VAN, TIR y plazo de recuperación: ejercicios de la PAU de Empresa de Andalucía resueltos

Planteamiento El plazo de recuperación (payback) es el tiempo que tardan los flujos de caja acumulados en igualar el desembolso inicial. Primero se calcula el flujo neto de cada año, cobros menos pagos; se supone que entra de forma uniforme a lo largo del año.

1. Flujo neto de caja del primer año, cobros menos pagos:

   $Q_1$${}= 300\,000-200\,000$${}= 100\,000$

2. Flujo neto del segundo año:

   $Q_2$${}= 330\,000-180\,000$${}= 150\,000$

3. Flujo neto del tercer año:

   $Q_3$${}= 350\,000-150\,000$${}= 200\,000$

4. Flujos acumulados: al final del primer año, $100\,000$ €; al final del segundo:

   $100\,000+150\,000=250\,000$

5. Al final del segundo año aún faltan por recuperar:

   $400\,000-250\,000=150\,000$

6. Esos $150\,000$ € se recuperan con el flujo del tercer año ($200\,000$ €), que entra repartido en $12$ meses:

   $\frac{150\,000}{200\,000}\cdot 12$${}= 0{,}75\cdot 12$${}= 9\ \text{meses}$

Planteamiento El valor actual neto (VAN) suma los flujos de caja llevados al momento inicial con el tipo de descuento $k=0{,}06$ y les resta el desembolso inicial $A$. Mide lo que se gana (o se pierde) con la inversión en euros de hoy.

1. Fórmula:

   $\text{VAN}$${}= -A+\frac{Q_1}{1+k}+\frac{Q_2}{(1+k)^2}$${}+\frac{Q_3}{(1+k)^3}$

2. Con los datos:

   $\text{VAN}$${}= -400\,000$${}+\frac{100\,000}{1{,}06}$${}+\frac{150\,000}{1{,}06^2}$${}+\frac{200\,000}{1{,}06^3}$

3. Cada flujo descontado, redondeado al euro:

   $\frac{100\,000}{1{,}06}\approx94\,340$$\frac{150\,000}{1{,}06^2}\approx133\,499$$\frac{200\,000}{1{,}06^3}\approx167\,924$

4. Suma:

   $\text{VAN}$${}\approx -400\,000+94\,340$${}+133\,499+167\,924$${}= -4\,237$

Planteamiento Según el VAN, una inversión es aconsejable si su VAN es positivo, porque entonces recupera el desembolso, paga el $6$ % exigido y aún gana algo.

1. El VAN es negativo ($-4\,237$ €): los flujos que genera la modernización, llevados a hoy al $6$ %, no llegan a cubrir los $400\,000$ € invertidos.

2. El plazo de recuperación ($2$ años y $9$ meses) es menor que la duración de la inversión, pero es un método estático: suma euros de años distintos como si valieran lo mismo y no tiene en cuenta el valor del dinero en el tiempo. Por eso lo que decide es el VAN.

3. Otra forma de verlo, que no pide el examen: la rentabilidad de la inversión, su TIR, es la tasa que hace el VAN igual a cero.

   $-400\,000+\frac{100\,000}{1+r}$${}+\frac{150\,000}{(1+r)^2}$${}+\frac{200\,000}{(1+r)^3}=0$${}\Rightarrow r$${}\approx 5{,}5\ \%$

4. Esa TIR es menor que el $6$ % que se exige. Con estos datos no es aconsejable realizar la inversión: la cooperativa perdería unos $4\,237$ € en valor actual. Solo le convendría si consiguiera más cobros o menos pagos, o si el dinero le costara menos de un $5{,}5$ %.

Planteamiento Es el plazo de recuperación (payback): el tiempo que tardan los flujos de caja en devolver el desembolso inicial, sin descontarlos. Se trabaja en miles de euros. Como los flujos entran de manera uniforme durante el año, la parte del año en que se termina de recuperar la inversión se calcula de forma proporcional.

1. Al final del año 1 se han recuperado $6\,600$; falta por recuperar:

   $8\,300-6\,600=1\,700$

2. En el año 2 entran $6\,800$, más de lo que falta, así que la inversión se recupera durante el año 2. Fracción del año 2 que hace falta:

   $\frac{1\,700}{6\,800}=0{,}25\ \text{años}$

3. En meses:

   $0{,}25\cdot 12=3\ \text{meses}$

Planteamiento El valor actual neto (VAN) lleva cada flujo de caja al momento inicial, descontándolo al $4$ % ($k=0{,}04$), y le resta el desembolso inicial $A$. Todo en miles de euros.

1. Fórmula del VAN:

   $\text{VAN}$${}= -A+\frac{Q_1}{1+k}+\frac{Q_2}{(1+k)^2}$${}+\frac{Q_3}{(1+k)^3}$${}+\frac{Q_4}{(1+k)^4}$${}+\frac{Q_5}{(1+k)^5}$

2. Sustituyendo $A=8\,300$, los cinco flujos y $k=0{,}04$:

   $\text{VAN}$${}= -8\,300+\frac{6\,600}{1{,}04}$${}+\frac{6\,800}{1{,}04^2}$${}+\frac{6\,800}{1{,}04^3}$${}+\frac{6\,900}{1{,}04^4}$${}+\frac{6\,900}{1{,}04^5}$

3. Cada flujo descontado, redondeado a una cifra decimal, y la suma:

   $\text{VAN}$${}\approx -8\,300+6\,346{,}2$${}+6\,287{,}0+6\,045{,}2$${}+5\,898{,}1+5\,671{,}3$${}\approx 21\,948$

4. Son unos $21\,948$ miles de euros, es decir, unos $21{,}9$ millones de euros. Sin redondear los flujos descontados sale lo mismo redondeado a la unidad.

Planteamiento Hay que interpretar los dos resultados, teniendo en cuenta qué mide cada método, y decir si conviene hacer la inversión.

1. Plazo de recuperación: la inversión se recupera en $1$ año y $3$ meses, muy pronto para un proyecto de $5$ años; desde ese momento, lo que genera el proyecto es excedente. Pero es un método estático: no tiene en cuenta que el dinero de los años futuros vale menos ni lo que ocurre después de recuperar la inversión.

2. VAN: es positivo ($21\,948$ miles de euros). Los flujos, valorados en el momento inicial con una tasa del $4$ %, superan con mucho el desembolso: el proyecto recupera la inversión, paga la rentabilidad exigida del $4$ % y además genera unos $21{,}9$ millones de euros de valor. Es un método dinámico, que sí tiene en cuenta el valor del dinero en el tiempo.

3. Los dos métodos coinciden: el proyecto es muy rentable y se recupera deprisa. La cooperativa debería llevar a cabo la inversión, que además da valor a los residuos plásticos agrícolas, con un efecto positivo en el medio ambiente.

4. Hay que tener en cuenta que son las cifras del escenario medio: si los flujos reales fueran menores, el resultado sería menos favorable, aunque el margen es muy amplio.

Planteamiento Hay que elegir una sola opción; cada respuesta incorrecta resta $0{,}1$ puntos, así que conviene descartar las que no encajan. Valorar los flujos «en el momento inicial» quiere decir actualizarlos: descontar cada uno con un tipo de interés para saber cuánto vale hoy.

1. c) El VAN suma todos los flujos de caja del proyecto actualizados al momento inicial y les resta el desembolso inicial:

   $\text{VAN}=-A+\sum_{t=1}^{n}\frac{Q_t}{(1+k)^t}$

2. a) El plazo de recuperación no actualiza los flujos (es un método estático) y solo tiene en cuenta los flujos hasta que se recupera la inversión, no todos.

3. b) El lienzo Canvas es una herramienta para diseñar modelos de negocio, no un método de selección de inversiones.

Planteamiento El plazo de recuperación (payback) es el tiempo que tardan los flujos de caja en devolver el desembolso inicial de $230\,000$ €, sin descontarlos. Se suman los flujos año a año y la parte del último año se calcula de forma proporcional, porque los flujos se generan de manera uniforme.

1. Flujos acumulados al final del año 2:

   $60\,000+70\,000=130\,000$

2. Al final del año 3:

   $130\,000+75\,000=205\,000$

3. Falta por recuperar al empezar el año 4:

   $230\,000-205\,000=25\,000$

4. En el año 4 entran $80\,000$ € de flujo de caja, de manera uniforme. Fracción del año 4 que hace falta:

   $\frac{25\,000}{80\,000}=0{,}3125\ \text{años}$

5. En meses (y los $0{,}75$ meses son unos $23$ días, porque $0{,}75\cdot 30=22{,}5$):

   $0{,}3125\cdot 12=3{,}75\ \text{meses}$

6. Los $90\,000$ € del valor residual no cuentan aquí: se cobran al vender el autobús al final del año 4, y la inversión ya se ha recuperado antes, en el cuarto mes de ese año.

7. Ojo: si se sumara el valor residual al flujo del año 4 como si también se cobrara repartido a lo largo del año ($80\,000+90\,000=170\,000$ €), saldría $\frac{25\,000}{170\,000}\cdot 12\approx 1{,}76$ meses, es decir, $3$ años y $1{,}76$ meses. Pero el enunciado dice que el autobús se vende al finalizar el cuarto año, así que la lectura de arriba es la que se ajusta a los datos.

Planteamiento El VAN lleva cada flujo de caja al momento inicial, descontándolo al $5$ % ($k=0{,}05$), y le resta el desembolso inicial. El valor residual ($90\,000$ €) es un cobro más del final del año 4, así que se descuenta como el flujo de ese año.

1. Fórmula del VAN, con el valor residual $\text{VR}$ en el año 4:

   $\text{VAN}$${}= -A+\frac{Q_1}{1+k}+\frac{Q_2}{(1+k)^2}$${}+\frac{Q_3}{(1+k)^3}$${}+\frac{Q_4+\text{VR}}{(1+k)^4}$

2. Sustituyendo:

   $\text{VAN}$${}= -230\,000$${}+\frac{60\,000}{1{,}05}$${}+\frac{70\,000}{1{,}05^2}$${}+\frac{75\,000}{1{,}05^3}$${}+\frac{80\,000+90\,000}{1{,}05^4}$

3. Flujos descontados de los años 1 a 3, redondeados al euro:

   $\frac{60\,000}{1{,}05}\approx 57\,143$$\frac{70\,000}{1{,}05^2}\approx 63\,492$$\frac{75\,000}{1{,}05^3}\approx 64\,788$

4. Año 4, el flujo de caja y el valor residual por separado:

   $\frac{80\,000}{1{,}05^4}\approx 65\,816$$\frac{90\,000}{1{,}05^4}\approx 74\,043$

5. VAN:

   $\text{VAN}$${}\approx -230\,000+57\,143$${}+63\,492+64\,788$${}+65\,816+74\,043$${}= 95\,282$

6. Sin redondear los flujos descontados sale lo mismo redondeado al euro: $95\,282$ €.

Planteamiento Se decide con los dos resultados: el VAN (método dinámico) y el plazo de recuperación (método estático).

1. El VAN es positivo ($95\,282$ €): los cobros del proyecto, valorados hoy con una tasa del $5$ %, superan el desembolso de $230\,000$ €. La inversión se recupera, da la rentabilidad exigida del $5$ % y además aporta unos $95\,282$ € de valor actual.

2. El plazo de recuperación ($3$ años y $3{,}75$ meses) es menor que los $4$ años que la empresa piensa usar el autobús: la inversión se recupera antes de venderlo, aunque no muy deprisa.

3. Además, al final del año 4 la empresa todavía cobra $90\,000$ € por la venta del autobús.