Química, PAU 2022 de Catalunya: l’examen de juny (sèrie 5) resolt

Plantejament Si tot el fluorur prové de la fluorita, l’aigua és una dissolució saturada de $\mathrm{CaF_2}$: la solubilitat molar, calculada amb $K_{ps}$, dona $[\mathrm{F^-}]$, que després passem a mg/L per comparar-la amb el límit.

1. Equilibri de solubilitat de la fluorita:

   $\mathrm{CaF_2(s)\rightleftharpoons Ca^{2+}(aq)}$${}+\mathrm{2\,F^-(aq)}$

2. Si $s$ és la solubilitat molar, a l’equilibri $[\mathrm{Ca^{2+}}]=s$ i $[\mathrm{F^-}]=2s$:

   $K_{ps}$${}= [\mathrm{Ca^{2+}}][\mathrm{F^-}]^2$${}= s\,(2s)^2$${}= 4s^3$

3. Solubilitat molar:

   $s$${}= \sqrt[3]{\frac{K_{ps}}{4}}$${}= \sqrt[3]{\frac{3{,}2\cdot10^{-11}}{4}}$${}= 2{,}0\cdot10^{-4}\ \mathrm{mol\,L^{-1}}$

4. Concentració de fluorur, en mol/L i en mg/L:

   $[\mathrm{F^-}]$${}= 2s=4{,}0\cdot10^{-4}\ \mathrm{mol\,L^{-1}}\cdot19{,}0\ \mathrm{g\,mol^{-1}}$${}= 7{,}6\cdot10^{-3}\ \mathrm{g\,L^{-1}}$${}= 7{,}6\ \mathrm{mg\,L^{-1}}$

5. Comparació amb la concentració màxima recomanada:

   $7{,}6\ \mathrm{mg\,L^{-1}}>1{,}5\ \mathrm{mg\,L^{-1}}$

Plantejament Una sal precipita quan el producte iònic $Q$, calculat amb les concentracions que hi ha a la dissolució, supera $K_{ps}$.

1. Concentracions en mol/L:

   $[\mathrm{Ca^{2+}}]$${}= \frac{50\cdot10^{-3}\ \mathrm{g\,L^{-1}}}{40{,}0\ \mathrm{g\,mol^{-1}}}$${}= 1{,}25\cdot10^{-3}\ \mathrm{M}$$[\mathrm{F^-}]$${}= \frac{1{,}5\cdot10^{-3}\ \mathrm{g\,L^{-1}}}{19{,}0\ \mathrm{g\,mol^{-1}}}$${}= 7{,}895\cdot10^{-5}\ \mathrm{M}$

2. Producte iònic, amb la mateixa expressió que $K_{ps}$:

   $Q$${}= [\mathrm{Ca^{2+}}][\mathrm{F^-}]^2$${}= 1{,}25\cdot10^{-3}\cdot\left(7{,}895\cdot10^{-5}\right)^2$${}= 7{,}79\cdot10^{-12}$

3. Comparació:

   $Q$${}= 7{,}79\cdot10^{-12}$${}< K_{ps}$${}= 3{,}2\cdot10^{-11}$

Plantejament La glucosa es descompon en etanol ($\mathrm{CH_3CH_2OH}$) i diòxid de carboni. L’entalpia de reacció surt de les entalpies de formació i, a pressió constant, és la calor de reacció.

1. Equació ajustada. Comprovem els àtoms: carboni, $6=2\cdot2+2$; hidrogen, $12=2\cdot6$; oxigen, $6=2\cdot1+2\cdot2$.

   $\mathrm{C_6H_{12}O_6(s)}$${}\rightarrow \mathrm{2\,CH_3CH_2OH(l)}$${}+\mathrm{2\,CO_2(g)}$

2. Entalpia estàndard de la reacció tal com està escrita (per mol de glucosa):

   $\Delta H^\circ$${}= \left[2\cdot(-277{,}7)+2\cdot(-393{,}5)\right]$${}-\left[-1\,273{,}0\right]$${}= -69{,}4\ \mathrm{kJ}$

3. Com que $\Delta H^\circ<0$, la reacció és exotèrmica en condicions estàndard i a 298 K.

   $\Delta H^\circ=-69{,}4\ \mathrm{kJ}<0$

4. Mols d’etanol en 1 kg ($M$${}= 2\cdot12{,}0+6\cdot1{,}0+16{,}0$${}= 46{,}0\ \mathrm{g\,mol^{-1}}$):

   $n$${}= \frac{1\,000\ \mathrm{g}}{46{,}0\ \mathrm{g\,mol^{-1}}}$${}= 21{,}74\ \mathrm{mol}$

5. A pressió constant $q_p=\Delta H$. Els $-69{,}4\ \mathrm{kJ}$ corresponen a la formació de 2 mol d’etanol:

   $q_p$${}= 21{,}74\ \mathrm{mol}\cdot\frac{-69{,}4\ \mathrm{kJ}}{2\ \mathrm{mol}}$${}= -754\ \mathrm{kJ}$

Plantejament A volum constant la calor és la variació d’energia interna, $q_V=\Delta U$; a pressió constant és la variació d’entalpia, $q_p=\Delta H$. Les relaciona la variació de mols de gas.

1. Per a gasos ideals:

   $\Delta H$${}= \Delta U+\Delta n\,R\,T$${}\Rightarrow q_V$${}= q_p-\Delta n\,R\,T$

2. $\Delta n$ és la variació de mols de gas: es formen 2 mol de $\mathrm{CO_2}$ i als reactius no n’hi ha cap.

   $\Delta n=2-0=2$

3. Valor a 298 K (per mol de glucosa), amb $R$${}= 8{,}31\cdot10^{-3}\ \mathrm{kJ\,K^{-1}\,mol^{-1}}$:

   $q_V$${}= -69{,}4\ \mathrm{kJ}$${}-2\cdot8{,}31\cdot10^{-3}\ \mathrm{kJ\,K^{-1}\,mol^{-1}}\cdot298\ \mathrm{K}$${}= -69{,}4-4{,}95$${}= -74{,}4\ \mathrm{kJ}$

4. Comparació: a volum constant el sistema no fa treball d’expansió (el $\mathrm{CO_2}$ que es forma no ha d’empènyer l’atmosfera), i aquesta energia també surt en forma de calor.

   $|q_V|$${}= 74{,}4\ \mathrm{kJ}$${}> |q_p|$${}= 69{,}4\ \mathrm{kJ}$

Plantejament Passem la concentració d’ions hidròxid a mol/L; amb el producte iònic de l’aigua obtenim $[\mathrm{H_3O^+}]$ i el pH, que comparem amb els límits.

1. Concentració molar d’$\mathrm{OH^-}$ ($M=16{,}0+1{,}0=17{,}0\ \mathrm{g\,mol^{-1}}$ i $1\ \mathrm{L}=1\,000\ \mathrm{mL}$):

   $[\mathrm{OH^-}]$${}= \frac{3{,}02\cdot10^{-9}\ \mathrm{g\,mL^{-1}}\cdot1\,000\ \mathrm{mL\,L^{-1}}}{17{,}0\ \mathrm{g\,mol^{-1}}}$${}= 1{,}776\cdot10^{-7}\ \mathrm{mol\,L^{-1}}$

2. Concentració d’$\mathrm{H_3O^+}$ amb el producte iònic de l’aigua, $K_w=[\mathrm{H_3O^+}][\mathrm{OH^-}]$:

   $[\mathrm{H_3O^+}]$${}= \frac{K_w}{[\mathrm{OH^-}]}$${}= \frac{1{,}00\cdot10^{-14}}{1{,}776\cdot10^{-7}}$${}= 5{,}63\cdot10^{-8}\ \mathrm{mol\,L^{-1}}$

3. pH del plasma:

   $\mathrm{pH}$${}= -\log[\mathrm{H_3O^+}]$${}= -\log\left(5{,}63\cdot10^{-8}\right)$${}= 7{,}25$

4. Comparació amb el límit de l’acidosi:

   $7{,}25<7{,}35$

Plantejament Un sistema regulador (tampó) conté un àcid feble i la seva base conjugada, que neutralitzen petites quantitats de base o d’àcid afegits. L’aigua destil·lada no ho és.

1. Tubs A i B (plasma): el sistema $\mathrm{H_2CO_3/HCO_3^-}$ i els altres sistemes reguladors neutralitzen les gotes d’àcid o de base. L’$\mathrm{HCl}$ el consumeix l’ió hidrogencarbonat i el $\mathrm{NaOH}$, l’àcid carbònic. El pH pràcticament no canvia i es manté a prop de 7,4.

   $\mathrm{HCO_3^-+H_3O^+}$${}\rightarrow \mathrm{H_2CO_3+H_2O}$$\mathrm{H_2CO_3+OH^-}$${}\rightarrow \mathrm{HCO_3^-+H_2O}$

2. Tub C (aigua i $\mathrm{HCl}$): l’aigua no és un sistema regulador. L’$\mathrm{HCl}$, àcid fort, es dissocia completament, augmenta molt $[\mathrm{H_3O^+}]$ i el pH baixa molt per sota de 7.

   $\mathrm{HCl+H_2O\rightarrow Cl^-+H_3O^+}$${}\Rightarrow \mathrm{pH}\ll7$

3. Tub D (aigua i $\mathrm{NaOH}$): la base forta es dissocia completament, augmenta molt $[\mathrm{OH^-}]$, disminueix $[\mathrm{H_3O^+}]=K_w/[\mathrm{OH^-}]$ i el pH puja molt per sobre de 7.

   $\mathrm{NaOH\rightarrow Na^++OH^-}\ \Rightarrow\ \mathrm{pH}\gg7$

Plantejament En una electròlisi l’oxidació té lloc a l’ànode i la reducció, al càtode. Dels productes de la reacció global, el clor surt de l’oxidació dels ions clorur i l’hidrogen, de la reducció de l’aigua.

1. Ànode (oxidació dels ions clorur):

   $\mathrm{2\,Cl^-(aq)\rightarrow Cl_2(g)+2\,e^-}$

2. Càtode (reducció de l’aigua; els ions $\mathrm{OH^-}$ que es formen, amb el $\mathrm{Na^+}$, són l’hidròxid de sodi):

   $\mathrm{2\,H_2O(l)+2\,e^-}$${}\rightarrow \mathrm{H_2(g)+2\,OH^-(aq)}$

3. Comprovació: la suma de les dues semireaccions, amb els ions $\mathrm{Na^+}$ com a espectadors, dona la reacció global.

   $\mathrm{2\,Cl^-+2\,H_2O}$${}\rightarrow \mathrm{Cl_2+H_2+2\,OH^-}$

4. En una cel·la electrolítica l’ànode es connecta al pol positiu del generador i el càtode, al negatiu.

   $\text{ànode}\ (+)$$\text{càtode}\ (-)$

Plantejament L’equació dels gasos ideals dona els mols de clor que hi caben a la bombona. Amb la semireacció de l’ànode i la llei de Faraday se’n treu la càrrega i, amb $Q=I\,t$, el temps.

1. Mols de clor ($T=22+273=295\ \mathrm{K}$):

   $n(\mathrm{Cl_2})$${}= \frac{p\,V}{R\,T}=\frac{1{,}5\ \mathrm{atm}\cdot10\ \mathrm{L}}{0{,}082\ \mathrm{atm\,L\,K^{-1}\,mol^{-1}}\cdot295\ \mathrm{K}}$${}= 0{,}620\ \mathrm{mol}$

2. Cada mol de $\mathrm{Cl_2}$ necessita 2 mol d’electrons. Càrrega necessària:

   $Q$${}= 0{,}620\ \mathrm{mol}\cdot2\cdot9{,}65\cdot10^{4}\ \mathrm{C\,mol^{-1}}$${}= 1{,}197\cdot10^{5}\ \mathrm{C}$

3. Temps, amb $Q=I\,t$:

   $t$${}= \frac{Q}{I}=\frac{1{,}197\cdot10^{5}\ \mathrm{C}}{5{,}00\ \mathrm{A}}$${}= 2{,}394\cdot10^{4}\ \mathrm{s}$${}= \frac{2{,}394\cdot10^{4}\ \mathrm{s}}{3\,600\ \mathrm{s\,h^{-1}}}$${}= 6{,}65\ \mathrm{h}$

Plantejament Calculem l’energia dels fotons de llum visible amb l’equació de Planck i la comparem amb la primera energia d’ionització del liti, $5{,}4\ \mathrm{eV}$ per àtom.

1. La llum visible més energètica és la de longitud d’ona més curta, 400 nm. Energia d’un fotó, amb $E=h\,\nu$ i $\nu=c/\lambda$:

   $E$${}= \frac{h\,c}{\lambda}=\frac{6{,}63\cdot10^{-34}\ \mathrm{J\,s}\cdot3{,}0\cdot10^{8}\ \mathrm{m\,s^{-1}}}{400\cdot10^{-9}\ \mathrm{m}}$${}= 4{,}97\cdot10^{-19}\ \mathrm{J}$

2. En electronvolts:

   $E$${}= \frac{4{,}97\cdot10^{-19}\ \mathrm{J}}{1{,}60\cdot10^{-19}\ \mathrm{J\,eV^{-1}}}$${}= 3{,}11\ \mathrm{eV}$

3. Per a 750 nm, de la mateixa manera:

   $E$${}= \frac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot3{,}0\cdot10^{8}}{750\cdot10^{-9}}$${}= 2{,}65\cdot10^{-19}\ \mathrm{J}$${}= 1{,}66\ \mathrm{eV}$

4. Comparació amb la primera energia d’ionització del liti:

   $1{,}66\ \mathrm{eV}$${}\le E_{\text{visible}}$${}\le 3{,}11\ \mathrm{eV}$${}< 5{,}4\ \mathrm{eV}$

5. Dit d’una altra manera, la longitud d’ona més llarga que pot ionitzar el liti és:

   $\lambda$${}= \frac{h\,c}{E_{i1}}$${}= \frac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot3{,}0\cdot10^{8}}{5{,}4\cdot1{,}60\cdot10^{-19}}$${}= 2{,}30\cdot10^{-7}\ \mathrm{m}$${}= 230\ \mathrm{nm}$${}< 400\ \mathrm{nm}$

Plantejament Fem servir les configuracions electròniques i el model de càrregues: l’atracció entre el nucli i l’electró més extern és més gran com més càrrega nuclear hi ha i com més a prop està l’electró (llei de Coulomb).

1. Configuracions electròniques:

   $\mathrm{Li}:\ 1s^2\,2s^1$$\mathrm{Be}:\ 1s^2\,2s^2$

2. Primera energia d’ionització (energia per arrencar un electró a l’àtom gasós): en tots dos casos surt un electró $2s$, de la capa $n=2$. El beril·li té un protó més; el seu electró $2s$ és atret amb més força i el seu radi és més petit. Com més petita és la distància, més gran és l’atracció i més costa arrencar l’electró.

   $r(\mathrm{Be})$${}< r(\mathrm{Li})$${}\Rightarrow E_{i1}(\mathrm{Be})$${}> E_{i1}(\mathrm{Li})$

3. Segona energia d’ionització (arrencar un electró a l’ió $\mathrm{X^+}$ gasós). Configuracions dels ions:

   $\mathrm{Li^+}:\ 1s^2$$\mathrm{Be^+}:\ 1s^2\,2s^1$

4. Al $\mathrm{Li^+}$, el següent electró és de la capa interna $n=1$, molt més a prop del nucli i sense cap capa que l’apantalli: la segona energia d’ionització és molt més gran que la primera. Al $\mathrm{Be^+}$, el segon electró encara és de la capa $n=2$, com el primer: el radi gairebé no canvia i la segona energia és més gran, però no tant.

   $E_{i2}$${}-E_{i1}:\quad \mathrm{Li}:\ 75{,}2$${}-5{,}4$${}= 69{,}8\ \mathrm{eV}\ \gg\ \mathrm{Be}:\ 18{,}2-9{,}3$${}= 8{,}9\ \mathrm{eV}$

Plantejament És un equilibri heterogeni: el sòlid no apareix a l’expressió de $K_c$. Plantegem l’equilibri en mols, substituïm les concentracions a $K_c$ i aïllem els mols d’oxigen.

1. Expressió de la constant (només hi entren els gasos):

   $K_c=[\mathrm{Hg}]^2\,[\mathrm{O_2}]$

2. Taula de l’equilibri, en mols:

   $\begin{array}{l|ccc} & \mathrm{HgO(s)} & \mathrm{Hg(g)} & \mathrm{O_2(g)}\\\hline \text{inicial} & 0{,}10 & 0 & 0\\ \text{canvi} & -2x & +2x & +x\\ \text{equilibri} & 0{,}10-2x & 2x & x\end{array}$

3. Substituïm les concentracions ($V=10\ \mathrm{L}$) i aïllem $x$:

   $1{,}19\cdot10^{-7}$${}= \left(\frac{2x}{10}\right)^2\cdot\frac{x}{10}$${}= \frac{4x^3}{1\,000}$${}\Rightarrow x=\sqrt[3]{\frac{1{,}19\cdot10^{-7}\cdot1\,000}{4}}$${}= 3{,}10\cdot10^{-2}\ \mathrm{mol}$

4. Hi ha prou òxid: se’n descomponen $2x=0{,}062$ mol dels 0,10 mol inicials. Massa d’oxigen, amb $M(\mathrm{O_2})$${}= 2\cdot16{,}0$${}= 32{,}0\ \mathrm{g\,mol^{-1}}$:

   $m(\mathrm{O_2})$${}= 3{,}10\cdot10^{-2}\ \mathrm{mol}\cdot32{,}0\ \mathrm{g\,mol^{-1}}$${}= 0{,}992\ \mathrm{g}$

Plantejament Un canvi de temperatura desplaça l’equilibri segons el signe de $\Delta H^\circ$ (principi de Le Châtelier) i, a diferència dels altres canvis, també canvia el valor de $K_c$.

1. La descomposició és endotèrmica ($\Delta H^\circ>0$): absorbeix calor quan avança cap a la dreta. Si la temperatura és més baixa, s’afavoreix el sentit que desprèn calor, cap a l’esquerra, i a l’equilibri hi ha menys mercuri i menys oxigen.

   $T\downarrow,\ \Delta H^\circ>0\ \Rightarrow\ \leftarrow$

2. $K_c$ només depèn de la temperatura. A 300 °C l’equilibri està més desplaçat cap al reactiu, de manera que $K_c$ és més petita que a 400 °C.

   $K_c(300\ ^\circ\mathrm{C})$${}< K_c(400\ ^\circ\mathrm{C})$${}= 1{,}19\cdot10^{-7}$