Óptica: ejercicios de la PAU de Física de Andalucía resueltos

Planteamiento En una lente divergente el foco imagen $F'$ está del mismo lado que el objeto. Basta trazar dos rayos desde el extremo del objeto: el que llega paralelo al eje, que sale como si viniera de $F'$, y el que pasa por el centro óptico, que no se desvía. Lo confirmamos con la ecuación de las lentes.

1. Trazado de rayos (ver figura): el rayo paralelo al eje se refracta alejándose del eje, de modo que su prolongación hacia atrás pasa por $F'$; el rayo que pasa por $O$ sigue recto. Los dos rayos refractados divergen, y la imagen se forma donde se cortan sus prolongaciones.

2. Ecuación de las lentes delgadas, con el criterio de signos DIN (origen en la lente, distancias positivas a la derecha y la luz de izquierda a derecha):

   $\frac{1}{s'}-\frac{1}{s}=\frac{1}{f'}$

3. Un objeto real delante de la lente tiene $s<0$, y la lente divergente $f'<0$. Al despejar, los dos sumandos son negativos:

   $\frac{1}{s'}=\frac{1}{f'}+\frac{1}{s}<0\ \Rightarrow\ s'<0$

4. Además, $1/s'$ es más negativo que $1/f'$ y que $1/s$, así que la imagen queda más cerca de la lente que el foco y que el objeto:

   $|s'|<|f'|$$|s'|<|s|$

5. Aumento lateral: $s'$ y $s$ son negativos y $|s'|<|s|$.

   $M=\frac{y'}{y}=\frac{s'}{s}$$0<M<1$

ResultadoLa imagen es virtual (se forma con las prolongaciones de los rayos, del mismo lado que el objeto), derecha y más pequeña que el objeto, y queda entre el foco imagen $F'$ y la lente. Es así para cualquier posición del objeto real.

Planteamiento La imagen que se recoge en una pantalla es real. Usamos el criterio de signos DIN: origen en la lente, distancias positivas a la derecha y la luz viajando de izquierda a derecha, de modo que el objeto está a la izquierda ($s<0$) y la pantalla a la derecha ($s'>0$). Después aplicamos la ecuación de las lentes delgadas.

1. Posición del objeto, 3,8 cm a la izquierda de la lente:

   $s=-3{,}8\ \mathrm{cm}$

2. Posición de la imagen: la pantalla está a 28 cm del objeto, es decir, a $28-3{,}8$ cm a la derecha de la lente.

   $s'=28-3{,}8=24{,}2\ \mathrm{cm}$

3. Ecuación de las lentes delgadas:

   $\frac{1}{f'}=\frac{1}{s'}-\frac{1}{s}=\frac{1}{24{,}2}+\frac{1}{3{,}8}$

4. Despejamos la distancia focal:

   $f'$${}= \frac{24{,}2\cdot 3{,}8}{24{,}2+3{,}8}$${}= \frac{91{,}96}{28}$${}\approx 3{,}28\ \mathrm{cm}$

ResultadoCon el criterio de signos DIN, $s=-3{,}8\ \mathrm{cm}$ y $s'=24{,}2\ \mathrm{cm}$, y hace falta una lente de distancia focal imagen $f'\approx 3{,}28\ \mathrm{cm}$ (positiva: convergente).

Planteamiento El aumento lateral de una lente delgada es $M=y'/y=s'/s$.

1. Aumento lateral, con $s$ y $s'$ del apartado i:

   $M=\frac{s'}{s}=\frac{24{,}2}{-3{,}8}\approx-6{,}37$

2. Tamaño de la imagen, con $y=0{,}2\ \mathrm{mm}$:

   $y'=My=-6{,}37\cdot 0{,}2\approx-1{,}27\ \mathrm{mm}$

Planteamiento Hay que ver qué lente puede dar una imagen virtual (en el mismo lado que el objeto) y mayor. Usamos el convenio de signos DIN: la luz va de izquierda a derecha, el objeto está en $s<0$, y la distancia focal imagen es $f'>0$ en una lente convergente y $f'<0$ en una divergente.

1. Ecuación de las lentes delgadas y aumento lateral:

   $\dfrac{1}{s'}-\dfrac{1}{s}=\dfrac{1}{f'}$$M=\dfrac{y'}{y}=\dfrac{s'}{s}$

2. Lente divergente ($f'<0$): con $s<0$, $\dfrac{1}{s'}=\dfrac{1}{f'}+\dfrac{1}{s}$ es suma de dos negativos, así que $s'<0$ y además $|s'|<|s|$. La imagen es virtual, pero siempre menor.

   $0<M=\dfrac{s'}{s}<1$

3. Lente convergente ($f'>0$) con el objeto entre el foco objeto y la lente, $-f'<s<0$: entonces $\dfrac{1}{s}<-\dfrac{1}{f'}$ y la imagen queda a la izquierda de la lente, virtual.

   $\dfrac{1}{s'}=\dfrac{1}{f'}+\dfrac{1}{s}<0\ \Longrightarrow\ s'<0$

4. Además $|s'|>|s|$, porque $\dfrac{1}{|s'|}$${}= \dfrac{1}{|s|}-\dfrac{1}{f'}$${}< \dfrac{1}{|s|}$, y el aumento es mayor que 1:

   $M=\dfrac{s'}{s}>1$

5. Si el objeto está más allá del foco ($s<-f'$), la imagen es real e invertida. Así que la única opción es la lente convergente con el objeto dentro de la distancia focal.

   $s<-f'\ \Longrightarrow\ s'>0$

6. Trazado de rayos (figura): un rayo que sale del extremo del objeto paralelo al eje se refracta pasando por el foco imagen $F'$, y otro que pasa por el centro óptico no se desvía. Los rayos refractados divergen; sus prolongaciones hacia atrás se cortan del lado del objeto, más arriba y más lejos de la lente que él.

   $y'>y$$s'<s<0$

ResultadoHay que usar una lente convergente y colocar el objeto entre el foco objeto $F$ y la lente ($|s|<f'$). La imagen es virtual, derecha y mayor que el objeto: así funciona una lupa.

Planteamiento En cada superficie de separación (las dos son planas y paralelas) el rayo cumple la ley de Snell, $n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2$: se acerca a la normal al pasar a un medio de mayor índice y se aleja al pasar a uno de menor índice.

1. Del aire al aceite el índice aumenta de $1$ a $1{,}47$, y el rayo se acerca a la normal.

   $n_{\text{aceite}}$${}> n_{\text{aire}}$${}\Longrightarrow \theta_{\text{aceite}}$${}< 50^\circ$

2. Del aceite al agua el índice disminuye de $1{,}47$ a $1{,}33$ y el rayo se aleja de la normal, pero sin llegar a los $50^\circ$ del aire, porque $n_{\text{agua}}>n_{\text{aire}}$.

   $\theta_{\text{aceite}}<\theta_{\text{agua}}<50^\circ$

ResultadoEsquema en la figura: el rayo entra en el aceite acercándose a la normal ($31{,}4^\circ$) y, al pasar al agua, se separa algo de ella ($35{,}2^\circ$), sin volver a los $50^\circ$ del aire.

Planteamiento Aplicamos la ley de Snell en cada superficie. Como las dos son paralelas, el ángulo de refracción en la primera es el de incidencia en la segunda.

1. Del aire al aceite:

   $\sin\theta_{\text{aceite}}$${}= \dfrac{n_{\text{aire}}\sin 50^\circ}{n_{\text{aceite}}}$${}= \dfrac{0{,}766}{1{,}47}$${}= 0{,}521$

2. Ángulo en el aceite:

   $\theta_{\text{aceite}}=\arcsin 0{,}521=31{,}4^\circ$

3. Del aceite al agua:

   $\sin\theta_{\text{agua}}$${}= \dfrac{n_{\text{aceite}}\sin\theta_{\text{aceite}}}{n_{\text{agua}}}$${}= \dfrac{1{,}47\cdot 0{,}521}{1{,}33}$${}= 0{,}576$

4. Ángulo en el agua:

   $\theta_{\text{agua}}=\arcsin 0{,}576=35{,}2^\circ$

5. Como $n_{\text{aceite}}\sin\theta_{\text{aceite}}$${}= n_{\text{aire}}\sin 50^\circ$, la capa de aceite no cambia el ángulo final en el agua:

   $\sin\theta_{\text{agua}}=\dfrac{\sin 50^\circ}{1{,}33}$

Planteamiento El índice de refracción de un medio es el cociente entre la velocidad de la luz en el vacío y en el medio.

1. Velocidad en el agua:

   $v_{\text{agua}}$${}= \dfrac{c}{n_{\text{agua}}}$${}= \dfrac{3\cdot 10^{8}}{1{,}33}$${}= 2{,}26\cdot 10^{8}\ \mathrm{m\,s^{-1}}$

Planteamiento Con el convenio de signos DIN (luz de izquierda a derecha, objeto real en $s<0$), un espejo convexo tiene el centro de curvatura y el foco detrás, $f=\dfrac{R}{2}>0$. Las ecuaciones de los espejos permiten ver qué imagen da para cualquier posición del objeto.

1. Ecuación de los espejos y aumento lateral:

   $\dfrac{1}{s'}+\dfrac{1}{s}=\dfrac{1}{f}$$M=-\dfrac{s'}{s}$

2. Con $s<0$ y $f>0$, los dos términos de $\dfrac{1}{s'}=\dfrac{1}{f}-\dfrac{1}{s}$ son positivos: $s'>0$, la imagen queda detrás del espejo y es virtual.

   $\dfrac{1}{s'}=\dfrac{1}{f}+\dfrac{1}{|s|}>0$

3. Despejando la posición de la imagen y sustituyendo en el aumento:

   $s'=\dfrac{f\,|s|}{f+|s|}$$M=\dfrac{s'}{|s|}=\dfrac{f}{f+|s|}$

4. Como $f+|s|>f$, el aumento está siempre entre 0 y 1: la imagen es derecha y menor.

   $0<M=\dfrac{f}{f+|s|}<1$

5. Trazado de rayos (figura): un rayo paralelo al eje se refleja como si viniera del foco $F$, detrás del espejo, y un rayo dirigido hacia el centro de curvatura $C$ vuelve sobre sí mismo. Los rayos reflejados divergen; sus prolongaciones se cortan detrás del espejo, entre el espejo y el foco, en una imagen menor que el objeto.

   $0<s'<f$

ResultadoFalsa: un espejo convexo da siempre, esté donde esté el objeto real, una imagen virtual, derecha y menor que el objeto ($0<M<1$). Por eso se usa en los retrovisores: amplía el campo de visión a costa de achicar la imagen.

Planteamiento La frecuencia la fija la fuente y no cambia al pasar de un medio a otro. En el aire ($n=1$) la luz se propaga a $c$, así que $f=\dfrac{c}{\lambda_{\text{aire}}}$.

1. Sustituimos:

   $f$${}= \dfrac{c}{\lambda_{\text{aire}}}$${}= \dfrac{3\cdot 10^{8}}{700\cdot 10^{-9}}$${}= 4{,}29\cdot 10^{14}\ \mathrm{Hz}$

Planteamiento Como $v=\lambda f$ y la frecuencia no cambia, el índice de refracción es el cociente entre las longitudes de onda.

1. Índice de refracción:

   $n_{\text{agua}}$${}= \dfrac{c}{v}$${}= \dfrac{\lambda_{\text{aire}}\,f}{\lambda_{\text{agua}}\,f}$${}= \dfrac{\lambda_{\text{aire}}}{\lambda_{\text{agua}}}$

2. Sustituimos las longitudes de onda:

   $n_{\text{agua}}=\dfrac{700}{525}=1{,}33$

Planteamiento La velocidad en el agua es el producto de la longitud de onda en el agua por la frecuencia.

1. Velocidad en el agua:

   $v$${}= \lambda_{\text{agua}}\,f$${}= 525\cdot 10^{-9}\cdot 4{,}286\cdot 10^{14}$${}= 2{,}25\cdot 10^{8}\ \mathrm{m\,s^{-1}}$

2. Comprobación con el índice de refracción:

   $v$${}= \dfrac{c}{n_{\text{agua}}}$${}= \dfrac{3\cdot 10^{8}}{4/3}$${}= 2{,}25\cdot 10^{8}\ \mathrm{m\,s^{-1}}$

Planteamiento Al pasar de un medio a otro la frecuencia de la luz no cambia (la fija la fuente); cambian la velocidad y la longitud de onda.

1. Índice de refracción de un medio, con $v=\lambda f$:

   $n=\dfrac{c}{v}=\dfrac{c}{\lambda f}$

2. Cociente de los índices, con la misma frecuencia en los dos medios:

   $\dfrac{n_1}{n_2}=\dfrac{\lambda_2}{\lambda_1}$

3. Con $\lambda_2=2\lambda_1$:

   $\dfrac{n_1}{n_2}=2\ \Rightarrow\ n_2=\dfrac{n_1}{2}$

Planteamiento Se aplica la ley de Snell con la relación del apartado i.

1. Ley de Snell:

   $n_1\operatorname{sen}\theta_1$${}= n_2\operatorname{sen}\theta_2$${}\Rightarrow \operatorname{sen}\theta_2$${}= 2\operatorname{sen}\theta_1$

2. Para cualquier ángulo de incidencia no nulo, $\operatorname{sen}\theta_2>\operatorname{sen}\theta_1$: el rayo refractado forma más ángulo con la normal.

   $\theta_2>\theta_1$

3. La reflexión total es posible porque la luz pasa a un medio de menor índice. Ocurre si el ángulo de incidencia supera el ángulo límite, el que da un refractado de $90^\circ$:

   $\operatorname{sen}\theta_L$${}= \dfrac{n_2}{n_1}$${}= \dfrac{1}{2}$${}\Rightarrow \theta_L$${}= 30^\circ$

Planteamiento La frecuencia no cambia al entrar en la lámina, así que el cociente de las longitudes de onda es el inverso del de los índices.

1. Relación entre índices y longitudes de onda:

   $\dfrac{n}{n_{\text{aire}}}=\dfrac{\lambda_0}{\lambda}$

2. Con $\lambda=3\lambda_0/4$:

   $n=1\cdot\dfrac{\lambda_0}{3\lambda_0/4}=\dfrac{4}{3}\approx 1{,}33$

Planteamiento Ley de Snell en la primera cara. En la segunda cara el rayo vuelve al aire con el mismo ángulo con que entró, porque las caras son paralelas.

1. Ley de Snell en la entrada:

   $\operatorname{sen}\theta_r$${}= \dfrac{n_{\text{aire}}\operatorname{sen}80^\circ}{n}$${}= \dfrac{0{,}9848}{4/3}$${}\approx 0{,}7386$

2. Ángulo de refracción:

   $\theta_r=\arcsin 0{,}7386\approx 47{,}6^\circ$

3. En la salida el ángulo de incidencia es $47{,}6^\circ$ (ángulos alternos) y la ley de Snell devuelve los $80^\circ$:

   $\dfrac{4}{3}\operatorname{sen}47{,}6^\circ$${}= \operatorname{sen}80^\circ$${}\Rightarrow \theta_{\text{salida}}$${}= 80^\circ$

Resultado$\theta_r\approx 47{,}6^\circ$. Dentro de la lámina el rayo se acerca a la normal y sale paralelo al rayo incidente, desplazado lateralmente (esquema en la figura).

Planteamiento Dentro de la lámina la luz va a $v=c/n$ y recorre en línea recta el camino inclinado $L$. El espesor $d$ es la proyección de ese camino sobre la normal.

1. Velocidad de la luz en la lámina:

   $v$${}= \dfrac{c}{n}$${}= \dfrac{3\cdot 10^{8}}{4/3}$${}= 2{,}25\cdot 10^{8}\ \mathrm{m\,s^{-1}}$

2. Longitud del camino dentro de la lámina:

   $L$${}= v\,t=2{,}25\cdot 10^{8}\cdot 5{,}28\cdot 10^{-10}$${}= 0{,}1188\ \mathrm{m}$

3. Espesor, con el ángulo de refracción del apartado ii ($\cos 47{,}6^\circ\approx 0{,}6741$):

   $d$${}= L\cos\theta_r$${}= 0{,}1188\cdot 0{,}6741$${}\approx 0{,}0801\ \mathrm{m}$

Planteamiento Se trazan desde el extremo del objeto dos de los rayos principales; la imagen del extremo está donde se cortan los rayos reflejados. El foco $F$ está en el punto medio entre el centro de curvatura $C$ y el espejo.

1. Rayo paralelo al eje: al reflejarse pasa por el foco.

   $\text{paralelo}\ \longrightarrow\ \text{por}\ F$

2. Rayo que pasa por el foco: se refleja paralelo al eje.

   $\text{por}\ F\ \longrightarrow\ \text{paralelo}$

3. Rayo que pasa por el centro de curvatura: llega perpendicular al espejo y vuelve sobre sí mismo.

   $\text{por}\ C\ \longrightarrow\ \text{por}\ C$

4. Con el objeto más allá de $C$, los rayos reflejados se cortan entre $C$ y $F$, por debajo del eje. Lo confirma la ecuación de los espejos (convenio DIN, $s<2f<0$):

   $\dfrac{1}{s'}+\dfrac{1}{s}=\dfrac{1}{f}\ \Rightarrow\ 2f<s'<f$

ResultadoLos rayos reflejados (el paralelo, que pasa por $F$; el que pasa por $F$, que sale paralelo, y el que pasa por $C$, que vuelve sobre sí mismo) se cortan entre el centro de curvatura y el foco, por debajo del eje: ahí se forma la imagen (trazado en la figura).

Planteamiento Las características se leen en el trazado y se confirman con el aumento lateral del espejo, $M=-s'/s$.

1. Real: los rayos reflejados se cortan de verdad, delante del espejo, y la imagen se puede recoger en una pantalla.

   $s'$${}< 0\ \text{(delante del espejo, convenio DIN)}$

2. Invertida y menor: la imagen está más cerca del espejo que el objeto.

   $|s'|<|s|\ \Rightarrow\ M=-\dfrac{s'}{s}\in(-1,\ 0)$

Planteamiento Convenio de signos DIN: la luz va de izquierda a derecha; las distancias se miden desde la lente, positivas a su derecha y negativas a su izquierda; las alturas, positivas hacia arriba. Datos: $s=-36$ cm, $f'=12$ cm, $y=4$ cm.

1. Ecuación de las lentes delgadas:

   $\dfrac{1}{s'}-\dfrac{1}{s}$${}= \dfrac{1}{f'}$${}\Rightarrow \dfrac{1}{s'}$${}= \dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{-36}$${}= \dfrac{2}{36}$

2. Posición de la imagen:

   $s'=18\ \mathrm{cm}$

3. Aumento lateral de una lente delgada:

   $M=\dfrac{y'}{y}=\dfrac{s'}{s}$

4. Con los valores de la posición:

   $M=\dfrac{18}{-36}=-0{,}5$

5. Tamaño de la imagen:

   $y'=M\,y=-0{,}5\cdot 4=-2\ \mathrm{cm}$

Planteamiento Desde el extremo del objeto se trazan los rayos principales; la imagen está donde se cortan después de atravesar la lente. Los focos están a 12 cm de la lente, a cada lado.

1. Rayo paralelo al eje: sale pasando por el foco imagen $F'$.

   $\text{paralelo}\ \longrightarrow\ \text{por}\ F'$

2. Rayo que pasa por el centro óptico: no se desvía.

   $\text{por}\ O\ \longrightarrow\ \text{sin desviarse}$

3. Rayo que pasa por el foco objeto $F$: sale paralelo al eje.

   $\text{por}\ F\ \longrightarrow\ \text{paralelo}$

4. El objeto está a más de dos distancias focales ($36>24$ cm): los rayos se cortan detrás de la lente, entre $f'$ y $2f'$.

   $f'<s'=18\ \mathrm{cm}<2f'$

ResultadoLa imagen es real (los rayos se cortan detrás de la lente), invertida y de menor tamaño, la mitad del objeto (trazado en la figura).

Planteamiento Usamos el convenio de signos DIN: la luz va de izquierda a derecha, el objeto está a la izquierda de la lente ($s<0$), y la distancia focal imagen es $f'>0$ en una lente convergente y $f'<0$ en una divergente. Una imagen virtual está del mismo lado que el objeto ($s'<0$).

1. Ecuación de las lentes delgadas y aumento lateral:

   $\dfrac{1}{s'}-\dfrac{1}{s}=\dfrac{1}{f'}$$M=\dfrac{y'}{y}=\dfrac{s'}{s}$

2. Lente divergente ($f'<0$): $\dfrac{1}{s'}=\dfrac{1}{f'}+\dfrac{1}{s}$ es la suma de dos números negativos, así que $s'<0$ y $|s'|<|s|$. La imagen es virtual, pero siempre menor:

   $0<M<1$

3. Lente convergente ($f'>0$) con el objeto entre el foco objeto y la lente, $-f'<s<0$: entonces $\dfrac{1}{s}<-\dfrac{1}{f'}$ y la imagen queda a la izquierda de la lente, es virtual:

   $\dfrac{1}{s'}=\dfrac{1}{f'}+\dfrac{1}{s}<0\ \Longrightarrow\ s'<0$

4. Además, $\dfrac{1}{|s'|}$${}= \dfrac{1}{|s|}-\dfrac{1}{f'}$${}< \dfrac{1}{|s|}$, así que $|s'|>|s|$ y la imagen es derecha y mayor:

   $M=\dfrac{s'}{s}>1$

5. Si el objeto está más allá del foco objeto ($s<-f'$), la imagen es real e invertida; si está en el foco, no se forma imagen. Solo queda la lente convergente con el objeto dentro de la distancia focal.

   $s<-f'\ \Longrightarrow\ s'>0$

6. Trazado de rayos (figura): un rayo que sale del extremo del objeto paralelo al eje se refracta pasando por el foco imagen $F'$, y otro que pasa por el centro óptico no se desvía. Los dos rayos refractados divergen; sus prolongaciones hacia atrás se cortan del lado del objeto, más arriba y más lejos de la lente que él.

   $y'>y$$s'<s<0$

ResultadoHay que usar una lente convergente y colocar el objeto entre el foco objeto $F$ y la lente ($|s|<f'$). La imagen es virtual, derecha y mayor que el objeto: es la forma de usar una lupa.

Planteamiento Convenio de signos DIN: la luz va de izquierda a derecha y el origen está en el centro de la lente; las distancias a la derecha de la lente son positivas y a la izquierda negativas, y las alturas por encima del eje son positivas. Para una lente convergente $f'>0$. La imagen se forma en la pantalla, a 1 m a la derecha: $s'=+1\ \mathrm{m}$.

1. Ecuación de las lentes delgadas, con $f'=+0{,}20\ \mathrm{m}$:

   $\dfrac{1}{s'}-\dfrac{1}{s}$${}= \dfrac{1}{f'}$${}\Longrightarrow \dfrac{1}{s}$${}= \dfrac{1}{s'}-\dfrac{1}{f'}$

2. Sustituimos:

   $\dfrac{1}{s}$${}= \dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{0{,}20}$${}= 1-5$${}= -4\ \mathrm{m^{-1}}$

3. Posición del objeto:

   $s=-0{,}25\ \mathrm{m}$

Planteamiento El aumento lateral de una lente delgada es $M=\dfrac{y'}{y}=\dfrac{s'}{s}$, con $y=5$ cm.

1. Aumento, con $s'=1\ \mathrm{m}$ y $s=-0{,}25\ \mathrm{m}$ del apartado i:

   $M=\dfrac{s'}{s}=\dfrac{1}{-0{,}25}=-4$

2. Tamaño de la imagen:

   $y'=M\,y=-4\cdot 5=-20\ \mathrm{cm}$

Planteamiento Para construir la imagen bastan dos de los rayos que salen del extremo superior del objeto: el que llega paralelo al eje y el que pasa por el centro óptico (y, como comprobación, el que pasa por el foco objeto $F$).

1. El rayo paralelo al eje se refracta y pasa por el foco imagen $F'$, a 20 cm a la derecha de la lente.

   $f'=20\ \mathrm{cm}$

2. El rayo que pasa por el centro óptico no se desvía. Corta al anterior a 1 m de la lente, por debajo del eje: allí está el extremo de la imagen.

   $s'=100\ \mathrm{cm}$$y'=-20\ \mathrm{cm}$

3. El rayo que pasa por el foco objeto $F$, a 20 cm a la izquierda, sale paralelo al eje y llega al mismo punto.

   $s=-25\ \mathrm{cm}$$y=5\ \mathrm{cm}$

ResultadoConstrucción en la figura: los rayos se cortan en la pantalla, a 1 m de la lente, y forman una imagen real, invertida y mayor (20 cm), como dan los apartados i y ii.

Planteamiento El índice de refracción de un medio es $n=\dfrac{c}{v}$. Si la velocidad se duplica al pasar del medio 1 al medio 2 ($v_2=2v_1$), el segundo medio tiene la mitad de índice. La refracción sigue la ley de Snell, $n_1\operatorname{sen}\theta_1=n_2\operatorname{sen}\theta_2$.

1. Relación entre los índices:

   $n_2=\dfrac{c}{v_2}=\dfrac{c}{2v_1}=\dfrac{n_1}{2}$

2. Ley de Snell: el rayo refractado se aleja de la normal (figura).

   $\operatorname{sen}\theta_2$${}= \dfrac{n_1}{n_2}\operatorname{sen}\theta_1$${}= 2\operatorname{sen}\theta_1$${}> \operatorname{sen}\theta_1$

3. Como la luz pasa a un medio de menor índice, puede haber reflexión total. El ángulo límite es el de incidencia para el que el refractado sale a $90^\circ$:

   $\operatorname{sen}L$${}= \dfrac{n_2}{n_1}$${}= \dfrac{1}{2}$${}\Longrightarrow L=30^\circ$

ResultadoEl rayo refractado se aleja de la normal ($\operatorname{sen}\theta_2=2\operatorname{sen}\theta_1$). Sí puede producirse reflexión total, porque la luz pasa a un medio de menor índice de refracción: ocurre si el ángulo de incidencia es mayor que el ángulo límite, $L=30^\circ$.

Planteamiento Al cambiar de medio, la frecuencia de la luz no cambia (la fija la fuente), y en cada medio $v=\lambda f$.

1. Longitud de onda en cada medio, con la misma frecuencia $f$:

   $\lambda_1=\dfrac{v_1}{f}$$\lambda_2=\dfrac{v_2}{f}$

2. Cociente, con $v_2=2v_1$:

   $\dfrac{\lambda_2}{\lambda_1}=\dfrac{v_2}{v_1}=2$

Planteamiento La frecuencia no cambia al pasar de un medio a otro, y en el aire ($n_{\text{aire}}=1$) la luz va a $c$, así que $\lambda_{\text{aire}}=\dfrac{c}{f}$.

1. Sustituimos:

   $\lambda_{\text{aire}}$${}= \dfrac{3\cdot 10^{8}}{8{,}22\cdot 10^{14}}$${}\approx 3{,}65\cdot 10^{-7}\ \mathrm{m}$

Planteamiento En el líquido, $v=\lambda f$ con la longitud de onda en el líquido, y el índice de refracción es $n=\dfrac{c}{v}$.

1. Velocidad en el líquido:

   $v$${}= \lambda f=1{,}46\cdot 10^{-7}\cdot 8{,}22\cdot 10^{14}$${}\approx 1{,}20\cdot 10^{8}\ \mathrm{m\,s^{-1}}$

2. Índice de refracción:

   $n$${}= \dfrac{c}{v}$${}= \dfrac{3\cdot 10^{8}}{1{,}20\cdot 10^{8}}$${}= 2{,}50$

3. Lo mismo sale con las longitudes de onda, porque la frecuencia es la misma: $n=\dfrac{\lambda_{\text{aire}}}{\lambda}$. Es un índice alto para un líquido (el del agua es 1,33), pero es el que resulta de los datos.

   $n$${}= \dfrac{3{,}65\cdot 10^{-7}}{1{,}46\cdot 10^{-7}}$${}= 2{,}50$

Planteamiento En la superficie, parte de la luz se refleja con un ángulo igual al de incidencia y parte se refracta según la ley de Snell, $n\operatorname{sen}\theta_i=n_{\text{aire}}\operatorname{sen}\theta_r$, con $n=2{,}50$ del apartado ii.

1. Ángulo de reflexión, igual al de incidencia:

   $\theta_{\text{refl}}=10^\circ$

2. Antes, comprobamos que hay refracción: el ángulo límite líquido-aire es mayor que $10^\circ$.

   $\operatorname{sen}L=\dfrac{1}{2{,}50}=0{,}4\ \Longrightarrow\ L\approx 23{,}6^\circ$

3. Ley de Snell:

   $\operatorname{sen}\theta_r=2{,}50\cdot\operatorname{sen}10^\circ\approx 0{,}434$

4. Ángulo de refracción, mayor que el de incidencia porque el aire tiene menor índice:

   $\theta_r\approx 25{,}7^\circ$

ResultadoEl rayo reflejado vuelve al líquido formando $10^\circ$ con la normal, y el refractado sale al aire formando $25{,}7^\circ$ con la normal, alejándose de ella (esquema en la figura).

Planteamiento Llamamos $n_1$ al índice del aire y $n_2>n_1$ al del segundo medio. Usamos la ley de Snell, $n_1\operatorname{sen}\theta_1=n_2\operatorname{sen}\theta_2$, la definición del índice de refracción, $n=\dfrac{c}{v}$, y la relación $v=\lambda f$.

1. Ángulo con la normal: como $\dfrac{n_1}{n_2}<1$, el ángulo de refracción es menor que el de incidencia; el rayo se acerca a la normal.

   $\operatorname{sen}\theta_2$${}= \dfrac{n_1}{n_2}\operatorname{sen}\theta_1$${}< \operatorname{sen}\theta_1$${}\Longrightarrow \theta_2$${}< \theta_1$

2. Frecuencia: no cambia. La fija la fuente, y los puntos de la superficie de separación oscilan con la misma frecuencia a los dos lados.

   $f_2=f_1$

3. Velocidad de propagación: disminuye, porque el índice es mayor.

   $v_2=\dfrac{c}{n_2}<\dfrac{c}{n_1}=v_1$

4. Longitud de onda: con la misma frecuencia y menor velocidad, también disminuye, en la misma proporción que la velocidad.

   $\lambda_2$${}= \dfrac{v_2}{f}$${}= \dfrac{n_1}{n_2}\,\lambda_1$${}< \lambda_1$

Planteamiento El rayo pasa del aire al material y se acerca a la normal (de $40^\circ$ a $26^\circ$), como en la figura. Ley de Snell: $n_{\text{aire}}\operatorname{sen}40^\circ=n\operatorname{sen}26^\circ$.

1. Despejamos el índice del material:

   $n$${}= \dfrac{n_{\text{aire}}\operatorname{sen}40^\circ}{\operatorname{sen}26^\circ}$${}= \dfrac{0{,}6428}{0{,}4384}$

2. Resultado (guardamos una cifra más para el apartado ii):

   $n\approx 1{,}466$

Resultado$n\approx 1{,}47$. Es mayor que 1, como corresponde a un rayo que se acerca a la normal al entrar en el material.

Planteamiento La frecuencia no cambia al pasar al material, y la velocidad se divide por $n$; por tanto, la longitud de onda también se divide por $n$: $\lambda=\dfrac{\lambda_0}{n}$, con $\lambda_0$ la longitud de onda en el aire.

1. Frecuencia de la luz, la misma en los dos medios:

   $f$${}= \dfrac{c}{\lambda_0}$${}= \dfrac{3\cdot 10^{8}}{5{,}5\cdot 10^{-7}}$${}\approx 5{,}45\cdot 10^{14}\ \mathrm{Hz}$

2. Longitud de onda en el material, con $n\approx 1{,}466$ del apartado i:

   $\lambda$${}= \dfrac{\lambda_0}{n}$${}= \dfrac{5{,}5\cdot 10^{-7}}{1{,}466}$${}\approx 3{,}75\cdot 10^{-7}\ \mathrm{m}$

Planteamiento En una lente divergente el foco imagen $F'$ está a la izquierda de la lente (del lado del objeto) y el foco objeto $F$ a la derecha. El objeto está más allá de $F'$: $|s|>|f'|$.

1. Rayo paralelo al eje: se refracta alejándose del eje, de modo que su prolongación hacia atrás pasa por el foco imagen $F'$.

   $\text{paralelo}$${}\longrightarrow \text{prolongación por}\ F'$

2. Rayo por el centro óptico: no se desvía.

   $\text{centro}\ \longrightarrow\ \text{sin desviación}$

3. Rayo dirigido hacia el foco objeto $F$ (a la derecha): sale paralelo al eje. Las prolongaciones de los rayos refractados se cortan a la izquierda de la lente, entre $F'$ y la lente, donde está la imagen (figura).

   $|s'|<|f'|$

ResultadoTrazado en la figura: los rayos refractados divergen, y sus prolongaciones se cortan del lado del objeto, entre el foco imagen $F'$ y la lente. Allí se forma la imagen.

Planteamiento Lo confirmamos con la ecuación de las lentes delgadas, $\dfrac{1}{s'}-\dfrac{1}{s}=\dfrac{1}{f'}$, y el aumento $M=\dfrac{s'}{s}$, con el convenio DIN: $s<0$ y $f'<0$ en la lente divergente, y $|s|>|f'|$.

1. Posición: $\dfrac{1}{s'}=\dfrac{1}{f'}+\dfrac{1}{s}$ es la suma de dos números negativos, así que $s'<0$ (imagen virtual, del lado del objeto) y $|s'|<|f'|$ (entre $F'$ y la lente):

   $\dfrac{1}{|s'|}$${}= \dfrac{1}{|f'|}+\dfrac{1}{|s|}$${}> \dfrac{1}{|f'|}$

2. Aumento: es positivo (imagen derecha) y menor que 1 (imagen menor):

   $M=\dfrac{s'}{s}=\dfrac{|f'|}{|f'|+|s|}$

3. Con el objeto más allá de $F'$ ($|s|>|f'|$), la imagen es incluso menor que la mitad del objeto:

   $0<M<\dfrac{1}{2}$

Planteamiento Convenio de signos DIN: la luz va de izquierda a derecha y el origen está en el centro de la lente; las distancias a la derecha son positivas y a la izquierda negativas, y las alturas por encima del eje positivas. Lente convergente: $f'=+10$ cm. La imagen está a 10 cm a la izquierda: $s'=-10$ cm. Una imagen a la izquierda de una lente convergente es virtual y derecha, así que $y'=+4$ cm.

1. Ecuación de las lentes delgadas:

   $\dfrac{1}{s}$${}= \dfrac{1}{s'}-\dfrac{1}{f'}$${}= \dfrac{1}{-10}-\dfrac{1}{10}$${}= -\dfrac{1}{5}\ \mathrm{cm^{-1}}$

2. Posición del objeto:

   $s=-5\ \mathrm{cm}$

3. Aumento lateral:

   $M=\dfrac{s'}{s}=\dfrac{-10}{-5}=2$

4. Tamaño del objeto:

   $y=\dfrac{y'}{M}=\dfrac{4}{2}=2\ \mathrm{cm}$

Planteamiento Trazamos dos rayos desde el extremo del objeto, a 5 cm de la lente y con 2 cm de altura: uno paralelo al eje y otro por el centro óptico.

1. El rayo paralelo al eje se refracta pasando por el foco imagen $F'$, a 10 cm a la derecha.

   $f'=10\ \mathrm{cm}$

2. El rayo por el centro óptico no se desvía. Los dos rayos refractados divergen, y sus prolongaciones se cortan a la izquierda, a 10 cm de la lente (sobre el foco objeto $F$) y a 4 cm de altura (figura).

   $s'=-10\ \mathrm{cm}$$y'=4\ \mathrm{cm}$

ResultadoLa imagen es virtual (la forman las prolongaciones de los rayos), derecha ($M=2>0$) y de doble tamaño que el objeto. Es el caso de una lupa: objeto entre el foco objeto y la lente.