Productividad, costes y punto muerto: ejercicios de la PAU de Empresa de Andalucía resueltos

Planteamiento La productividad global compara el valor de la producción con el coste de todos los factores empleados (trabajo y maquinaria). El enunciado solo da los precios y los costes del año pasado: se usan para los dos años (precios constantes), y así la comparación mide cuánto ha cambiado la eficiencia y no los precios.

1. Fórmula de la productividad global:

   $PG=\frac{\text{valor de la producción}}{\text{coste de los factores}}$

2. Año pasado. Horas de trabajo: $25$ trabajadores por $7$ horas diarias por $150$ días.

   $25\cdot 7\cdot 150=26\,250\ \mathrm{h}$

3. Año pasado. Valor de la producción ($1\,300$ bicicletas a $450$ € y $2\,900$ patinetes a $280$ €):

   $1\,300\cdot 450$${}+2\,900\cdot 280$${}= 585\,000+812\,000$${}= 1\,397\,000$

4. Año pasado. Coste de los factores (las $26\,250$ horas de trabajo a $20$ €/h y las $1\,400$ horas de máquina a $120$ €/h):

   $26\,250\cdot 20$${}+1\,400\cdot 120$${}= 525\,000+168\,000$${}= 693\,000$

5. Productividad global del año pasado:

   $PG_{\text{año pasado}}$${}= \frac{1\,397\,000}{693\,000}$${}\approx 2{,}0159$

6. Este año. Horas de trabajo: $25$ trabajadores por $6$ horas diarias por $145$ días.

   $25\cdot 6\cdot 145=21\,750\ \mathrm{h}$

7. Este año. Unidades producidas: las bicicletas suben un $10$ % y los patinetes bajan un $5$ %.

   $1\,300\cdot 1{,}10=1\,430$$2\,900\cdot 0{,}95=2\,755$

8. Este año. Valor de la producción, con los precios del año pasado:

   $1\,430\cdot 450$${}+2\,755\cdot 280$${}= 643\,500+771\,400$${}= 1\,414\,900$

9. Este año. Coste de los factores ($21\,750$ horas de trabajo y $1\,300$ horas de máquina):

   $21\,750\cdot 20$${}+1\,300\cdot 120$${}= 435\,000+156\,000$${}= 591\,000$

10. Productividad global de este año:

    $PG_{\text{este año}}$${}= \frac{1\,414\,900}{591\,000}$${}\approx 2{,}3941$

11. Interpretación: el año pasado cada euro gastado en factores generó unos $2{,}02$ € de producción; este año, unos $2{,}39$ €.

Planteamiento La tasa de variación dice en qué porcentaje ha cambiado la productividad global de un año a otro.

1. Fórmula de la tasa de variación:

   $TV$${}= \frac{PG_{\text{este año}}-PG_{\text{año pasado}}}{PG_{\text{año pasado}}}\cdot 100$

2. Con las productividades del apartado anterior:

   $TV$${}= \frac{2{,}3941-2{,}0159}{2{,}0159}\cdot 100$${}\approx 18{,}76\ \%$

3. Ojo: si antes se redondean las productividades a dos decimales ($2{,}39$ y $2{,}02$), sale $18{,}32$ %. Por eso conviene arrastrar cuatro decimales; la conclusión es la misma.

4. Por qué ha subido: este año se han empleado menos factores ($21\,750$ horas de trabajo en lugar de $26\,250$ y $1\,300$ horas de máquina en lugar de $1\,400$, así que el coste baja de $693\,000$ € a $591\,000$ €) y, aun así, el valor de la producción ha crecido algo (de $1\,397\,000$ € a $1\,414\,900$ €).

5. Interpretación: la productividad global ha aumentado alrededor de un $18{,}8$ %. La empresa es más eficiente: obtiene más valor de producción por cada euro que gasta en trabajo y maquinaria.

Planteamiento Un coste es relevante para una decisión si es futuro y cambia según la opción que se elija. Dentro de los relevantes, los costes fijos no dependen del número de menús y los variables crecen con él.

1. Opción A (cocina propia), costes fijos: la maquinaria que hay que comprar (su amortización) y los sueldos y la Seguridad Social del personal fijo a jornada completa. Se pagan igual coman muchos o pocos alumnos.

2. Opción A, costes variables: la materia prima (los alimentos), que depende del número de menús servidos, $Q$. Con $CF_A$ los costes fijos y $c_v$ la materia prima de cada menú, el coste total de la opción A es:

   $CT_A=CF_A+c_v\cdot Q$

3. Opción B (catering externo): solo hay costes variables. Se paga un precio cerrado, $p_{\text{menú}}$, por cada menú que sirve el catering, así que el coste variable total es ese precio por el número de menús:

   $CT_B=p_{\text{menú}}\cdot Q$

4. Los $1\,500$ € de los planos no son un coste relevante: son un coste hundido (irrecuperable). Ya se pagaron hace dos meses y no se recuperan se elija la opción que se elija, así que no deben influir en la decisión. Pensar que se «tiran a la basura» si se elige el catering es un error de razonamiento.

5. Recomendación: la opción B. Convierte todo el coste del comedor en variable: si un día comen menos niños, se paga menos, y la escuela no carga con la compra de maquinaria ni con una plantilla fija. El único argumento a favor de la A, los planos, no cuenta, porque es un coste hundido.

6. La opción A solo saldría más barata si se sirvieran muchos menús de forma estable, los suficientes para repartir sus costes fijos:

   $CT_A$${}< CT_B\iff Q$${}> \frac{CF_A}{p_{\text{menú}}-c_v}$

7. Con una asistencia que cambia cada día y sin datos que garanticen ese volumen, la opción B es la más prudente.

Planteamiento La productividad global divide el valor de la producción entre el coste de los factores empleados: aquí, la materia prima y las horas de trabajo.

1. Fórmula:

   $PG=\frac{\text{valor de la producción}}{\text{coste de los factores}}$

2. Horas de trabajo en enero: $3$ personas por $8$ horas diarias por $20$ días.

   $3\cdot 8\cdot 20=480\ \mathrm{h}$

3. Coste de los factores en enero (la materia prima a $12$ €/kg y el trabajo a $10$ €/h):

   $450\cdot 12+480\cdot 10$${}= 5\,400+4\,800$${}= 10\,200$

4. Productividad global de enero, con el valor de la producción que da el enunciado ($22\,500$ €):

   $PG_{\text{enero}}=\frac{22\,500}{10\,200}\approx2{,}2059$

5. Interpretación: en enero, cada euro gastado en materia prima y trabajo generó unos $2{,}21$ € de producción.

Planteamiento Mismo cálculo con los datos de febrero; los precios de los factores no cambian.

1. Horas de trabajo en febrero: $3$ personas por $8$ horas diarias por $19$ días.

   $3\cdot 8\cdot 19=456\ \mathrm{h}$

2. Coste de los factores en febrero:

   $417\cdot 12+456\cdot 10$${}= 5\,004+4\,560$${}= 9\,564$

3. Productividad global de febrero, con $20\,850$ € de producción:

   $PG_{\text{febrero}}=\frac{20\,850}{9\,564}\approx2{,}1801$

4. Interpretación: en febrero, cada euro gastado en factores generó unos $2{,}18$ € de producción.

Planteamiento La variación porcentual (tasa de variación) compara la productividad de febrero con la de enero.

1. Fórmula:

   $TV$${}= \frac{PG_{\text{febrero}}-PG_{\text{enero}}}{PG_{\text{enero}}}\cdot 100$

2. Con las productividades de los apartados anteriores:

   $TV$${}= \frac{2{,}1801-2{,}2059}{2{,}2059}\cdot 100$${}\approx -1{,}17\ \%$

3. Ojo: si antes se redondean las productividades a dos decimales ($2{,}18$ y $2{,}21$), sale $-1{,}36$ %. Con una variación tan pequeña el redondeo pesa mucho; por eso se arrastran cuatro decimales.

4. Por qué ha bajado: la productividad de la materia prima no ha cambiado ($750/450$ y $695/417$ dan los dos unos $1{,}67$ bolsos por kilo), pero la del trabajo sí ha bajado, de $750/480\approx1{,}56$ a $695/456\approx1{,}52$ bolsos por hora.

5. Interpretación: la productividad global ha disminuido alrededor de un $1{,}17$ % de enero a febrero. La empresa ha sido algo menos eficiente, porque ha necesitado más horas de trabajo por bolso.

Planteamiento Según su relación con el volumen de producción, los costes son fijos o variables.

1. Costes fijos: no dependen de cuántas mesas y estanterías se fabriquen; se pagan aunque la producción sea cero. Ejemplo: el alquiler de la nave del taller (también el sueldo del gerente o el seguro).

2. Costes variables: cambian con el volumen de producción: cuantas más unidades, más coste. Ejemplo: la madera y el barniz con los que se fabrican las mesas y las estanterías.

3. Juntos forman el coste total, con $Q$ unidades fabricadas y $c_v$ el coste variable de cada una:

   $CT=CF+CV=CF+c_v\cdot Q$

Planteamiento Según se puedan asignar o no a cada producto, los costes son directos o indirectos.

1. Costes directos: se pueden asignar con exactitud a un producto concreto. Ejemplo: la madera que lleva cada mesa de comedor o las horas de los carpinteros que solo montan estanterías.

2. Costes indirectos: son comunes a los dos productos y no se pueden asignar directamente a uno; hay que repartirlos con alguna regla, por ejemplo según las horas de máquina. Ejemplo: la electricidad del taller, el alquiler de la nave o el sueldo del gerente.

Planteamiento La productividad global compara el valor de todo lo que la empresa produce con el coste de todos los factores que ha usado para producirlo. Aquí los factores son el trabajo (las horas de la plantilla) y la materia prima. Importes en euros.

1. Fórmula de la productividad global:

   $PG=\frac{\text{valor de la producción}}{\text{coste de los factores}}$

2. Valor de la producción, cajas vendidas por su precio:

   $22\,800\cdot 12+53\,500\cdot 5$${}= 273\,600+267\,500$${}= 541\,100$

3. Horas de trabajo del año, $15$ personas por $1\,400$ horas cada una:

   $15\cdot 1\,400=21\,000\ \text{h}$

4. Coste de los factores: las horas de trabajo a $12$ € y los kilogramos de materia prima a $7$ €.

   $21\,000\cdot 12+3\,800\cdot 7$${}= 252\,000+26\,600$${}= 278\,600$

5. Productividad global de 2024:

   $PG_{2024}=\frac{541\,100}{278\,600}\approx1{,}9422$

6. Interpretación: por cada euro que la empresa gasta en trabajo y materia prima obtiene unos $1{,}94$ € de producción, casi el doble de lo que le cuestan esos factores.

Planteamiento La tasa de variación dice en qué porcentaje ha cambiado la productividad global respecto al año anterior. Se pueden comparar porque la del año anterior está calculada a precios constantes, es decir, con los mismos precios.

1. Fórmula de la tasa de variación, con $PG_{2023}=1{,}55$ la productividad del año anterior:

   $TV$${}= \frac{PG_{2024}-PG_{2023}}{PG_{2023}}\cdot 100$

2. Sustituyendo, con la productividad de 2024 con cuatro decimales ($1{,}9422$, del apartado a):

   $TV$${}= \frac{1{,}9422-1{,}55}{1{,}55}\cdot 100$${}= \frac{0{,}3922}{1{,}55}\cdot 100$${}\approx 25{,}30\ \%$

3. Si se redondea antes la productividad a $1{,}94$, la tasa sale un poco distinta; las dos respuestas son correctas.

   $\frac{1{,}94-1{,}55}{1{,}55}\cdot 100\approx25{,}16\ \%$

4. Comentario: la productividad global ha aumentado alrededor de un $25$ % respecto al año anterior. Por cada euro gastado en factores, la empresa obtiene ahora un $25$ % más de producción: ha mejorado su eficiencia, por ejemplo con una mejor organización del trabajo, mejor tecnología o menos desperdicio de materia prima.

Planteamiento El punto muerto o umbral de rentabilidad es la cantidad de producción con la que los ingresos igualan a los costes totales: la empresa ni gana ni pierde. Por debajo de esa cantidad tiene pérdidas y por encima, beneficios.

1. Fórmula, con $CF$ los costes fijos, $p$ el precio de venta y $CV_u$ el coste variable unitario:

   $Q^*=\frac{CF}{p-CV_u}$

2. Margen que deja cada teléfono para cubrir los costes fijos:

   $p-CV_u=135-55=80$

3. Punto muerto:

   $Q^*$${}= \frac{450\,000}{80}$${}= 5\,625\ \text{unidades}$

4. Comprobación: con $5\,625$ teléfonos el margen total cubre justo los costes fijos y el beneficio es cero.

   $B=80\cdot 5\,625-450\,000=0$

5. Comentario: la empresa necesita vender $5\,625$ teléfonos al año para cubrir todos sus costes; a partir de ahí, cada teléfono vendido le deja $80$ € de beneficio. Si vende las $250\,000$ unidades que produce, muy por encima del punto muerto, está en beneficios:

   $B$${}= 80\cdot 250\,000-450\,000$${}= 19\,550\,000$

Planteamiento El beneficio es la diferencia entre los ingresos y los costes totales. Se fija el beneficio que se quiere conseguir y se despeja el precio, con las $250\,000$ unidades y los costes del enunciado.

1. Beneficio, con $Q$ la cantidad vendida:

   $B=p\cdot Q-(CF+CV_u\cdot Q)$

2. Costes totales de las $250\,000$ unidades:

   $CT$${}= 450\,000+55\cdot 250\,000$${}= 450\,000+13\,750\,000$${}= 14\,200\,000$

3. Ingresos necesarios para ganar $6\,000\,000$ €, los costes más el beneficio:

   $p\cdot 250\,000$${}= 14\,200\,000+6\,000\,000$${}= 20\,200\,000$

4. Precio de venta:

   $p=\frac{20\,200\,000}{250\,000}=80{,}80$

5. Ojo: este precio es más bajo que el actual. Con $135$ € la empresa ya gana $19\,550\,000$ € (apartado a), más que el objetivo. Por eso $80{,}80$ € es el precio mínimo para alcanzar el objetivo vendiendo las $250\,000$ unidades: con cualquier precio igual o mayor, el beneficio llega a los $6\,000\,000$ €.

Planteamiento Es una decisión de producir o comprar: se compara el coste total de cada opción para las $11\,000$ piezas. Si se importan, solo se paga el precio de compra de cada pieza; si se producen, hay costes fijos y además un coste variable por pieza.

1. Coste de importar (comprar) las piezas, con un precio de compra $p_c=10{,}5$ €:

   $C_{\text{comprar}}$${}= p_c\cdot Q$${}= 10{,}5\cdot 11\,000$${}= 115\,500$

2. Coste de producirlas, con unos costes fijos $CF=90\,000$ € y un coste variable unitario $c_v=3{,}25$ €:

   $C_{\text{producir}}$${}= CF+c_v\cdot Q$${}= 90\,000+3{,}25\cdot 11\,000$${}= 125\,750$

3. Producir costaría más; la diferencia es:

   $125\,750-115\,500=10\,250$

Planteamiento Producir interesa cuando su coste total es menor que el de comprar. El nivel a partir del cual ocurre es el umbral de producción (punto de indiferencia) $Q^*$: la cantidad con la que las dos opciones cuestan lo mismo.

1. Igualdad de costes:

   $p_c\cdot Q^*=CF+c_v\cdot Q^*$

2. Despejando $Q^*$:

   $Q^*$${}= \frac{CF}{p_c-c_v}$${}= \frac{90\,000}{10{,}5-3{,}25}$${}= \frac{90\,000}{7{,}25}$${}\approx 12\,414$

3. Por qué: cada pieza producida en lugar de comprada ahorra $10{,}5-3{,}25=7{,}25$ € de coste variable, y hacen falta unas $12\,414$ piezas para que ese ahorro cubra los $90\,000$ € de costes fijos.

4. Por debajo de $12\,414$ piezas conviene comprar (como en el apartado a, con $11\,000$); por encima, producir.

Planteamiento La productividad parcial de la mano de obra es la producción que se obtiene por cada hora de trabajo: unidades físicas entre horas trabajadas. Primero hay que calcular las horas de cada año.

1. Horas trabajadas en 2021: $27$ personas de $1\,850$ horas cada una.

   $27\cdot 1\,850=49\,950\ \text{h}$

2. En 2022 la plantilla aumenta en $5$ personas, hasta $32$, con las mismas horas cada una:

   $32\cdot 1\,850=59\,200\ \text{h}$

3. Productividad de la mano de obra en 2021:

   $P_{\text{MO}}^{2021}$${}= \frac{200\,000}{49\,950}$${}\approx 4{,}004\ \text{pelotas/h}$

4. Productividad de la mano de obra en 2022:

   $P_{\text{MO}}^{2022}$${}= \frac{205\,000}{59\,200}$${}\approx 3{,}463\ \text{pelotas/h}$

5. En 2022 cada hora de trabajo produce menos pelotas: la producción solo sube un $2{,}5$ % ($205\,000$ frente a $200\,000$), mientras que las horas suben un $18{,}5$ % ($59\,200$ frente a $49\,950$). La productividad del trabajo baja un $13{,}5$ %.

6. También se puede expresar por trabajador: $\frac{200\,000}{27}\approx 7\,407$ pelotas por persona en 2021 y $\frac{205\,000}{32}\approx 6\,406$ en 2022. La conclusión es la misma.

Planteamiento La productividad global compara el valor de la producción (unidades por precio de venta) con el coste de todos los factores utilizados (trabajo y materias primas, cada uno por su precio).

1. Valor de la producción de 2021:

   $200\,000\cdot 4=800\,000$

2. Coste del trabajo ($49\,950$ horas a $10$ €):

   $49\,950\cdot 10=499\,500$

3. Coste de las materias primas, caucho ($10\,000$ kg a $4$ €) y plástico ($1\,000$ kg a $0{,}25$ €):

   $10\,000\cdot 4+1\,000\cdot 0{,}25$${}= 40\,000+250$${}= 40\,250$

4. Coste total de los factores:

   $499\,500+40\,250=539\,750$

5. Productividad global de 2021:

   $\text{PG}_{2021}=\frac{800\,000}{539\,750}\approx 1{,}4822$

6. Interpretación: por cada euro gastado en factores, la empresa obtiene unos $1{,}48$ € de producción.

Planteamiento Para la tasa de variación hace falta la productividad global de 2022, calculada con las cantidades y los precios de 2022: pelotas a $5$ €, caucho y plástico un $10$ % más caros y la hora de trabajo a $10$ €, como en 2021, porque el enunciado no dice que cambie.

1. Valor de la producción de 2022:

   $205\,000\cdot 5=1\,025\,000$

2. Coste del trabajo: $59\,200$ horas a $10$ €.

   $59\,200\cdot 10=592\,000$

3. Precios de las materias primas en 2022, un $10$ % más altos:

   $4\cdot 1{,}1=4{,}4$$0{,}25\cdot 1{,}1=0{,}275$

4. Coste de las materias primas:

   $10\,000\cdot 4{,}4$${}+1\,000\cdot 0{,}275$${}= 44\,000+275$${}= 44\,275$

5. Coste total de los factores:

   $592\,000+44\,275=636\,275$

6. Productividad global de 2022:

   $\text{PG}_{2022}=\frac{1\,025\,000}{636\,275}\approx 1{,}6109$

7. Tasa de variación de la productividad global, con los dos valores redondeados a cuatro decimales:

   $\text{TV}$${}= \frac{\text{PG}_{2022}-\text{PG}_{2021}}{\text{PG}_{2021}}\cdot 100$${}= \frac{1{,}6109-1{,}4822}{1{,}4822}\cdot 100$${}\approx 8{,}68$

8. Con todos los decimales sale un $8{,}69$ %; en los dos casos, un aumento de casi el $8{,}7$ %.

9. Interpretación: en 2022 cada euro gastado en factores genera más valor de producción que en 2021. Pero la mejora se debe a la subida del precio de venta (de $4$ a $5$ €, un $25$ %), no a un mejor uso de los factores: la productividad del trabajo ha bajado (apartado a).

10. Ojo: si la productividad global de 2022 se calcula a precios constantes de 2021 (pelotas a $4$ € y materias primas a los precios de 2021), sale $\frac{205\,000\cdot 4}{592\,000+40\,250}$${}= \frac{820\,000}{632\,250}$${}\approx 1{,}297$, y la tasa de variación sería de un $-12{,}5$ %. Medida así, sin el efecto de los precios, la productividad global baja.

Planteamiento Hay que elegir una sola opción; cada respuesta incorrecta resta $0{,}1$ puntos, así que conviene descartar las que no encajan. La productividad relaciona la producción obtenida con los factores empleados para obtenerla: cuánto se produce con cada unidad de factor.

1. a) Es una medida de eficiencia: ser eficiente es obtener la producción con los menos recursos posibles, y eso es lo que mide la productividad (más producción por unidad de factor).

2. b) La eficacia es conseguir el objetivo marcado, sin tener en cuenta los recursos utilizados: una empresa puede ser eficaz y poco productiva.

3. c) La calidad mide si el producto cumple lo que se espera de él, no cuántos recursos se han usado.

Planteamiento Hay que completar la frase con el nombre del proceso.

1. Cuando una empresa encarga a otra, especializada, actividades que antes hacía ella (limpieza, informática, transporte, contabilidad…) para centrarse en lo que mejor sabe hacer, las externaliza. Es la decisión de comprar un servicio en vez de producirlo.

Planteamiento El beneficio es la diferencia entre los ingresos y los costes totales (fijos más variables). Se conocen el beneficio, la cantidad vendida y los costes: la incógnita es el precio de venta $p$.

1. Beneficio:

   $B=p\cdot Q-(CF+c_v\cdot Q)$

2. Con $B=150\,000$ €, $Q=15\,000$ packs, $CF=120\,000$ € y $c_v=10$ €:

   $150\,000$${}= 15\,000\,p$${}-(120\,000+10\cdot 15\,000)$

3. Ingresos que hacen falta:

   $15\,000\,p$${}= 150\,000+120\,000$${}+150\,000$${}= 420\,000$

4. Precio de cada pack:

   $p=\frac{420\,000}{15\,000}=28$

5. Los $165\,000$ € del merchandising de la película anterior no intervienen en el cálculo: solo sirven de comparación.

Planteamiento El umbral de rentabilidad (punto muerto) es la cantidad de packs con la que los ingresos igualan a los costes totales, es decir, con beneficio cero. Cada pack aporta un margen $p-c_v$ para cubrir los costes fijos.

1. Margen de cada pack:

   $p-c_v=28-10=18$

2. Umbral de rentabilidad:

   $Q^*=\frac{CF}{p-c_v}=\frac{120\,000}{18}\approx 6\,666{,}7$

3. Como los packs se venden enteros, hay que vender $6\,667$ packs para empezar a tener beneficios.

4. Significado: con menos de $6\,667$ packs vendidos, los ingresos no cubren los costes y la empresa tiene pérdidas; a partir de esa cantidad, cada pack vendido aporta $18$ € de beneficio. La productora ya ha vendido $15\,000$ packs, más del doble del umbral, y por eso tiene beneficios.

5. Comprobación con los $15\,000$ packs: los que pasan del umbral, a $18$ € cada uno, dan el beneficio del enunciado.

   $\left(15\,000-\frac{120\,000}{18}\right)\cdot 18$${}= 270\,000-120\,000$${}= 150\,000$

Planteamiento La productividad global divide el valor de la producción (servicios por precio) entre el coste de los factores. Aquí el único factor con coste es el trabajo (horas por coste de la hora). Se suman las dos ciudades.

1. Servicios del primer año:

   $640+520=1\,160$

2. Horas del primer año:

   $960+780=1\,740\ \text{h}$

3. Valor de la producción, a $24$ € el servicio:

   $1\,160\cdot 24=27\,840$

4. Coste del trabajo, a $10$ € la hora:

   $1\,740\cdot 10=17\,400$

5. Productividad global:

   $\text{PG}_1=\frac{27\,840}{17\,400}=1{,}6$

6. Por cada euro gastado en trabajo, la empresa obtiene $1{,}6$ € de producción.

Planteamiento En el segundo año hay un $10$ % más de servicios y cada servicio dura un $5$ % menos. Los precios no cambian ($24$ € el servicio y $10$ € la hora): la productividad se calcula a precios constantes.

1. Servicios del segundo año:

   $1\,160\cdot 1{,}10=1\,276$

2. Horas por servicio en el primer año, iguales en las dos ciudades:

   $\frac{960}{640}=\frac{780}{520}=1{,}5\ \text{h}$

3. Horas por servicio en el segundo año, un $5$ % menos:

   $1{,}5\cdot 0{,}95=1{,}425\ \text{h}$

4. Horas del segundo año:

   $1\,276\cdot 1{,}425=1\,818{,}3\ \text{h}$

5. Valor de la producción y coste del trabajo:

   $1\,276\cdot 24=30\,624$$1\,818{,}3\cdot 10=18\,183$

6. Productividad global:

   $\text{PG}_2=\frac{30\,624}{18\,183}\approx 1{,}6842$

Planteamiento La tasa de variación compara la productividad global del segundo año con la del primero, en porcentaje.

1. Tasa de variación:

   $\text{TV}$${}= \frac{\text{PG}_2-\text{PG}_1}{\text{PG}_1}\cdot 100$${}= \frac{1{,}6842-1{,}6}{1{,}6}\cdot 100$${}\approx 5{,}26$

2. Comprobación sin redondeos: los servicios se multiplican por $1{,}10$ y las horas por $1{,}10\cdot 0{,}95$, así que la productividad se multiplica por $\frac{1}{0{,}95}$:

   $\frac{1}{0{,}95}-1\approx 0{,}0526$

3. Interpretación: la productividad global ha aumentado un $5{,}26$ %. Como los precios no han cambiado, la mejora es real: la empresa obtiene más servicios por cada hora de trabajo porque cada servicio dura menos.

Planteamiento La productividad del factor trabajo de cada ciudad es el número de servicios por hora trabajada.

1. Sevilla:

   $\frac{640}{960}\approx 0{,}667\ \text{servicios/h}$

2. Málaga:

   $\frac{520}{780}\approx 0{,}667\ \text{servicios/h}$

3. Las dos fracciones valen exactamente $\frac{2}{3}$: en las dos ciudades cada servicio necesita $1{,}5$ horas.

4. Ojo: con estos datos la productividad del trabajo es la misma en las dos ciudades ($\frac{2}{3}$ servicios por hora), así que ninguna es más productiva que la otra.

Planteamiento Hay que elegir una sola opción; cada respuesta incorrecta resta $0{,}1$ puntos, así que conviene descartar las que no encajan. Producir supone unos costes fijos más un coste variable por unidad; comprar, solo el precio de compra de cada unidad. El umbral de producción es la cantidad con la que las dos opciones cuestan lo mismo: $Q^*=\frac{CF}{p_c-c_v}$.

1. a) Por encima de $Q^*$ los costes fijos se reparten entre muchas unidades y, como cada unidad producida cuesta menos que comprarla ($c_v$ es menor que $p_c$), interesa producir.

2. b) Por debajo de $Q^*$ los costes fijos pesan demasiado: interesa comprar.

3. c) Justo en el umbral, producir y comprar cuestan lo mismo: es indiferente.

4. Por ejemplo, con unos costes fijos de $90\,000$ €, un coste variable de $3{,}25$ € y un precio de compra de $10{,}5$ €, el umbral es de unas $12\,414$ unidades: con $11\,000$ conviene comprar y con $15\,000$, producir.