Punto muerto o umbral de rentabilidad: ejercicios resueltos

Q: ¿Cómo se calcula el beneficio a partir del punto muerto?

Con los datos de esta página, calcula B=Q(P−CVu)−CF. Si no cambian precio ni costes, también puedes expresarlo como B=(Q−Q∗)(P−CVu).

Lo esencial

Los costes fijos no cambian con la cantidad dentro del periodo y del intervalo de actividad estudiados. Los costes variables totales sí cambian: si el coste variable unitario es constante, se obtienen multiplicándolo por la cantidad. No confundas un coste por unidad con un coste total.

El margen de contribución unitario es lo que aporta cada venta después de cubrir su coste variable. Esa aportación cubre primero los costes fijos. Al igualar ingresos y costes, se obtiene la fórmula del umbral de rentabilidad; sus unidades son unidades de producto, no euros.

Variables y relaciones del modelo

Símbolo	Significado	Unidad o relación
$CF$	SignificadoCostes fijos del periodo	Unidad o relación€ por periodo
$P$	SignificadoPrecio de venta unitario	Unidad o relación€/unidad
$CV_u$	SignificadoCoste variable unitario	Unidad o relación€/unidad
$Q$	SignificadoCantidad vendida en el periodo	Unidad o relaciónunidades por periodo
$IT$	SignificadoIngresos totales	Unidad o relación $IT=PQ$
$CT$	SignificadoCostes totales	Unidad o relación $CT=CF+CV_uQ$
$B$	SignificadoBeneficio del modelo	Unidad o relación $B=IT-CT=Q(P-CV_u)-CF$
$Q^*$	SignificadoCantidad de equilibrio	Unidad o relación $Q^*=CF/(P-CV_u)$ , si $P>CV_u$

En este modelo se supone un único producto, precio constante, costes lineales y venta de toda la producción. También se exige que los datos estén en el mismo periodo: un coste fijo mensual no se mezcla directamente con ventas anuales. El resultado es el beneficio del modelo de costes; no incorpora partidas financieras o fiscales que no se hayan incluido.

Si el precio no supera el coste variable unitario y existen costes fijos positivos, no hay una cantidad positiva que permita cubrirlos. En ese caso no hay punto muerto: ninguna venta deja margen para cubrir los costes fijos.

Ejemplos resueltos

Una empresa de un solo producto tiene costes fijos mensuales de

6600

€, precio de

30

€/unidad y coste variable de

8

€/unidad. Con costes lineales y venta de toda la producción, calcula e interpreta el punto muerto mensual.

Resta el coste variable unitario al precio: esta es la aportación de cada venta para cubrir primero los costes fijos.
$m=P-CV_u=30-8=22\;\text{€/unidad}$
Iguala los ingresos a los costes totales y despeja la cantidad. Se usa el mismo periodo en todos los datos.
$Q^*=\frac{CF}{P-CV_u}=\frac{6600}{22}=300\;\text{unidades}$
El umbral expresa unidades, no euros. En él se cubren los costes; el beneficio positivo aparece al vender por encima, si se mantienen estos supuestos.

Resultado $Q^*=300\;\text{unidades}$

Una empresa de un solo producto tiene costes fijos mensuales de

5850

€, precio de

22

€/unidad y coste variable de

9

€/unidad. Con costes lineales y venta de toda la producción, calcula e interpreta el punto muerto mensual. Calcula también el beneficio o pérdida si vende

500

unidades ese mes.

Resta el coste variable unitario al precio: esta es la aportación de cada venta para cubrir primero los costes fijos.
$m=P-CV_u=22-9=13\;\text{€/unidad}$
Iguala los ingresos a los costes totales y despeja la cantidad. Se usa el mismo periodo en todos los datos.
$Q^*=\frac{CF}{P-CV_u}=\frac{5850}{13}=450\;\text{unidades}$
Calcula el resultado a la cantidad vendida: cada unidad aporta el margen y después se descuentan los costes fijos.
$B=Q(P-CV_u)-CF=500\cdot 13-5850=650\;\text{€}$
Interpreta el signo del resultado: hay beneficio en este modelo.

Resultado $Q^*=450\;\text{unidades}$ ; $B=650\;\text{€}$ .

Una empresa de un solo producto tiene costes fijos mensuales de

2750

€, precio de

16

€/unidad y coste variable de

8

€/unidad. Con costes lineales y venta de toda la producción, calcula e interpreta el punto muerto mensual. Calcula también el beneficio o pérdida si vende

400

unidades ese mes. Si solo se venden unidades enteras, indica la primera cantidad sin pérdidas.

Resta el coste variable unitario al precio: esta es la aportación de cada venta para cubrir primero los costes fijos.
$m=P-CV_u=16-8=8\;\text{€/unidad}$
Iguala los ingresos a los costes totales y despeja la cantidad. Se usa el mismo periodo en todos los datos.
$Q^*=\frac{CF}{P-CV_u}=\frac{2750}{8}=343{,}75\;\text{unidades}$
Calcula el resultado a la cantidad vendida: cada unidad aporta el margen y después se descuentan los costes fijos.
$B=Q(P-CV_u)-CF=400\cdot 8-2750=450\;\text{€}$
Interpreta el signo del resultado: hay beneficio en este modelo.
El valor teórico admite fracciones. Si el producto solo se vende entero, la primera cantidad que cubre los costes es $344$ unidades; se redondea hacia arriba, nunca al entero más próximo.

Resultado $Q^*=343{,}75\;\text{unidades}$ ; $B=450\;\text{€}$ .

La gráfica del ejemplo 2, paso a paso

Costes fijos. Una recta horizontal a 5850 €: no dependen de las unidades que vendes.
Costes totales. Empiezan en 5850 € con cero unidades y suben 9 € por unidad: CT = 5850 + 9·Q.
Ingresos. Salen de cero y suben 22 € por unidad: IT = 22·Q. Suben más deprisa que los costes porque cada unidad deja 13 € de margen.
El punto muerto y las zonas. Las rectas se cortan en 450 unidades y 9900 €. A la izquierda, pérdidas; a la derecha, beneficios. Con 500 unidades, el beneficio es la distancia entre las rectas: 650 €.

Si el ejercicio pide el gráfico, marca en él las zonas de pérdidas y beneficios e interpreta el punto muerto: dar solo la cifra, sin las zonas, es uno de los errores típicos.

Verlo en una tabla

Unidades	Ingresos	Costes totales	Resultado
0	0 €	5850 €	−5850 €
450	9900 €	9900 €	0 €
500	11 000 €	10 350 €	650 €
900	19 800 €	13 950 €	5850 €

Ejercicios

De menos a más. «Probar en el comprobador» te lo deja preparado arriba para que lo resuelvas tú y el código lo corrija; la solución está plegada debajo.

En todos los ejercicios: un solo producto, precio y coste variable unitario constantes, costes lineales y venta de toda la producción.

Ejercicio 1Nivel 1Comprobado por código
Un taller de encuadernación trabaja con un solo producto. Sus costes fijos mensuales son $9600$ €, el precio de venta unitario es $28$ € y el coste variable unitario es $12$ €. Calcula el punto muerto mensual en unidades. Explica qué significa el resultado.
Ver la solución
1. Resta el coste variable unitario al precio: esta es la aportación de cada venta para cubrir primero los costes fijos.
  $m=P-CV_u=28-12=16\;\text{€/unidad}$
2. Iguala los ingresos a los costes totales y despeja la cantidad. Se usa el mismo periodo en todos los datos.
  $Q^*=\frac{CF}{P-CV_u}=\frac{9600}{16}=600\;\text{unidades}$
3. El umbral expresa unidades, no euros. En él se cubren los costes; el beneficio positivo aparece al vender por encima, si se mantienen estos supuestos.
Q* = 600 unidades.
Ejercicio 2Nivel 1Comprobado por código
Un puesto de cuadernos artesanales trabaja con un solo producto. Sus costes fijos mensuales son $4500$ €, el precio de venta unitario es $15$ € y el coste variable unitario es $6$ €. Calcula el punto muerto mensual en unidades. Explica qué significa el resultado.
Ver la solución
1. Resta el coste variable unitario al precio: esta es la aportación de cada venta para cubrir primero los costes fijos.
  $m=P-CV_u=15-6=9\;\text{€/unidad}$
2. Iguala los ingresos a los costes totales y despeja la cantidad. Se usa el mismo periodo en todos los datos.
  $Q^*=\frac{CF}{P-CV_u}=\frac{4500}{9}=500\;\text{unidades}$
3. El umbral expresa unidades, no euros. En él se cubren los costes; el beneficio positivo aparece al vender por encima, si se mantienen estos supuestos.
Q* = 500 unidades.
Ejercicio 3Nivel 1Comprobado por código
Un servicio de impresión de láminas trabaja con un solo producto. Sus costes fijos mensuales son $7200$ €, el precio de venta unitario es $40$ € y el coste variable unitario es $16$ €. Calcula el punto muerto mensual en unidades. Explica qué significa el resultado.
Ver la solución
1. Resta el coste variable unitario al precio: esta es la aportación de cada venta para cubrir primero los costes fijos.
  $m=P-CV_u=40-16=24\;\text{€/unidad}$
2. Iguala los ingresos a los costes totales y despeja la cantidad. Se usa el mismo periodo en todos los datos.
  $Q^*=\frac{CF}{P-CV_u}=\frac{7200}{24}=300\;\text{unidades}$
3. El umbral expresa unidades, no euros. En él se cubren los costes; el beneficio positivo aparece al vender por encima, si se mantienen estos supuestos.
Q* = 300 unidades.
Ejercicio 4Nivel 1Comprobado por código
Un taller de llaveros trabaja con un solo producto. Sus costes fijos mensuales son $2520$ €, el precio de venta unitario es $10{,}5$ € y el coste variable unitario es $3{,}5$ €. Calcula el punto muerto mensual en unidades. Explica qué significa el resultado.
Ver la solución
1. Resta el coste variable unitario al precio: esta es la aportación de cada venta para cubrir primero los costes fijos.
  $m=P-CV_u=10{,}5-3{,}5=7\;\text{€/unidad}$
2. Iguala los ingresos a los costes totales y despeja la cantidad. Se usa el mismo periodo en todos los datos.
  $Q^*=\frac{CF}{P-CV_u}=\frac{2520}{7}=360\;\text{unidades}$
3. El umbral expresa unidades, no euros. En él se cubren los costes; el beneficio positivo aparece al vender por encima, si se mantienen estos supuestos.
Q* = 360 unidades.
Ejercicio 5Nivel 2Comprobado por código
Un estudio de agendas personalizadas trabaja con un solo producto. Sus costes fijos mensuales son $8400$ €, el precio de venta unitario es $32$ € y el coste variable unitario es $18$ €. Calcula el punto muerto mensual en unidades y el beneficio o pérdida mensual si vende $750$ unidades. Explica qué significa el resultado.
Ver la solución
1. Resta el coste variable unitario al precio: esta es la aportación de cada venta para cubrir primero los costes fijos.
  $m=P-CV_u=32-18=14\;\text{€/unidad}$
2. Iguala los ingresos a los costes totales y despeja la cantidad. Se usa el mismo periodo en todos los datos.
  $Q^*=\frac{CF}{P-CV_u}=\frac{8400}{14}=600\;\text{unidades}$
3. Calcula el resultado a la cantidad vendida: cada unidad aporta el margen y después se descuentan los costes fijos.
  $B=Q(P-CV_u)-CF=750\cdot 14-8400=2100\;\text{€}$
4. Interpreta el signo del resultado: hay beneficio en este modelo.
Q* = 600 unidades. Beneficio (Q = 750): 2100 €.
Ejercicio 6Nivel 2Comprobado por código
Un pequeño fabricante de estuches trabaja con un solo producto. Sus costes fijos mensuales son $10500$ €, el precio de venta unitario es $26$ € y el coste variable unitario es $11$ €. Calcula el punto muerto mensual en unidades y el beneficio o pérdida mensual si vende $600$ unidades. Explica qué significa el resultado.
Ver la solución
1. Resta el coste variable unitario al precio: esta es la aportación de cada venta para cubrir primero los costes fijos.
  $m=P-CV_u=26-11=15\;\text{€/unidad}$
2. Iguala los ingresos a los costes totales y despeja la cantidad. Se usa el mismo periodo en todos los datos.
  $Q^*=\frac{CF}{P-CV_u}=\frac{10500}{15}=700\;\text{unidades}$
3. Calcula el resultado a la cantidad vendida: cada unidad aporta el margen y después se descuentan los costes fijos.
  $B=Q(P-CV_u)-CF=600\cdot 15-10500=-1500\;\text{€}$
4. Interpreta el signo del resultado: hay pérdidas en este modelo.
Q* = 700 unidades. Beneficio (Q = 600): -1500 €.
Ejercicio 7Nivel 2Comprobado por código
Una tienda de kits de dibujo trabaja con un solo producto. Sus costes fijos mensuales son $6300$ €, el precio de venta unitario es $24$ € y el coste variable unitario es $10$ €. Calcula el punto muerto mensual en unidades y el beneficio o pérdida mensual si vende $450$ unidades. Explica qué significa el resultado.
Ver la solución
1. Resta el coste variable unitario al precio: esta es la aportación de cada venta para cubrir primero los costes fijos.
  $m=P-CV_u=24-10=14\;\text{€/unidad}$
2. Iguala los ingresos a los costes totales y despeja la cantidad. Se usa el mismo periodo en todos los datos.
  $Q^*=\frac{CF}{P-CV_u}=\frac{6300}{14}=450\;\text{unidades}$
3. Calcula el resultado a la cantidad vendida: cada unidad aporta el margen y después se descuentan los costes fijos.
  $B=Q(P-CV_u)-CF=450\cdot 14-6300=0\;\text{€}$
4. Interpreta el signo del resultado: se cubren exactamente los costes; no hay beneficio ni pérdida.
Q* = 450 unidades. Beneficio (Q = 450): 0 €.
Ejercicio 8Nivel 2Comprobado por código
Un taller de bolsas de tela trabaja con un solo producto. Sus costes fijos mensuales son $2500$ €, el precio de venta unitario es $18$ € y el coste variable unitario es $10$ €. Calcula el punto muerto mensual en unidades y el beneficio o pérdida mensual si vende $400$ unidades. Explica qué significa el resultado. Distingue el umbral teórico de la primera cantidad entera que cubre los costes.
Ver la solución
1. Resta el coste variable unitario al precio: esta es la aportación de cada venta para cubrir primero los costes fijos.
  $m=P-CV_u=18-10=8\;\text{€/unidad}$
2. Iguala los ingresos a los costes totales y despeja la cantidad. Se usa el mismo periodo en todos los datos.
  $Q^*=\frac{CF}{P-CV_u}=\frac{2500}{8}=312{,}5\;\text{unidades}$
3. Calcula el resultado a la cantidad vendida: cada unidad aporta el margen y después se descuentan los costes fijos.
  $B=Q(P-CV_u)-CF=400\cdot 8-2500=700\;\text{€}$
4. Interpreta el signo del resultado: hay beneficio en este modelo.
5. El valor teórico admite fracciones. Si el producto solo se vende entero, la primera cantidad que cubre los costes es $313$ unidades; se redondea hacia arriba, nunca al entero más próximo.
Q* = 312,5 unidades. Beneficio (Q = 400): 700 €.
Ejercicio 9Nivel 3Comprobado por código
Un fabricante de cajas decoradas trabaja con un solo producto. Sus costes fijos mensuales son $18480$ €, el precio de venta unitario es $34{,}5$ € y el coste variable unitario es $13{,}5$ €. Calcula el punto muerto mensual en unidades y el beneficio o pérdida mensual si vende $1200$ unidades. Explica qué significa el resultado.
Ver la solución
1. Resta el coste variable unitario al precio: esta es la aportación de cada venta para cubrir primero los costes fijos.
  $m=P-CV_u=34{,}5-13{,}5=21\;\text{€/unidad}$
2. Iguala los ingresos a los costes totales y despeja la cantidad. Se usa el mismo periodo en todos los datos.
  $Q^*=\frac{CF}{P-CV_u}=\frac{18480}{21}=880\;\text{unidades}$
3. Calcula el resultado a la cantidad vendida: cada unidad aporta el margen y después se descuentan los costes fijos.
  $B=Q(P-CV_u)-CF=1200\cdot 21-18480=6720\;\text{€}$
4. Interpreta el signo del resultado: hay beneficio en este modelo.
Q* = 880 unidades. Beneficio (Q = 1200): 6720 €.
Ejercicio 10Nivel 3Comprobado por código
Un estudio de carpetas personalizadas trabaja con un solo producto. Sus costes fijos mensuales son $16250$ €, el precio de venta unitario es $19{,}5$ € y el coste variable unitario es $7$ €. Calcula el punto muerto mensual en unidades y el beneficio o pérdida mensual si vende $1100$ unidades. Explica qué significa el resultado.
Ver la solución
1. Resta el coste variable unitario al precio: esta es la aportación de cada venta para cubrir primero los costes fijos.
  $m=P-CV_u=19{,}5-7=12{,}5\;\text{€/unidad}$
2. Iguala los ingresos a los costes totales y despeja la cantidad. Se usa el mismo periodo en todos los datos.
  $Q^*=\frac{CF}{P-CV_u}=\frac{16250}{12{,}5}=1300\;\text{unidades}$
3. Calcula el resultado a la cantidad vendida: cada unidad aporta el margen y después se descuentan los costes fijos.
  $B=Q(P-CV_u)-CF=1100\cdot 12{,}5-16250=-2500\;\text{€}$
4. Interpreta el signo del resultado: hay pérdidas en este modelo.
Q* = 1300 unidades. Beneficio (Q = 1100): -2500 €.

Así cae en la PAU

Los ejercicios oficiales de la PAU sobre este tema, resueltos paso a paso en EducaIA:

Los ejercicios oficiales de punto muerto de la PAU de Empresa de Cataluña, resueltos paso a paso

Más preguntas reales de exámenes oficiales sobre este tema. Te contamos de qué van; el enunciado está en el examen.

Madrid 2022 convocatoria extraordinaria · pregunta A.5
Calcular y representar el umbral; estudiar cómo cambian el beneficio y el equilibrio al aumentar los costes fijos.
Abrir el examen (p. 1)
Madrid 2023 convocatoria extraordinaria · pregunta A.5
Calcular las entradas mensuales de equilibrio y el beneficio de una sala; también pide un precio mínimo.
Abrir el examen (p. 1)
Madrid 2024 convocatoria ordinaria · pregunta A.6
Homogeneizar costes del periodo, calcular e interpretar el umbral, dibujarlo y obtener el beneficio de otras ventas.
Abrir el examen (p. 1)

Errores típicos

Mezclar gastos mensuales con cifras anuales: el problema exige obtener antes la estructura de costes del mismo periodo.
Criterio de corrección
Introducir el coste variable total en lugar del coste variable unitario en el denominador de la fórmula.
Criterio de corrección
Dar la cifra sin interpretarla o sin situar las zonas de pérdidas y beneficios cuando se pide el gráfico.
Criterio de corrección
Cambiar los costes fijos en el beneficio y conservar el umbral antiguo: la solución debe recalcular ambas magnitudes.
Criterio de corrección
Redondear hacia abajo un umbral fraccionario de un producto que solo admite unidades enteras.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calcula el punto muerto?

Divide los costes fijos del periodo entre el precio unitario menos el coste variable unitario. Antes comprueba que el margen sea positivo y que todos los datos correspondan al mismo periodo.

¿El punto muerto es lo mismo que el umbral de rentabilidad?

Sí, en este modelo son nombres de la cantidad que iguala ingresos y costes. El equilibrio no implica beneficio positivo: eso exige vender por encima.

¿El punto muerto se expresa en euros o en unidades?

La fórmula de esta página devuelve unidades de producto. Para obtener los ingresos en ese punto, multiplica la cantidad de equilibrio por el precio unitario.

¿Qué ocurre si el punto muerto sale con decimales?

Conserva el valor teórico en el cálculo. Si solo puedes vender unidades enteras, redondea hacia arriba para obtener la primera cantidad que evita pérdidas.

¿Cómo se calcula el beneficio a partir del punto muerto?

Con los datos de esta página, calcula $B=Q(P-CV_u)-CF$ . Si no cambian precio ni costes, también puedes expresarlo como $B=(Q-Q^*)(P-CV_u)$ .

Fuentes

El umbral teórico puede ser fraccionario. Si solo se venden unidades enteras, redondea hacia arriba para hallar la primera cantidad sin pérdidas. Estar exactamente en el umbral significa beneficio nulo, no beneficio positivo. En la gráfica, los ingresos parten del origen y los costes totales parten de los costes fijos.

RD 243/2022, anexo II: Empresa y Diseño de Modelos de Negocio, criterio 5.2 y bloques B y D; costes, ingresos y umbral de rentabilidad. Abrir
EvAU Madrid 2022 extraordinaria, Economía de la Empresa, A.5: enunciado página 1, criterio página 3 y solución página 6. Materia histórica. Abrir
EvAU Madrid 2023 extraordinaria, Economía de la Empresa, A.5: enunciado página 1, criterio página 3 y solución página 5; el apartado c pide además un precio mínimo. Abrir
EvAU Madrid 2024 ordinaria, Empresa y Diseño de Modelos de Negocio, A.6: enunciado página 1, criterio página 3 y solución página 6. Abrir

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Cómo hacemos los apuntes y los ejercicios

Lo esencial

Ejemplos resueltos

La gráfica del ejemplo 2, paso a paso

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