Campo eléctrico: ejercicios de la PAU de Física resueltos

Ejercicio 2. Campos electromagnéticos

[2,5 puntos en total]

Los rayos X se generan mediante un tubo de vacío que contiene dos placas de tungsteno. La placa negativa (cátodo) se calienta y emite electrones, que se aceleran hacia la placa positiva (ánodo). Cuando chocan con esta otra placa, los electrones se detienen bruscamente y se producen los rayos X.

2.1. La diferencia de potencial entre dos placas de un tubo de rayos X es de $70{,}0\,\mathrm{kV}$ y la separación entre ellas es de $2{,}00\,\mathrm{cm}$. Calcule el módulo del campo eléctrico (suponiendo que es constante y uniforme entre las placas) y, a continuación, el módulo de la fuerza eléctrica que experimenta un electrón dentro del tubo. En la figura adjunta, represente el campo eléctrico entre placas y la fuerza eléctrica que actúa sobre el electrón. [1,25 puntos]

2.2. Determine la energía cinética y la velocidad de un electrón cuando llega al ánodo, suponiendo que parte del reposo desde el cátodo. A continuación, sabiendo que en la colisión con el ánodo el electrón pierde parte de su energía, que se convierte en un fotón de rayos X con una longitud de onda de $1{,}00\,\mathrm{nm}$, calcule la energía de este fotón y la nueva velocidad del electrón tras la emisión. [1,25 puntos]

Datos: $|e|=1{,}602\times10^{-19}\,\mathrm{C}$. $m_e=9{,}11\times10^{-31}\,\mathrm{kg}$. $c=3{,}00\times10^8\,\mathrm{m\,s^{-1}}$. $h=6{,}63\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s}$.

Nota: Desprecie los efectos del campo magnético terrestre y los efectos relativistas.

Ejercicio 2. Campos electromagnéticos

[2,5 puntos en total]

La figura muestra el esquema de un espectrómetro de masas. Se tiene un ion de cloro ($\mathrm{Cl^+}$) que sale de la fuente de iones hacia el selector de velocidades. En el selector de velocidades hay un campo eléctrico generado por las placas cargadas y un campo magnético externo $B_1$, en sentido hacia afuera del papel.

2.1. Se quiere que los iones salgan del selector de velocidades a una velocidad de $4{,}00\times10^{4}\,\mathrm{m\,s^{-1}}$. Dibuje el diagrama de las fuerzas que actúan sobre el ion $\mathrm{Cl^+}$ dentro del selector de velocidades. Si el voltaje aplicado a las placas, que están separadas a una distancia de $20{,}0\,\mathrm{mm}$, es de $500\,\mathrm{V}$, ¿cuál debe ser el valor del módulo del campo magnético $B_1$ para que los iones salgan con la velocidad deseada? [1,25 puntos]

2.2. Posteriormente, los iones entran por una rendija en una zona donde solo hay un campo magnético $B_2$, de módulo $0{,}30\,\mathrm{T}$, en sentido hacia afuera del papel. ¿A qué distancia $d$ de la rendija impactará el ion $\mathrm{Cl^+}$? Calcule también cuál será el incremento de la energía cinética del ion desde que sale del selector de velocidades hasta que impacta en la placa. [1,25 puntos]

Datos: $|e|=1{,}602\times10^{-19}\,\mathrm{C}$. Masa del ion de cloro: $\mathrm{Cl^+}=5{,}81\times10^{-26}\,\mathrm{kg}$.

Ejercicio 2. Campos electromagnéticos

[2,5 puntos en total]

Escoja UNA de las dos opciones (A o B) y responda a los apartados correspondientes. Indique en la portada del examen la opción elegida.

OPCIÓN A

Una carga puntual $q_A=-2{,}00\,\mathrm{\mu C}$ se encuentra en el origen de coordenadas, y una carga puntual $q_B=-4{,}00\,\mathrm{\mu C}$ está en la posición $x=1{,}00\,\mathrm{m}$ e $y=0{,}00\,\mathrm{m}$.

2.1. Represente las dos cargas en la cuadrícula (plano $xy$). Dibuje también cualitativamente (de forma aproximada) las líneas del campo eléctrico y las líneas equipotenciales generadas por este sistema de dos cargas. [1,25 puntos]

2.2. ¿En qué punto del eje $x$ se debe colocar una tercera carga, $q_C=-8{,}00\,\mathrm{\mu C}$, de modo que la fuerza eléctrica total sobre $q_C$ sea nula? Calcule el trabajo que realiza el campo eléctrico cuando la carga $q_C$ se desplaza desde la posición inicial que ha calculado hasta un punto equidistante de $q_A$ y $q_B$ situado en el eje $x$. Interprete el signo del resultado obtenido. [1,25 puntos]

Datos: $k$${}= \dfrac1{4\pi\varepsilon_0}$${}= 8{,}99\times10^9\,\mathrm{N\,m^2\,C^{-2}}$.

OPCIÓN B

Una espira cuadrada de $10{,}0\,\mathrm{cm}$ de lado se mueve a una velocidad constante de $5{,}00\,\mathrm{cm\,s^{-1}}$ y entra en una región donde existe un campo magnético uniforme, perpendicular al plano de la página y dirigido hacia el interior. El módulo del campo magnético es de $5{,}00\,\mathrm{mT}$. La anchura de la región con campo magnético es de $30{,}0\,\mathrm{cm}$. Se toma como instante inicial $t=0\,\mathrm{s}$, el momento en que la espira comienza a entrar en la región con campo magnético.

2.1. Calcule el valor absoluto del flujo magnético que atraviesa la espira en los instantes $t=1{,}00\,\mathrm{s}$, $t=5{,}00\,\mathrm{s}$ y $t=7{,}00\,\mathrm{s}$. [1,25 puntos]

2.2. Represente en la cuadrícula de abajo el valor absoluto de la fuerza electromotriz inducida en función del tiempo durante los primeros $9{,}00\,\mathrm{s}$. Justifique el sentido de la corriente inducida en los diferentes intervalos en los que se genera la fuerza electromotriz. [1,25 puntos]

Escoja UNA de las dos opciones (A o B) y responda a los apartados correspondientes.

OPCIÓN A

El experimento de Millikan permitió determinar la carga del electrón. El montaje de este experimento consta de dos placas metálicas horizontales, una sobre la otra, separadas verticalmente por una distancia d y conectadas a una fuente de potencial eléctrico regulable. En el espacio que hay entre las placas se introducen algunas gotitas de aceite cargadas negativamente. El experimento consiste en crear un campo eléctrico entre las placas y conseguir una posición de equilibrio de las gotitas de aceite contrarrestando su peso.

a) Realice un esquema del dispositivo empleado por Millikan, dibujando las fuerzas que actúan sobre una gota de aceite esférica. Indique y razone el signo de la carga que tendrá cada placa y la dirección y el sentido del campo eléctrico generado por ellas. Suponiendo que las placas se conectan a un potencial eléctrico de $2{,}00\,\mathrm{kV}$ y que la distancia entre placas es $d=2{,}00\,\mathrm{cm}$, calcule el campo eléctrico creado entre placas y dibújelo en el mismo esquema. [$1{,}25$ puntos]

b) Teniendo en cuenta que la densidad del aceite es de $923\,\mathrm{kg\,m^{-3}}$ y que el radio de una gota es de $1{,}08\,\mathrm{μm}$, calcule la carga de una gota que se encuentra en equilibrio. ¿Cuántos electrones son necesarios para generar esta carga? ¿Qué se observaría si ilumináramos la gota con rayos ultravioletas y esta perdiera un electrón? Justifique la respuesta. [$1{,}25$ puntos] Datos: $|e|=1{,}602\cdot10^{-19}\,\mathrm{C}$. $m_e=9{,}11\cdot10^{-31}\,\mathrm{kg}$. $g=9{,}8\,\mathrm{m\,s^{-2}}$. Volumen de una esfera: $\frac{4}{3}\pi r^3$.

OPCIÓN B

Formamos un circuito con un cable metálico en forma de U y cerramos la parte superior con una barra metálica que se puede deslizar libremente, tal como muestra la figura. La anchura de la U es de $0{,}25\,\mathrm{m}$, e inicialmente la altura del circuito es de $0{,}30\,\mathrm{m}$. A continuación, desplazamos la barra hacia abajo a una velocidad constante de $5{,}00\,\mathrm{m\,s^{-1}}$. Este circuito se encuentra situado en una región del espacio donde hay un campo magnético de módulo $B=2{,}00\,\mathrm{T}$, perpendicular al plano que forma el circuito y con sentido hacia afuera del papel.

a) Calcule la expresión del flujo magnético del circuito en función del tiempo y la fuerza electromotriz inducida al circuito. Indique el sentido de circulación de la corriente inducida y justifique la respuesta. [$1{,}25$ puntos]

b) Supongamos que la barra presenta una resistencia de $50{,}0\,\mathrm{Ω}$ y el resto del circuito no presenta resistencia alguna. Calcule la intensidad eléctrica que circulará por el circuito. Calcule la fuerza magnética que actúa sobre la barra y represéntela en la figura. [$1{,}25$ puntos]

Escoja UNA de las dos opciones (A o B) y responda a los apartados correspondientes.

OPCIÓN A

Una varilla metálica se desplaza a una velocidad constante de $3{,}00\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ sobre un conductor en forma de U dentro de un campo magnético uniforme $B=0{,}40\,\mathrm{T}$, perpendicular al plano y en el sentido indicado en las figuras. En el instante inicial, la varilla se encuentra a una distancia de $3{,}00\,\mathrm{cm}$ de la parte izquierda del conductor.

a) Calcule el flujo magnético a través del circuito cerrado por la varilla en el instante inicial indicado en la figura $1$. En el momento en que la varilla se pone en movimiento, aparece una corriente inducida en el sentido indicado en la figura $2$. Justifique cuál es el sentido de movimiento de la varilla, a la izquierda o a la derecha, y dibuje el vector de velocidad sobre la figura de la varilla en movimiento. Determine la FEM inducida mientras la varilla se mueve a $3{,}00\,\mathrm{m\,s^{-1}}$. [$1{,}25$ puntos]

b) Considere la situación ilustrada en la figura $2$, en la que la intensidad inducida es de $6{,}00\,\mathrm{mA}$. Justifique si en estas condiciones aparecerá alguna fuerza magnética sobre la varilla. En caso afirmativo, calcule el módulo de la fuerza magnética sobre la varilla y dibújela. [$1{,}25$ puntos]

OPCIÓN B

El modelo del átomo de hidrógeno de Bohr supone que el electrón describe una órbita circular alrededor del protón y que el momento angular de la órbita es un múltiplo entero de la constante de Planck $L=n\frac{h}{2\pi}$, donde n es un número natural.

a) Demuestre que el momento angular se expresa como $L=e\sqrt{k\cdot m\cdot r}$, donde e es la carga del electrón, k es la constante de Coulomb, m es la masa del electrón y r es el radio de la órbita. Encuentre la expresión del radio de la órbita del electrón en función de h, n, k, m y e. Calcule el radio para $n=1$. [$1{,}25$ puntos]

b) Suponiendo que el radio de la órbita para $n=1$ es $53\,\mathrm{pm}$, calcule las energías cinética, potencial y mecánica clásicas del electrón. [$1{,}25$ puntos] Datos: $|e|=1{,}602\cdot10^{-19}\,\mathrm{C}$. $k$${}= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$${}= 8{,}99\cdot10^9\,\mathrm{N\,m^2\,C^{-2}}$. $m=9{,}11\cdot10^{-31}\,\mathrm{kg}$. $h=6{,}63\cdot10^{-34}\,\mathrm{J\,s}$.

La superficie de la Tierra es principalmente agua que contiene iones en disolución y que le hacen adquirir una carga neta negativa. Se puede considerar que la Tierra tiene un campo eléctrico en puntos próximos a su superficie con un módulo constante de $150\,\mathrm{N/C}$.

a) Dibuje la esfera terrestre y represente el campo eléctrico alrededor de la superficie. Calcule el valor de la carga total que produce este campo eléctrico. Para ello, considere que el campo eléctrico creado por una superficie esférica cargada uniformemente es igual al generado por toda la carga situada en el centro de la esfera. [$1{,}25$ puntos]

b) Calcule el módulo de la fuerza eléctrica que producirá el campo eléctrico sobre un electrón libre situado cerca de la superficie de la Tierra. Calcule la masa que debe tener una gota esférica de agua con una carga extra de un solo electrón para que su peso se compense con la fuerza eléctrica. Elabore un esquema donde se muestren las fuerzas que actúan sobre la gota. Calcule el diámetro de esta gota de agua. [$1{,}25$ puntos] Datos: Radio de la Tierra, $R_T=6{,}37\cdot10^6\,\mathrm{m}$. Densidad del agua, $\rho=10^3\,\mathrm{kg/m^3}$. Masa del electrón, $M_e=9{,}11\cdot10^{-31}\,\mathrm{kg}$. Superficie esférica: $4\pi r^2$. Volumen de una esfera: $\frac{4}{3}\pi r^3$. $|e|=1{,}602\cdot10^{-19}\,\mathrm{C}$. $k$${}= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$${}= 8{,}99\cdot10^9\,\mathrm{N\,m^2\,C^{-2}}$. $g=9{,}81\,\mathrm{m/s^{2}}$.

El polonio ($Z=84$) fue descubierto en $1898$ por Marie Sklodowska-Curie y Pierre Curie. El isótopo de polonio con un tiempo de semidesintegración más largo es el Po-$210$, que lo tiene de $138$ días. Se desintegra por emisión de una partícula alfa y origina un isótopo estable de plomo (Pb).

a) Escriba la desintegración del Po-$210$. Si la actividad inicial por unidad de masa del Po-$210$ es de $1{,}66\cdot10^{14}\,\mathrm{Bq/g}$, ¿cuál será la actividad de $5\,\mathrm{mg}$ de este elemento al cabo de una semana? [$1{,}25$ puntos]

b) Los núcleos de helio que se producen en las desintegraciones alfa no tardan en captar dos electrones. Supongamos que se forma un átomo de helio en dos pasos bien diferenciados. Primeramente, se transporta desde una gran distancia un primer electrón a $0{,}6\cdot10^{-10}\,\mathrm{m}$ de la partícula alfa y se mantiene allí. Posteriormente, un segundo electrón se lleva al otro lado de la partícula alfa a $0{,}6\cdot10^{-10}\,\mathrm{m}$. La configuración final se muestra en la figura. Calcule el trabajo realizado por el campo eléctrico en cada uno de los dos pasos. ¿Cuál es la energía potencial electroestática de la configuración final? [$1{,}25$ puntos] Datos: $|e|=1{,}602\cdot10^{-19}\,\mathrm{C}$. $k$${}= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$${}= 8{,}99\cdot10^9\,\mathrm{N\,m^2\,C^{-2}}$.

En una impresora de tinta, las gotas de tinta tienen una masa de $3{,}00\,\mu\mathrm{g}$ y una carga negativa de $-9{,}00\,\mathrm{nC}$. Las gotas cargadas son guiadas por un tubo antes de entrar en una primera zona donde un campo eléctrico uniforme y horizontal las acelera sin desviarlas. El campo eléctrico lo crean dos placas conductoras (ánodo y cátodo) agujereadas para dejar pasar las gotas. La distancia entre el ánodo y el cátodo es de $5{,}00\,\mathrm{cm}$ y la diferencia de potencial entre ellos es de $50{,}0\,\mathrm{V}$.

a) Represente en la figura superior las líneas de campo eléctrico. Indique qué placa está conectada a potencial alto y cuál a potencial bajo. Sabiendo que el ánodo está cargado positivamente y que el cátodo está cargado negativamente, indique qué placa es el ánodo y qué placa es el cátodo. Justifique tanto la representación de las líneas de campo como las respuestas. Calcule el módulo de la velocidad a la que las gotas salen de esta primera zona si cuando entran su velocidad se puede considerar prácticamente nula. [1,25 puntos]

b) Inmediatamente después, las gotas entran en una segunda zona donde dos placas cargadas generan un campo eléctrico uniforme, vertical y dirigido hacia abajo. Las placas están sometidas a una diferencia de potencial de $30{,}0\,\mathrm{V}$ y están separadas $1{,}50\,\mathrm{cm}$. Suponiendo que el campo eléctrico solo existe a lo largo de $2{,}00\,\mathrm{cm}$, determine el módulo de la aceleración de las gotas en esta segunda zona. ¿Qué tipo de movimiento describen las gotas en esta segunda zona? [1,25 puntos]

Nota: No tenga en cuenta la fuerza de la gravedad ni la fuerza de rozamiento.

El Fun-Fly-Stick es un ingenioso generador de electricidad estática que funciona con pilas y que permite hacer levitar objetos metálicos ligeros. Cuando se aprieta el botón se genera una carga estática negativa en la varita. Tocando el objeto con la varita, parte de esta carga se transfiere al objeto de forma que ambos quedan cargados y el objeto levita por encima de la varita. (Al realizar los cálculos, considere la varita y el objeto metálico como si fueran cargas puntuales).

a) Supongamos que, después de tocar el objeto, la varita y el objeto tienen la misma carga. Realice un dibujo de la situación de la varita y el objeto metálico levitante y dibuje las fuerzas sobre el objeto. Calcule cuál es la carga electrostática del objeto metálico si este tiene una masa de $10\,\mathrm{g}$ y se encuentra a una distancia de $55\,\mathrm{cm}$ de la varita. [$1{,}25$ puntos]

b) Considere ahora otra situación, en la que tanto la varita como el objeto metálico están cargados con una carga $q=-2\,\mathrm{μC}$ y separados a una distancia de $60\,\mathrm{cm}$. Calcule el módulo del campo eléctrico en el punto central de la línea que los une y el potencial eléctrico en este punto. Determine cuál es el trabajo que tendrá que hacer una fuerza externa para llevar un electrón desde el infinito hasta este punto central. [$1{,}25$ puntos] Datos: Gravedad en la superficie de la Tierra, $g=9{,}8\,\mathrm{m/s^{2}}$. $|e|=1{,}602\cdot10^{-19}\,\mathrm{C}$. $k$${}= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$${}= 8{,}99\cdot10^9\,\mathrm{N\,m^2\,C^{-2}}$.

Cuando se miden los valores de potencial eléctrico en una cubeta se obtiene la distribución representada en la figura, donde se pueden observar dos cargas ($Q_1$ y $Q_2$), una positiva y otra negativa.

a) Determine de forma razonada cuál es la carga positiva y cuál la negativa. Según su respuesta, dibuje la dirección y el sentido del campo eléctrico en el punto A.

[$1{,}25$ puntos]

b) Suponga que un electrón se mueve del punto A al punto B. Calcule el trabajo que realiza el campo eléctrico durante este movimiento. ¿Qué trabajo realiza el campo eléctrico cuando el electrón se mueve del punto A al punto C pasando por B?

[$1{,}25$ puntos]

Dato: |e| = $1{,}602\times10^{-19}\,\mathrm{C}$.

En el plano (x, y) de la siguiente figura se representan las líneas de campo eléctrico. En este plano hay dos iones, uno cargado positivamente y otro cargado negativamente.

Sabemos que uno de los iones ha perdido o ganado 4 electrones y que el otro ion ha perdido o ganado 1 electrón.

a) Determine las coordenadas x e y de la posición del ion cargado positivamente y del ion cargado negativamente. Determine cuál es la carga de cada ion, e indique si es positiva o negativa. Justifique las respuestas.

[$1{,}25$ puntos]

b) Si nos situásemos muy lejos de estos dos iones, ¿cuál sería la forma aproximada de sus superficies equipotenciales? Justifique la respuesta.

[$1{,}25$ puntos]

Un cañón de electrones es un dispositivo formado por un cátodo y un ánodo, y tiene como objetivo acelerar electrones que después serán dirigidos mediante un campo magnético para bombardear un blanco donde se encuentra una muestra de cierto material.

La curva de la siguiente figura representa la trayectoria que sigue un electrón desde que sale del cátodo hasta que impacta en el blanco. El objetivo es calentar el material hasta poder sublimarlo.

Los electrones son emitidos por el cátodo del cañón y tienen una velocidad inicial nula. Posteriormente, los electrones son acelerados en el espacio de $20{,}0\,\mathrm{cm}$ que separa el cátodo del ánodo. El campo eléctrico entre el ánodo y el cátodo es uniforme y constante. La diferencia de potencial entre el cátodo y el ánodo es de $220\,\mathrm{V}$.

a) Determine el módulo del campo eléctrico que existe entre el ánodo y el cátodo.

Represente sobre el dibujo las líneas de campo eléctrico indicando claramente su dirección y sentido. ¿Qué punto está a un potencial más alto, el ánodo o el cátodo?

Justifique las respuestas.

[$1{,}25$ puntos]

b) Tras atravesar el ánodo, los electrones son dirigidos por un campo magnético para que impacten contra el blanco. En este espacio, el campo eléctrico es nulo. Calcule el módulo de la velocidad de los electrones justo después de atravesar el ánodo y justo antes de impactar en el blanco. ¿Qué dirección y sentido debe tener el campo magnético para que los electrones impacten en el blanco? Represente sobre el dibujo el campo magnético. Justifique la respuesta.

[$1{,}25$ puntos]

Datos: $m_e$ = $9{,}11\times10^{-31}\,\mathrm{kg}$.

|e| = $1{,}602\times10^{-19}\,\mathrm{C}$.