificada, podemos considerar un volcán como un tubo de aire con un extremo cerrado y el otro abierto, donde se producen ondas estacionarias de forma similar a una trompeta.

a) En un momento determinado de la erupción del Cumbre Vieja, se detectó que la frecuencia fundamental del sonido que emitía era de $5{,}40\,\mathrm{Hz}$. Calcule la longitud de onda de este sonido. Dibuje el perfil de la onda estacionaria correspondiente y calcule la longitud del tubo, que corresponde a la longitud del tramo de la chimenea lleno de aire.

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b) En un momento de la erupción, se detectó un nivel de intensidad sonora de $72{,}0\,\mathrm{dB}$ en la localidad de Todoque, que está a $5{,}22\,\mathrm{km}$ del cono del volcán. Calcule el nivel de intensidad sonora que se oirá desde la costa de la isla de El Hierro, que se encuentra a $92{,}3\,\mathrm{km}$ del volcán Cumbre Vieja. (Suponga que no hay obstáculos en la propagación del sonido entre el volcán Cumbre Vieja y la isla de El Hierro).

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Datos: $I_0$ = $10^{-12}\,\mathrm{W\,m^{-2}}$.

La velocidad del sonido en el aire es de $340\,\mathrm{m/s}$.

Dos hilos conductores rectilíneos muy largos se encuentran situados paralelos al eje z (perpendiculares al plano xy) y separados una distancia de $16{,}0\,\mathrm{cm}$. Por el hilo 1 circula una corriente I = $1{,}50\,\mathrm{A}$ dirigida hacia abajo y por el hilo 2 circula una corriente 1 I = $1{,}50\,\mathrm{A}$ dirigida hacia arriba.

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a) Dado un punto P situado en el plano xy y equidistante a los dos hilos (la distancia a cada hilo es de $10{,}0\,\mathrm{cm}$), haga un esquema sobre el plano xy del campo magnético creado por cada hilo en el punto P y justifique la dirección y el sentido del campo.

¿Cuál es el sentido y la dirección del campo magnético total en el punto P? Justifique la respuesta.

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b) Calcule la fuerza por unidad de longitud que ejerce el hilo 1 sobre el hilo 2, esto es, la fuerza que ejerce el hilo 1 sobre un tramo de $1{,}00\,\mathrm{m}$ de longitud del hilo 2. Indique tanto el módulo como la dirección y el sentido de la fuerza.

[$1{,}25$ puntos]

Datos: El módulo del campo magnético creado por un hilo infinito por donde

circula una corriente I a una distancia r del hilo es $B=\frac{\mu_0I}{2\pi r}$.

$\mu_0$ = $4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{T\,m\,A^{-1}}$.

Para medir la concentración de radón de una estancia, se toma una muestra de $180\,\mathrm{cm^3}$ de aire. Se coloca la muestra dentro de un detector que cuenta el número total de desintegraciones α. Consideramos que todas las desintegraciones provienen del radón 222, ${}^{222}_{86}\mathrm{Rn}$. Se efectúa una medida de las desintegraciones durante 10 minutos al día, 10 días seguidos, y siempre a la misma hora. Los datos obtenidos son los siguientes:

t (días) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 N (núcleos desintegrados) 130 108 91 77 65 55 45 38 33 30

a) Represente, dentro de la cuadrícula adjunta, los núcleos desintegrados en función del tiempo. A partir de la gráfica determine el período de semidesintegración.

Teniendo en cuenta que la evolución temporal del número de núcleos desintegrados es la misma que la del número total de núcleos de radón en la estancia, calcule la constante de desintegración.

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b) Teniendo en cuenta que una medida dura 10 minutos, ¿qué actividad tiene la muestra de $180\,\mathrm{cm^3}$ de aire de la estancia el día t = 0? La Agencia de Protección Ambiental de EE. UU. (EPA) recomienda no sobrepasar la actividad de $4\,\mathrm{pCi}$ por litro de aire. Según este límite, ¿es peligrosa la concentración a t = 0 en la estancia de donde se ha extraído la muestra?

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Dato: $1\,\mathrm{Ci}$ = $3{,}70\times10^{10}\,\mathrm{Bq}$.

Se observa que los fotones de determinada frecuencia que inciden sobre una superficie metálica provocan la emisión de electrones de esa superficie.

a) Si mantenemos la intensidad de la luz constante y aumentamos la frecuencia de los fotones, ¿cómo varía el número de electrones emitidos y la energía de los mismos?

Marque con un círculo la respuesta correcta dentro del siguiente recuadro y, a continuación, justifique las dos respuestas.

Número de electrones emitidos: Disminuye / Se mantiene constante / Aumenta Energía de los electrones emitidos: Disminuye / Se mantiene constante / Aumenta

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b) Determine la función de trabajo de los electrones emitidos sabiendo que el potencial de frenado es de $0{,}29\,\mathrm{V}$, cuando la longitud de onda incidente es de $550\,\mathrm{nm}$. Exprese el resultado en eV.

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Datos: $1\,\mathrm{eV}$ = $1{,}602\times10^{-19}\,\mathrm{J}$.

c = $3{,}00\times10^{8}\,\mathrm{m\,s^{-1}}$.

h = $6{,}63\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s}$.

Considere un pequeño generador eléctrico doméstico que está formado por una bobina que puede girar cortando las líneas de campo magnético de un imán fijo. Este generador produce la corriente alterna representada en el siguiente gráfico:

a) A partir del gráfico, deduzca la frecuencia de giro de la bobina (en Hz) y el valor de la intensidad máxima $I_{\mathrm{máx}}$. Escriba la función $I(t)$ que describe la relación entre la intensidad y el tiempo que muestra el gráfico.

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b) Para poder conectar electrodomésticos a este generador eléctrico, disponemos de un transformador. Conectamos esta corriente alterna al primario de un transformador.

La bobina del primario del transformador tiene 124 vueltas. Calcule el número de vueltas que son necesarias en la bobina del secundario para obtener una FEM eficaz ($\varepsilon_{ef}$) de $220\,\mathrm{V}$. Suponga que se trata de un transformador ideal. ¿Se trata de un transformador elevador o reductor?

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A principios de los años sesenta del siglo xx, los físicos Robert Pound, Glen Anderson Rebka y Joseph Snider verificaron en el Jefferson Physical Laboratory de Harvard la predicción de Einstein de que la gravedad cambia la frecuencia de la luz. Entender este efecto es esencial para la navegación moderna, como por ejemplo para el funcionamiento del GPS. El experimento consistía en medir la variación de frecuencia de unos fotones entre dos puntos a distinta altura.

a) Calcule la frecuencia, la masa (ver la nota) y la cantidad de movimiento de los fotones en el suelo del laboratorio del experimento si su energía es de $14{,}4\,\mathrm{keV}$.

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b) La energía mecánica de los fotones es la suma de la energía de los fotones y de la energía potencial gravitatoria. A partir del principio de conservación de la energía mecánica, calcule la variación (en valor absoluto) de la energía y de la frecuencia de los fotones entre dos puntos separados verticalmente $22{,}6\,\mathrm{m}$. Es decir, entre el suelo del laboratorio y otro punto en la misma vertical, $22{,}6\,\mathrm{m}$ más arriba. ¿En qué punto el fotón tiene una mayor frecuencia, cuando se encuentra en el suelo o cuando está $22{,}6\,\mathrm{m}$ por encima del suelo?

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Nota: Aunque la masa en reposo de un fotón es cero, su masa efectiva cuando es atraído por las demás masas es: $m=\frac{E_{fotón}}{c^2}$.

Datos: $1\,\mathrm{eV}$ = $1{,}602\times10^{-19}\,\mathrm{J}$.

c = $3{,}00\times10^{8}\,\mathrm{m\,s^{-1}}$.

h = $6{,}63\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s}$.

g = $9{,}81\,\mathrm{m/s^2}$.

[Figura omitida: fotografía de terceros; está en el PDF oficial del examen.]