VAN, TIR i termini de recuperació: exercicis de la PAU d’Empresa resolts

Plantejament El VAN (valor actual net) suma tots els fluxos de caixa del projecte portats al moment inicial amb el cost del capital $k$ i hi resta el desemborsament inicial $A$. Si $\text{VAN}>0$, el projecte recupera la inversió, paga el cost del capital i encara crea valor. El valor residual es cobra al final de la vida del projecte, de manera que se suma al flux de l’any 4. Tots els imports són en milions d’euros i $k=0{,}06$.

1. Fórmula del VAN:

   $\text{VAN}$${}= -A+\frac{Q_1}{1+k}+\frac{Q_2}{(1+k)^2}$${}+\frac{Q_3}{(1+k)^3}$${}+\frac{Q_4}{(1+k)^4}$

2. Flux de l’any 4 amb el valor residual sumat (X: $3+1$; Y: $8+6$; Z: $6+7$):

   $Q_4^X=4$$Q_4^Y=14$$Q_4^Z=13$

3. Projecte X, amb cada flux descomptat:

   $\text{VAN}_X$${}= -30+\frac{6}{1{,}06}$${}+\frac{8}{1{,}06^2}$${}+\frac{16}{1{,}06^3}$${}+\frac{4}{1{,}06^4}$${}= -30+5{,}660+7{,}120$${}+13{,}434+3{,}168$${}\approx -0{,}62$

4. Projecte Y:

   $\text{VAN}_Y$${}= -45+\frac{11{,}5}{1{,}06}$${}+\frac{13}{1{,}06^2}$${}+\frac{14{,}5}{1{,}06^3}$${}+\frac{14}{1{,}06^4}$${}= -45+10{,}849$${}+11{,}570+12{,}174$${}+11{,}089$${}\approx 0{,}68$

5. Projecte Z (el VAN és tan petit que cal sumar els fluxos sense arrodonir-los: amb tres decimals cadascun sortiria $0{,}014$):

   $\text{VAN}_Z$${}= -40+\frac{9{,}5}{1{,}06}$${}+\frac{12}{1{,}06^2}$${}+\frac{12}{1{,}06^3}$${}+\frac{13}{1{,}06^4}$${}\approx 0{,}015$

6. Criteri: només s’accepten els projectes amb VAN positiu i, entre aquests, es tria el de VAN més alt. X té VAN negatiu i no s’accepta; Z és positiu però gairebé zero (uns $15\,000$ €); Y té el VAN més alt.

Plantejament Les 4P del màrqueting digital són quatre maneres de relacionar-se amb el client que permet la tecnologia; no s’han de confondre amb les 4P clàssiques (producte, preu, distribució i comunicació).

1. Personalització: adaptar el producte, el preu i la comunicació a cada client, gràcies a la informació que l’empresa té de cadascun.

2. Participació: fer que els clients participin en l’empresa (comunitats, opinions, suggeriments de millora del producte).

3. Peer to peer (persona a persona): les recomanacions entre clients a les xarxes socials, que generen més confiança que la publicitat tradicional.

4. Prediccions en models: analitzar les dades dels clients (big data) per preveure què compraran i les tendències del mercat.

5. «Adaptar-se més a cada client deixant de banda el màrqueting massiu» és la personalització.

Plantejament La TIR és la taxa d’actualització que fa que el VAN sigui zero. Com més alta és la taxa, més petit és el VAN (els fluxos futurs valen menys avui). Per tant, el signe del VAN al $6$ % ja diu si la TIR és més gran o més petita que el $6$ %.

1. Projecte X: amb $k=6$ % el VAN és negatiu ($-0{,}62$); per arribar a VAN zero cal una taxa més baixa, així que la TIR de X és inferior al $6$ %. No supera el cost del capital i no és viable.

2. Projecte Y: amb $k=6$ % el VAN és clarament positiu ($0{,}68$); la TIR és superior al $6$ %.

3. Projecte Z: el VAN al $6$ % és positiu però gairebé zero ($0{,}015$); la TIR és només lleugerament superior al $6$ %.

4. Comparació: Y és el projecte que, al $6$ %, queda més per sobre de VAN zero, i aquí això coincideix amb ser el de TIR més alta i més allunyada del cost del capital (ho comprova el pas següent); en general, un VAN més alt no implica sempre una TIR més alta. Segons la TIR, es tria Y.

5. Comprovació numèrica (no la demana l’examen): resolent $\text{VAN}(r)=0$ surt

   $\text{TIR}_X\approx5{,}1\ \%$$\text{TIR}_Y\approx6{,}6\ \%$$\text{TIR}_Z\approx6{,}0\ \%$

Plantejament El termini de recuperació és el temps que triguen els fluxos de caixa acumulats a igualar el desemborsament inicial. Se suposa que el flux de cada any entra de manera uniforme durant l’any; el valor residual, en canvi, es cobra de cop al final de l’any 4, quan s’acaba el projecte. Imports en milions d’euros.

1. Projecte X (desemborsament $30$): fluxos acumulats

   $6\ \to\ 6+8=14\ \to\ 14+16=30$

2. Al final del tercer any s’ha recuperat exactament el desemborsament: X es recupera en 3 anys.

3. Projecte Y (desemborsament $45$): fluxos acumulats

   $11{,}5$${}\to 11{,}5+13$${}= 24{,}5$${}\to 24{,}5+14{,}5$${}= 39$

4. Falten $45-39=6$ milions, que es recuperen amb el flux de l’any 4 ($8$ milions repartits en 12 mesos):

   $\frac{6}{8}\cdot 12=9\ \text{mesos}$

5. Y es recupera en 3 anys i 9 mesos.

6. Projecte Z (desemborsament $40$): fluxos acumulats

   $9{,}5\ \to\ 21{,}5\ \to\ 33{,}5\ \to\ 33{,}5+6=39{,}5$

7. Amb els fluxos ordinaris queden $0{,}5$ milions per recuperar; arriben amb el valor residual ($7$ milions) que es cobra al final de l’any 4, de manera que Z es recupera als 4 anys.

8. Segons aquest mètode es prefereix el projecte que es recupera abans: X.

Plantejament La productivitat global compara el valor de tot el que es produeix amb el cost de tots els factors utilitzats. La taxa de variació diu en quin percentatge ha canviat respecte a l’any anterior.

1. Fórmula:

   $PG=\frac{\text{valor de la producció}}{\text{cost dels factors}}$

2. Valor de la producció (unitats per preu de cada producte):

   $15\,000\cdot 600$${}+22\,000\cdot 300$${}= 9\,000\,000+6\,600\,000$${}= 15\,600\,000$

3. Cost dels factors (hores de treball, matèria primera i hores de maquinària):

   $80\,000\cdot 30$${}+1\,000\,000\cdot 8$${}+60\,000\cdot 15$${}= 2\,400\,000$${}+8\,000\,000+900\,000$${}= 11\,300\,000$

4. Productivitat global del 2024:

   $PG_{2024}=\frac{15\,600\,000}{11\,300\,000}\approx1{,}3805$

5. Taxa de variació respecte al 2023 ($PG_{2023}=1{,}3$):

   $TV$${}= \frac{PG_{2024}-PG_{2023}}{PG_{2023}}\cdot 100$${}= \frac{1{,}3805-1{,}3}{1{,}3}\cdot 100$${}\approx 6{,}19\ \%$

6. Si s’arrodoneix abans la productivitat a $1{,}38$, la taxa surt $6{,}15$ %; totes dues respostes són correctes.

7. Interpretació: el 2024, per cada euro gastat en factors, l’empresa ha obtingut uns $1{,}38$ € de producció; la productivitat global ha millorat un $6{,}19$ % respecte al 2023.

Plantejament A la taula hi ha comptes de balanç i comptes de pèrdues i guanys barrejats. Al balanç només hi van els elements patrimonials (béns, drets, deutes i fons propis); les despeses i els ingressos (despeses financeres, amortització, aprovisionament, despeses de personal, altres despeses d’explotació, ingressos financers i import net de la xifra de negocis) es deixen per a l’apartat 2.2. Imports en milers d’euros.

1. Immobilitzat intangible: Recerca i desenvolupament $15$ i Aplicacions informàtiques $20{,}2$.

   $15+20{,}2=35{,}2$

2. Immobilitzat material: Construccions $478$, Maquinària $125$, Utillatge $98{,}5$, Mobiliari $11{,}6$, Elements de transport $198$ i Equips per a processos d’informació $40{,}1$.

   $478+125+98{,}5$${}+11{,}6+198+40{,}1$${}= 951{,}2$

3. Actiu no corrent:

   $35{,}2+951{,}2=986{,}4$

4. Existències: Matèries primeres $76{,}3$. Deutors comercials i altres comptes a cobrar: Clients $99{,}8$ i Deutors $45$.

   $99{,}8+45=144{,}8$

5. Efectiu i altres actius líquids: Bancs i institucions de crèdit $89{,}5$ i Caixa $45$.

   $89{,}5+45=134{,}5$

6. Actiu corrent i total de l’actiu:

   $76{,}3+144{,}8+134{,}5=355{,}6$$986{,}4+355{,}6=1\,342$

7. Patrimoni net: Capital social $976{,}8$, Reserves $47$ i Resultat de l’exercici $-8{,}9$ (són pèrdues i resten).

   $976{,}8+47-8{,}9=1\,014{,}9$

8. Passiu no corrent: Proveïdors de l’immobilitzat a llarg termini $15$ i Deutes a llarg termini amb entitats de crèdit $167{,}2$.

   $15+167{,}2=182{,}2$

9. Passiu corrent: Proveïdors $13{,}3$, Creditors per prestació de serveis $56{,}2$, Proveïdors de l’immobilitzat a curt termini $4$, Deutes a curt termini amb entitats de crèdit $63$, Hisenda pública creditora per conceptes fiscals $2$ i Organismes de la Seguretat Social creditors $6{,}4$.

   $13{,}3+56{,}2+4+63+2+6{,}4=144{,}9$

10. Total del patrimoni net i passiu, igual al total de l’actiu:

    $1\,014{,}9+182{,}2+144{,}9=1\,342$

Plantejament El compte de pèrdues i guanys parteix dels ingressos i hi resta les despeses en dos esglaons: primer les d’explotació (resultat d’explotació, que aquí és el BAII) i després les financeres (BAI). Si el BAI és negatiu no hi ha impost sobre beneficis. Imports en milers d’euros.

1. Ingressos d’explotació: Import net de la xifra de negocis $987{,}7$.

2. Despeses d’explotació: Aprovisionament $315$, Despeses de personal $457{,}3$, Amortització de l’immobilitzat $75{,}6$ i Altres despeses d’explotació $115$.

   $315+457{,}3+75{,}6+115=962{,}9$

3. Resultat d’explotació, que coincideix amb el BAII:

   $\text{BAII}=987{,}7-962{,}9=24{,}8$

4. Resultat financer (ingressos financers menys despeses financeres):

   $1-34{,}7=-33{,}7$

5. Benefici abans d’impostos:

   $\text{BAI}=24{,}8-33{,}7=-8{,}9$

6. Com que hi ha pèrdues, l’impost sobre beneficis és zero i el resultat net és el mateix BAI:

   $\text{BN}=-8{,}9$

7. Comprovació: coincideix amb el «Resultat de l’exercici» de $-8{,}9$ de la taula. L’explotació dona beneficis, però les despeses financeres se’ls mengen.

Plantejament La TIR és la rendibilitat que dona el projecte (la taxa que fa el VAN igual a zero); la taxa d’actualització és el cost dels diners per a l’empresa. Un projecte convé si rendeix més del que costa finançar-lo.

1. Criteri de la TIR: s’inverteix si la TIR és més gran que la taxa d’actualització.

2. Aquí la TIR és més gran que la taxa:

   $12\ \%>4\ \%$

3. El projecte rendeix 8 punts percentuals més que el cost del capital; descomptat al $4$ % tindria VAN positiu, de manera que crea valor.

Plantejament McGregor va contraposar dues maneres de veure el treballador: la teoria X (és mandrós, cal controlar-lo) i la teoria Y. Cal explicar la visió del treballador i el lideratge de la teoria Y.

1. Visió del treballador: és una persona activa, a qui la feina pot agradar, que es compromet més quan se li reconeix l’esforç. És capaç d’aprendre, innovar, resoldre problemes i assumir responsabilitats; amb objectius clars s’automotiva.

2. Tipus de lideratge: participatiu i motivador. El líder confia en l’equip, el fa participar en les decisions, delega responsabilitats, enriqueix les tasques i orienta la feina a aconseguir alhora els objectius personals i els de l’empresa.

Plantejament Els estils de lideratge es distingeixen per qui pren les decisions: el líder sol (autocràtic), el líder amb la participació de l’equip (democràtic) o l’equip mateix amb llibertat (liberal o laissez-faire).

1. Agnès: lideratge democràtic. Dona unes directrius generals, demana les propostes de tothom i decideix pel consens de l’equip; la decisió és participativa, fet que millora la motivació i la creativitat.

2. Joan: lideratge autocràtic. Decideix sol i de seguida, assigna les tasques sense consultar ni deixar discutir el pla i espera que s’obeeixin les instruccions. És útil quan cal decidir ràpid, però pot desmotivar l’equip.

3. Biel: lideratge liberal (laissez-faire). Delega gairebé tota la presa de decisions, dona llibertat total i només intervé si hi ha problemes. Funciona amb equips molt competents, però sense coordinació pot fer baixar l’eficiència.

Plantejament Cal reconèixer l’estructura sense jerarquia, amb equips que s’autogestionen.

1. És el model d’organització Teal (organització autogestionada).

2. Es basa en l’autogestió (els equips decideixen sense demanar permís a cap superior), la plenitud (les persones hi aporten tot el que són: habilitats i interessos) i un propòsit evolutiu compartit. Els rols són flexibles, el lideratge rota segons el projecte i el control dels alts càrrecs es redueix al mínim.

Plantejament El benefici és la diferència entre els ingressos i els costos totals (fixos més variables). Si surt negatiu, hi ha pèrdues.

1. Fórmula, amb $p$ el preu, $Q$ la quantitat, $CF$ els costos fixos i $c_v$ el cost variable unitari:

   $B=p\cdot Q-(CF+c_v\cdot Q)$

2. Amb $p=7{,}20$, $Q=10\,000$, $CF=48\,000$ i $c_v=2{,}60$:

   $B$${}= 7{,}20\cdot 10\,000$${}-(48\,000+2{,}60\cdot 10\,000)$${}= 72\,000-74\,000$${}= -2\,000$

3. També es veu amb el punt mort: per cobrir els costos fixos caldria vendre més paquets dels que ven.

   $Q^*$${}= \frac{CF}{p-c_v}$${}= \frac{48\,000}{7{,}20-2{,}60}$${}= \frac{48\,000}{4{,}60}$${}\approx 10\,435$${}> 10\,000$

Plantejament Es planteja la mateixa fórmula del benefici, però ara la incògnita és el cost variable total $CV$.

1. Fórmula:

   $B=p\cdot Q-CF-CV$

2. Amb $B=3\,500$, $p=7{,}20$, $Q=10\,000$ i $CF=48\,000$:

   $3\,500=72\,000-48\,000-CV$

3. Aïllem el cost variable total:

   $CV$${}= 72\,000-48\,000-3\,500$${}= 20\,500$

4. Equival a un cost variable unitari de

   $c_v=\frac{20\,500}{10\,000}=2{,}05$

Plantejament Cal recalcular els costos fixos (es redueixen un $30$ % i s’hi afegeix l’amortització anual de les màquines), treure el preu a partir del marge de contribució i calcular el punt mort.

1. Costos fixos després de la reducció del $30$ %:

   $48\,000\cdot 0{,}70=33\,600$

2. Amortització anual de les màquines ($40\,000$ € en cinc anys):

   $\frac{40\,000}{5}=8\,000$

3. Nous costos fixos anuals:

   $CF=33\,600+8\,000=41\,600$

4. El marge de contribució unitari és el preu menys el cost variable unitari:

   $p-c_v=8\ \Longrightarrow\ p=2{,}60+8=10{,}60$

5. Llindar de rendibilitat (punt mort):

   $Q^*=\frac{CF}{p-c_v}=\frac{41\,600}{8}=5\,200$

6. A partir de $5\,200$ paquets l’any l’empresa té beneficis; és molt per sota de la capacitat màxima de $18\,000$ paquets.

Plantejament Cal definir inversió expansiva, explicar què vol dir un VAN negatiu i decidir.

1. Una inversió expansiva és la que fa l’empresa per augmentar la seva capacitat productiva (nous equips, noves instaŀlacions o nous mercats), no per substituir equips gastats.

2. Un VAN de $-124\,800$ € vol dir que, si es porten al moment actual tots els fluxos de caixa del projecte, els pagaments superen els cobraments en $124\,800$ €: la inversió no recupera el que costa amb la rendibilitat exigida i destruiria valor.

3. Com que $\text{VAN}<0$, el projecte no és viable: no li aconsellaríem fer la inversió.

Plantejament El compte de pèrdues i guanys parteix dels ingressos d’explotació, hi resta les despeses d’explotació (resultat d’explotació), després hi suma el resultat financer (BAI) i, finalment, l’impost sobre beneficis (BN). Imports en milers d’euros.

1. Ingressos d’explotació: l’import net de la xifra de negocis, $245$.

2. Despeses d’explotació: aprovisionaments, despeses de personal, amortització de l’immobilitzat i altres despeses d’explotació.

   $9{,}2+105+4{,}2+115=233{,}4$

3. Resultat d’explotació. És el resultat abans d’interessos i impostos (BAII), perquè encara no hi compta cap ingrés ni despesa financera:

   $\text{BAII}=245-233{,}4=11{,}6$

4. Resultat financer: no hi ha ingressos financers i les despeses financeres són $2{,}1$.

   $0-2{,}1=-2{,}1$

5. Benefici abans d’impostos:

   $\text{BAI}=11{,}6-2{,}1=9{,}5$

6. Benefici net, després de restar l’impost sobre beneficis:

   $\text{BN}=9{,}5-2{,}8=6{,}7$

Plantejament La rendibilitat econòmica (RE) compara el benefici abans d’interessos i impostos amb tot l’actiu; la rendibilitat financera (RF) compara el benefici net amb el patrimoni net, que no dona l’enunciat i surt de l’actiu total menys els recursos aliens. Imports en milers d’euros.

1. Fórmules:

   $\text{RE}=\frac{\text{BAII}}{\text{actiu total}}\cdot 100$$\text{RF}=\frac{\text{BN}}{\text{PN}}\cdot 100$

2. Rendibilitat econòmica, amb el BAII de l’apartat anterior:

   $\text{RE}=\frac{11{,}6}{98}\cdot 100\approx11{,}84\ \%$

3. Interpretació: cada $100$ € invertits en l’actiu de l’empresa han generat $11{,}84$ € de BAII. Mesura com de rendibles són les inversions de l’empresa, sense tenir en compte com es financen; com més alta, millor.

4. Patrimoni net: com que actiu total $=$ passiu $+$ patrimoni net,

   $\text{PN}=98-51=47$

5. Rendibilitat financera:

   $\text{RF}=\frac{6{,}7}{47}\cdot 100\approx14{,}26\ \%$

6. Interpretació: per cada $100$ € de recursos propis (el que han aportat els socis i els beneficis no repartits), l’empresa ha obtingut $14{,}26$ € de benefici net. Mesura la rendibilitat que obtenen els propietaris; com més alta, més guanyen els socis.

Plantejament El VAN porta tots els fluxos de caixa al moment inicial amb la taxa d’actualització $k=0{,}02$ i hi resta el desemborsament inicial $A$. Se n’ha de calcular el de cada projecte, triar i explicar què vol dir el signe.

1. Fórmula del VAN per a tres anys:

   $\text{VAN}$${}= -A+\frac{Q_1}{1+k}+\frac{Q_2}{(1+k)^2}$${}+\frac{Q_3}{(1+k)^3}$

2. Projecte A (Xina), amb cada flux descomptat:

   $\text{VAN}_A$${}= -1\,000+\frac{600}{1{,}02}$${}+\frac{900}{1{,}02^2}$${}+\frac{200}{1{,}02^3}$${}= -1\,000+588{,}24$${}+865{,}05+188{,}46$${}\approx 641{,}75$

3. Projecte B (Japó):

   $\text{VAN}_B$${}= -2\,200+\frac{800}{1{,}02}$${}+\frac{1\,000}{1{,}02^2}$${}+\frac{400}{1{,}02^3}$${}= -2\,200+784{,}31$${}+961{,}17+376{,}93$${}\approx -77{,}59$

4. Què vol dir el signe: si el VAN és més gran que zero, els fluxos de caixa actualitzats superen el desemborsament inicial; el projecte recupera la inversió, paga la rendibilitat exigida del $2$ % i, a més, genera valor, així que és efectuable. Si el VAN és més petit que zero, els fluxos actualitzats no arriben a cobrir el desemborsament i el projecte s’ha de rebutjar. Si fos zero, seria indiferent.

5. Decisió: A té el VAN positiu ($641{,}75$ €) i B, negatiu ($-77{,}59$ €). B no es pot escollir, i A és el projecte que crea valor.

Plantejament El punt mort ($Q^*$) és la quantitat de motos amb què els ingressos totals igualen els costos totals: el benefici és zero. Cal $Q^*=\frac{CF}{p-c_v}$, però l’enunciat no dona els costos fixos ($CF$): surten dels costos totals de les $500$ motos produïdes menys els costos variables.

1. Costos variables totals de les $500$ motos:

   $CV=500\cdot 3\,000=1\,500\,000$

2. Costos fixos, de $CT=CF+CV$:

   $CF$${}= 4\,000\,000-1\,500\,000$${}= 2\,500\,000$

3. Punt mort, amb el preu $p=4\,000$ € i el cost variable unitari $c_v=3\,000$ €: cada moto deixa un marge de $1\,000$ € per cobrir els costos fixos.

   $Q^*$${}= \frac{CF}{p-c_v}$${}= \frac{2\,500\,000}{4\,000-3\,000}$${}= \frac{2\,500\,000}{1\,000}$${}= 2\,500$

4. Interpretació: amb $2\,500$ motos, ingressos i costos són iguals i el benefici és zero. Per sobre de $2\,500$ motos l’empresa té beneficis, i per sota, pèrdues.

5. Aquest any ha produït $500$ motos, molt per sota del punt mort. Si les ven totes, té pèrdues:

   $B$${}= 500\cdot 4\,000-4\,000\,000$${}= -2\,000\,000$

6. Perquè la fabricació sigui rendible, ha de vendre més de $2\,500$ motos: $2\,000$ més que ara.

ResultatEl punt mort és de $2\,500$ motos ($CF=2\,500\,000$ €): per sobre, l’empresa guanya diners i, per sota, en perd. Amb les $500$ motos d’aquest any perdria $2\,000\,000$ €.

La pauta oficial dona: $CV=500\cdot 3\,000=1\,500\,000$; $CF=2\,500\,000$ €; $X_{PM}$${}= 2\,500\,000/(4\,000-3\,000)$${}= 2\,500$ motos; per sobre, beneficis; per sota, pèrdues.

Plantejament El benefici és ingressos totals menys costos totals, i els costos totals són els fixos més els variables ($35$ € per salvavides).

1. Ingressos totals:

   $IT=65\cdot 1\,666=108\,290$

2. Costos variables totals:

   $CV=35\cdot 1\,666=58\,310$

3. Costos totals:

   $CT=30\,000+58\,310=88\,310$

4. Benefici:

   $B$${}= IT-CT$${}= 108\,290-88\,310$${}= 19\,980$

5. Comprovació amb el marge: cada salvavides deixa $65-35=30$ €, i el punt mort és $\frac{30\,000}{30}=1\,000$ salvavides. En ven $666$ més, i cadascun d’aquests aporta $30$ € de benefici:

   $666\cdot 30=19\,980$

Plantejament El termini de recuperació (payback) és el temps que tarden els fluxos de caixa acumulats a igualar el desemborsament inicial; amb aquest criteri es prefereix la inversió que es recupera abans. Se suposa que el flux de cada any entra de manera uniforme durant l’any.

1. Motor Corremolt (desemborsament de $8\,000$ €): el primer any recupera $4\,000$ € i en falten $4\,000$, que arriben amb part del flux del segon any ($6\,000$ € en $12$ mesos):

   $\frac{4\,000}{6\,000}\cdot 12=8\ \text{mesos}$

2. Corremolt es recupera en $1$ any i $8$ mesos (amb un any comercial de $360$ dies, $1$ any i $240$ dies).

3. Motor Corremés (desemborsament d’$11\,000$ €): fluxos acumulats

   $2\,000$${}\to 2\,000+2\,000$${}= 4\,000$${}\to 4\,000+8\,000$${}= 12\,000$

4. Al final del segon any falten $11\,000-4\,000=7\,000$ €, que arriben amb part del flux del tercer any ($8\,000$ € en $12$ mesos):

   $\frac{7\,000}{8\,000}\cdot 12=10{,}5\ \text{mesos}$

5. Corremés es recupera en $2$ anys i $10{,}5$ mesos (deu mesos i mig).

6. Segons el payback, és millor el Motor Corremolt, perquè recupera la inversió més d’un any abans. És un criteri adequat quan interessa recuperar la inversió com més aviat millor.

7. Inconvenient del mètode: és estàtic, no té en compte el moment en què arriben els fluxos ni el valor del diner en el temps (tipus d’interès, inflació): suma igual un euro d’ara que un d’aquí a tres anys. Un altre inconvenient és que no té en compte els fluxos posteriors a la recuperació: aquí ignora els $20\,000$ € que el Corremés genera el quart any. N’hi ha prou de dir-ne un.

Plantejament Es demana triar, sense calcular, l’opció més convenient segons la TIR. Una inversió és acceptable si la seva TIR supera la taxa d’actualització $k$, que és la rendibilitat mínima que s’exigeix a aquella inversió.

1. Opció 1: la TIR ($1$ %) és més gran que $k$ ($0$ %), de manera que és acceptable, però només la supera en un punt.

2. Opció 2: la TIR ($15$ %) és més petita que $k$ ($20$ %): no arriba a la rendibilitat mínima exigida i es rebutja, encara que la seva TIR sigui la més alta de les tres.

3. Opció 3: la TIR ($10$ %) és més gran que $k$ ($5$ %): és acceptable i supera la seva taxa d’actualització en cinc punts.

4. Entre les dues opcions acceptables, l’opció 3 té la TIR més alta ($10$ % davant de l’$1$ %) i també la diferència més gran entre la TIR i $k$.

Plantejament El VAN (valor actual net) suma els fluxos de caixa de l’opció 3 portats al moment inicial amb la taxa $k=0{,}05$ i hi resta el desemborsament inicial $A$. Si el VAN és positiu, la inversió recupera el que s’hi posa, paga la rendibilitat exigida i, a més, guanya diners.

1. Fórmula del VAN:

   $\text{VAN}$${}= -A+\frac{Q_1}{1+k}+\frac{Q_2}{(1+k)^2}$${}+\frac{Q_3}{(1+k)^3}$

2. Amb $A=4\,000$ €, $Q_1=Q_2=Q_3=1\,600$ € i $k=0{,}05$, cada flux descomptat (arrodonit a una xifra decimal):

   $\text{VAN}$${}= -4\,000+\frac{1\,600}{1{,}05}$${}+\frac{1\,600}{1{,}05^2}$${}+\frac{1\,600}{1{,}05^3}$${}= -4\,000+1\,523{,}8$${}+1\,451{,}2+1\,382{,}1$

3. Sumant els fluxos descomptats amb tots els decimals (amb els arrodonits de dalt sortiria $357{,}1$):

   $\text{VAN}\approx 357{,}2$

4. El VAN és positiu: els fluxos de caixa, valorats en el moment de fer la inversió, sumen uns $4\,357{,}2$ €, més que els $4\,000$ € que s’inverteixen. L’opció 3 recupera la inversió, dona el $5$ % exigit i, a més, aporta uns $357{,}2$ € de valor actual.

5. Nota: amb aquests fluxos, la TIR de l’opció 3 és d’un $9{,}7$ % aproximadament; l’enunciat la dona com un $10$ %. Continua sent més gran que $k=5$ %, de manera que la conclusió de l’apartat 2.1 no canvia.

Plantejament Es demana el flux de caixa del tercer any perquè la inversió es recuperi en 2 anys i 3 mesos. Se suposa, com és habitual, que el flux de cada any entra de manera uniforme al llarg de l’any.

1. Fluxos acumulats en els dos primers anys:

   $1\,600+1\,600=3\,200$

2. El que falta per recuperar del desemborsament al final del segon any:

   $4\,000-3\,200=800$

3. Aquests $800$ € s’han de recuperar en els 3 primers mesos del tercer any, és a dir, en $\frac{3}{12}$ de l’any. Si $Q_3$ és el flux del tercer any:

   $\frac{3}{12}\cdot Q_3$${}= 800$${}\Longrightarrow Q_3$${}= \frac{800\cdot 12}{3}$${}= 3\,200$

4. Comprovació: amb $Q_3=3\,200$ €, cada mes del tercer any entren $\frac{3\,200}{12}$ €, i en 3 mesos s’arriba als $800$ € que faltaven.

Plantejament Es demana explicar el criteri del VAN i calcular les dues dades esborrades: el desemborsament inicial del projecte 1 i el flux de caixa de l’any 2 del projecte 2. L’enunciat diu que, amb un cost de capital del $6$ %, el VAN dels dos projectes és zero; per tant, les dades que falten són les que fan $\text{VAN}=0$, que és el límit perquè un projecte s’accepti. Per no escriure xifres amb massa dígits, treballem en milers d’euros.

1. El VAN (valor actual net) és un mètode dinàmic de selecció d’inversions: té en compte que els diners canvien de valor amb el temps. Consisteix a actualitzar tots els fluxos de caixa nets al moment inicial amb la taxa de descompte $k$ i restar-los el desemborsament inicial $A$:

   $\text{VAN}$${}= -A+\frac{Q_1}{1+k}+\frac{Q_2}{(1+k)^2}$${}+\frac{Q_3}{(1+k)^3}$

2. Un projecte s’accepta si el VAN és igual o més gran que zero: el valor actual dels fluxos que genera cobreix el desemborsament inicial. Entre diversos projectes, es prefereix el de VAN més alt.

3. Projecte 1: amb $\text{VAN}=0$, el desemborsament és igual a la suma dels fluxos actualitzats al $6$ %:

   $A_1$${}= \frac{100}{1{,}06}$${}+\frac{90}{1{,}06^2}$${}+\frac{100}{1{,}06^3}$${}\approx 94{,}34+80{,}10+83{,}96$${}= 258{,}40$

4. És a dir, uns $258\,400$ €. És el desemborsament inicial màxim: amb un desemborsament més gran el VAN seria negatiu i el projecte es rebutjaria.

5. Projecte 2: amb $\text{VAN}=0$, el flux de l’any 2 actualitzat ha de cobrir el que no cobreixen els altres dos fluxos:

   $\frac{Q_2}{1{,}06^2}$${}= 270-\frac{105}{1{,}06}$${}-\frac{150}{1{,}06^3}$${}\approx 270-99{,}06-125{,}94$${}= 45{,}00$

6. El portem a l’any 2 multiplicant per $1{,}06^2=1{,}1236$:

   $Q_2\approx 45{,}00\cdot 1{,}1236\approx 50{,}56$

7. Amb més decimals surt $50{,}563$ milers d’euros, uns $50\,563$ €. És el flux mínim de l’any 2: si fos més petit, el VAN seria negatiu.

Plantejament Cal explicar les tres fonts de finançament i triar la que compleix les dues condicions de l’empresa: que sigui externa (aliena) i a llarg termini.

1. Facturatge (factoring): l’empresa (la cedent) transfereix els seus drets de cobrament sobre clients i deutors a una entitat especialitzada (el factor, normalment un banc), que els cobra al venciment i, en el facturatge sense recurs, assumeix el risc d’impagament, tot a canvi d’una comissió. Abans, el factor selecciona els saldos de clients i deutors que accepta i rebutja els que tenen historial de morositat. És finançament extern a curt termini.

2. Préstec a cinc anys: una entitat de crèdit lliura a l’empresa un import pactat, que l’empresa retorna amb interessos segons un pla d’amortització a cinc anys. És finançament extern a llarg termini (més d’un any).

3. Crèdit comercial (proveïdors): l’empresa compra als proveïdors i els paga més tard; mentrestant disposa del que ha comprat sense haver-ho pagat, i això és una forma de finançament. És finançament extern a curt termini.

4. Elecció: el préstec a cinc anys, perquè és l’única de les tres fonts que és externa i a llarg termini, com demana l’empresa. El facturatge i el crèdit comercial són externs, però a curt termini.

Plantejament Es demana aplicar el criteri de la TIR als tres projectes amb un cost de capital del $6$ %. La TIR dels projectes 1 i 2 surt de l’apartat 2.1: és la taxa que fa que el seu VAN sigui zero.

1. La TIR (taxa interna de rendibilitat) és, com el VAN, un mètode dinàmic. És la taxa de descompte que fa que el VAN d’una inversió sigui zero; és la rendibilitat del projecte en percentatge. Un projecte interessa si la TIR és més gran que el cost del capital $k$, i entre diversos projectes es tria el de TIR més alta.

2. Projectes 1 i 2: l’enunciat diu que amb $k=6$ % el VAN és zero, així que la TIR és exactament del $6$ %. Rendeixen just el que costen els diners: per cada $100$ € que l’empresa demana prestats al $6$ % n’ha de tornar $106$ €, i la inversió li’n dona $106$ €; no en perd, però tampoc no en guanya.

3. Projecte 3: TIR del $7$ %, més gran que el $6$ %. Per cada $100$ € demanats al $6$ % n’obté $107$ €: en torna $106$ € i en guanya $1$ € més (un $1$ % més).

4. S’aconsella el projecte 3, l’únic amb una TIR més gran que el cost del capital i la TIR més alta dels tres. Els projectes 1 i 2 es desaconsellen perquè només igualen el cost del capital ($\text{TIR}=k$): no aporten cap rendibilitat per sobre del que costa finançar-los.

Plantejament Cal calcular tres ràtios de liquiditat a curt termini amb les dades de l’enunciat i comparar cadascuna amb el seu valor orientatiu. Totes tres comparen el que l’empresa pot convertir en diners a curt termini amb el passiu corrent ($10\,000$ €).

1. Disponibilitat: el disponible (caixa i bancs) entre el passiu corrent.

   $\text{Disponibilitat}$${}= \frac{\text{Disponible}}{\text{Passiu corrent}}$${}= \frac{3\,500}{10\,000}$${}= 0{,}35$

2. El valor orientatiu és d’uns $0{,}3$ (l’òptim, entre $0{,}3$ i $0{,}4$). L’empresa té $0{,}35$, dins de l’òptim: amb els diners de caixa i bancs podria pagar el $35$ % dels deutes a curt termini. No té problemes de disponibilitat: un valor més petit podria portar problemes per pagar, i un de molt més gran indicaria diners aturats que no es rendibilitzen.

3. Tresoreria: realitzable més disponible entre el passiu corrent.

   $\text{Tresoreria}$${}= \frac{\text{Realitzable}+\text{Disponible}}{\text{Passiu corrent}}$${}= \frac{6\,500+3\,500}{10\,000}$${}= 1$

4. El valor orientatiu és d’1, aproximadament (també s’accepta un interval d’entre $0{,}8$ i $1{,}2$). L’empresa té exactament $1$: amb el que té i el que cobrarà aviat pot pagar els deutes a curt termini sense risc de suspensió de pagaments. Per sota d’1 no podria, i molt per sobre tindria un excés de liquiditat poc rendible.

5. Liquiditat: actiu corrent entre passiu corrent.

   $\text{Liquiditat}$${}= \frac{\text{Actiu corrent}}{\text{Passiu corrent}}$${}= \frac{16\,000}{10\,000}$${}= 1{,}6$

6. El valor orientatiu és d’entre $1{,}5$ i $2$ (alguns llibres donen d’entre $1$ i $2$, o d’entre $1{,}5$ i $1{,}8$). L’empresa té $1{,}6$, dins de l’interval: pot fer front als deutes i les obligacions a curt termini.

7. Una liquiditat més gran que $1$ equival a un fons de maniobra positiu, senyal d’equilibri financer: una part de l’actiu corrent es finança amb recursos permanents.

   $FM$${}= \text{Actiu corrent}$${}-\text{Passiu corrent}$${}= 16\,000-10\,000$${}= 6\,000$

Plantejament Per saber si l’empresa pot endeutar-se més cal calcular la ràtio d’endeutament, que mesura quina part del finançament total són deutes (passiu corrent més passiu no corrent), i comparar-la amb el seu valor orientatiu.

1. Total del patrimoni net i el passiu (finançament total):

   $40\,000+5\,000+10\,000=55\,000$

2. Total de deutes:

   $5\,000+10\,000=15\,000$

3. Ràtio d’endeutament, en percentatge:

   $\text{Endeutament}$${}= \frac{\text{Passiu no corrent}+\text{Passiu corrent}}{\text{Patrimoni net}+\text{Passiu}}\cdot 100$${}= \frac{15\,000}{55\,000}\cdot 100$${}\approx 27{,}27$

4. Així, el $27{,}27$ % del finançament de l’empresa són deutes i la resta, recursos propis. Com més alta és la ràtio, més depèn l’empresa del finançament aliè.

5. El valor orientatiu és d’entre el $40$ % i el $60$ % ($0{,}4$–$0{,}6$); per sobre del $60$ % l’empresa s’estaria endeutant més del que pot. Altres llibres donen d’entre el $20$ % i el $80$ % ($0{,}2$–$0{,}8$).

6. Resposta al gerent: l’endeutament és baix (per sota del $40$ % de referència; amb l’interval ampli, a la part baixa), així que sí: si necessita més finançament, pot endeutar-se més, amb un préstec a curt o a llarg termini o amb una altra font de finançament aliena, segons el volum que necessiti.

Plantejament Es demanen tres coses: una diferència entre els mètodes estàtics i els dinàmics, el concepte de termini de recuperació (payback) i el seu càlcul per als dos projectes.

1. Diferència: els mètodes estàtics no tenen en compte el pas del temps, és a dir, tracten igual un euro cobrat avui que un de cobrat d’aquí a uns anys; els dinàmics sí que el tenen en compte, perquè actualitzen els fluxos de caixa amb una taxa de descompte. El payback és un mètode estàtic; el VAN i la TIR són dinàmics.

2. Termini de recuperació (payback): el temps que triga una inversió a recuperar el desemborsament inicial amb els fluxos de caixa que genera. Es dona en anys i, si cal, en mesos o dies.

3. Projecte 1: el primer any recupera $400$ €; en falten $1\,000-400=600$, que arriben durant el segon any. Suposant que el flux entra de manera uniforme al llarg de l’any, la part del segon any que cal és:

   $\frac{600}{800}\cdot 12=0{,}75\cdot 12=9\ \text{mesos}$

4. El projecte 1 es recupera en 1 any i 9 mesos.

5. Projecte 2: $500$ € el primer any i $500$ € el segon; els $1\,000$ € es recuperen just al final del segon any: 2 anys.

   $500+500=1\,000$

6. Segons el payback, el millor és el projecte 1, perquè recupera abans el desemborsament inicial.