Campo gravitatorio: ejercicios de la PAU de Física de Andalucía resueltos

Planteamiento Sobre el niño actúan el peso, la normal y el rozamiento, que se opone al deslizamiento. El rozamiento vale $F_r=\mu N$, y la normal equilibra la componente del peso perpendicular al tobogán. Su trabajo es negativo porque la fuerza va en sentido contrario al desplazamiento.

1. Fuerzas (ver esquema): el peso $\vec P$, vertical y hacia abajo; la normal $\vec N$, perpendicular al tobogán; y el rozamiento $\vec F_r$, paralelo al tobogán y hacia arriba. El peso vale:

   $P=mg=15\cdot 9{,}8=147\ \mathrm{N}$

2. Longitud del tobogán, a partir de su altura y su inclinación:

   $L=\frac{h}{\operatorname{sen}30^\circ}=\frac{2}{0{,}5}=4\ \mathrm{m}$

3. En la dirección perpendicular al tobogán no hay aceleración, así que la normal equilibra la componente perpendicular del peso:

   $N$${}= mg\cos 30^\circ$${}= 147\cdot 0{,}866$${}\approx 127{,}3\ \mathrm{N}$

4. Fuerza de rozamiento dinámico, con la normal del paso anterior:

   $F_r=\mu N=0{,}25\cdot 127{,}3\approx 31{,}8\ \mathrm{N}$

5. Trabajo del rozamiento a lo largo de los 4 m, con $F_r=31{,}83\ \mathrm{N}$ sin redondear: la fuerza forma $180^\circ$ con el desplazamiento, por eso es negativo.

   $W_r$${}= F_rL\cos 180^\circ$${}= -31{,}83\cdot 4$${}\approx -127\ \mathrm{J}$

ResultadoActúan el peso ($P=147\ \mathrm{N}$), la normal ($N\approx 127\ \mathrm{N}$) y el rozamiento ($F_r\approx 31{,}8\ \mathrm{N}$, hacia arriba del tobogán). El trabajo del rozamiento es $W_r\approx-127\ \mathrm{J}$.

Planteamiento El niño parte del reposo. La energía potencial que pierde al bajar los 2 m se convierte en energía cinética, salvo la parte que disipa el rozamiento: $\Delta E_m=W_r$.

1. Energía potencial gravitatoria en lo alto, tomando $E_p=0$ al final del tobogán:

   $E_p=mgh=15\cdot 9{,}8\cdot 2=294\ \mathrm{J}$

2. Balance de energía entre arriba ($E_c=0$) y abajo ($E_p=0$), con el trabajo del rozamiento del apartado i:

   $E_c$${}= mgh+W_r$${}= 294-127{,}3$${}= 166{,}7\ \mathrm{J}$

3. Velocidad a partir de la energía cinética:

   $v$${}= \sqrt{\frac{2E_c}{m}}$${}= \sqrt{\frac{2\cdot 166{,}7}{15}}$${}\approx 4{,}71\ \mathrm{m\,s^{-1}}$

4. Comprobamos que el niño desliza: la componente del peso a lo largo del tobogán, $mg\operatorname{sen}30^\circ=73{,}5\ \mathrm{N}$, es mayor que el rozamiento del apartado i, así que baja acelerando.

   $73{,}5\ \mathrm{N}>31{,}8\ \mathrm{N}$

Planteamiento En una órbita circular, la fuerza gravitatoria hace de fuerza centrípeta; de ahí salen la velocidad orbital y la energía cinética en función del radio.

1. Fuerza gravitatoria igual a fuerza centrípeta ($M$ es la masa de la Tierra y $m$ la del satélite):

   $\frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r}\ \Rightarrow\ v^2=\frac{GM}{r}$

2. Energía cinética del satélite:

   $E_c=\frac{1}{2}mv^2=\frac{GMm}{2r}$

3. Es inversamente proporcional a $r$: si el radio aumenta, la energía cinética disminuye.

   $r_2>r_1\ \Rightarrow\ E_{c,2}<E_{c,1}$

Planteamiento La energía mecánica es la suma de la cinética y la potencial gravitatoria, que es negativa (nula en el infinito).

1. Energía potencial gravitatoria:

   $E_p=-\frac{GMm}{r}$

2. Energía mecánica en la órbita, con la energía cinética del apartado i:

   $E_m$${}= E_c+E_p$${}= \frac{GMm}{2r}-\frac{GMm}{r}$${}= -\frac{GMm}{2r}$

3. Es negativa y su valor absoluto disminuye al crecer $r$; por tanto, al aumentar el radio, la energía mecánica aumenta (se hace menos negativa).

   $r_2>r_1\ \Rightarrow\ -\frac{GMm}{2r_2}>-\frac{GMm}{2r_1}$

Planteamiento El mueble sube por la rampa. Actúan cuatro fuerzas: el peso, la normal, la fuerza de la persona (paralela a la rampa, hacia arriba) y el rozamiento, que se opone al deslizamiento (paralelo a la rampa, hacia abajo).

1. Peso:

   $P=mg=40\cdot 9{,}8=392\ \mathrm{N}$

2. Normal: equilibra la componente del peso perpendicular a la rampa. La fuerza de la persona es paralela a la rampa y no cambia la normal.

   $N$${}= mg\cos 30^\circ$${}= 392\cdot 0{,}866$${}\approx 339{,}5\ \mathrm{N}$

3. Rozamiento dinámico, con la normal del paso anterior:

   $F_r=\mu N=0{,}10\cdot 339{,}5\approx 33{,}9\ \mathrm{N}$

4. La fuerza de la persona es un dato del enunciado:

   $F=230\ \mathrm{N}$

ResultadoPeso $P=392\ \mathrm{N}$ (vertical, hacia abajo); normal $N\approx 339\ \mathrm{N}$ (perpendicular a la rampa); fuerza de la persona $F=230\ \mathrm{N}$ (paralela a la rampa, hacia arriba) y rozamiento $F_r\approx 33{,}9\ \mathrm{N}$ (paralelo a la rampa, hacia abajo).

Planteamiento El trabajo de una fuerza constante es $W=FL\cos\alpha$, con $L$ la longitud de la rampa y $\alpha$ el ángulo entre la fuerza y el desplazamiento.

1. Longitud de la rampa, a partir de su altura ($0{,}45\ \mathrm{m}$) y su inclinación:

   $L=\frac{h}{\operatorname{sen}30^\circ}=\frac{0{,}45}{0{,}5}=0{,}9\ \mathrm{m}$

2. Trabajo de la fuerza de la persona, paralela al desplazamiento:

   $W_F=FL=230\cdot 0{,}9=207\ \mathrm{J}$

3. Trabajo del peso: es menos la variación de energía potencial, porque el mueble sube 0,45 m.

   $W_P$${}= -mgh$${}= -392\cdot 0{,}45$${}= -176{,}4\ \mathrm{J}$

4. Trabajo de la normal: es perpendicular al desplazamiento.

   $W_N=NL\cos 90^\circ=0$

5. Trabajo del rozamiento, opuesto al desplazamiento, con $F_r=33{,}95\ \mathrm{N}$ del apartado i (sin redondear):

   $W_r$${}= -F_rL$${}= -33{,}95\cdot 0{,}9$${}\approx -30{,}6\ \mathrm{J}$

6. Trabajo total, la suma de los cuatro, con $W_r=-30{,}55\ \mathrm{J}$ sin redondear:

   $W_{\text{total}}$${}= 207-176{,}4+0-30{,}55$${}\approx 0{,}05\ \mathrm{J}$

7. Es la diferencia de números casi iguales: con la precisión de los datos, el trabajo total es prácticamente cero. Se ve también con las fuerzas a lo largo de la rampa: la de la persona compensa casi exactamente la componente del peso más el rozamiento, así que el mueble sube con velocidad casi constante.

   $F-mg\operatorname{sen}30^\circ-F_r$${}= 230-196-33{,}95$${}\approx 0{,}05\ \mathrm{N}$

Planteamiento La gravedad en la superficie de un planeta es $g=\dfrac{GM}{R^2}$. Al comparar Marte con la Tierra, $G$ se simplifica y solo hacen falta los cocientes de masas y de radios.

1. Cociente de las gravedades en la superficie:

   $\frac{g_M}{g_T}$${}= \frac{M_M}{M_T}\left(\frac{R_T}{R_M}\right)^2$${}= \frac{0{,}107}{0{,}532^2}$${}\approx 0{,}378$

2. Gravedad en la superficie de Marte:

   $g_M=0{,}378\cdot 9{,}8\approx 3{,}70\ \mathrm{m\,s^{-2}}$

3. La masa del objeto no cambia, así que su peso cambia en la misma proporción que $g$:

   $P_M$${}= P_T\,\frac{g_M}{g_T}$${}= 400\cdot 0{,}378$${}\approx 151\ \mathrm{N}$

Planteamiento La velocidad de escape es la mínima para que la energía mecánica sea nula en la superficie, $\frac{1}{2}mv_e^2-\frac{GMm}{R}=0$. Como $GM=gR^2$, queda $v_e=\sqrt{2gR}$, con la gravedad y el radio de Marte.

1. Condición de escape: el objeto llega al infinito con velocidad nula.

   $\frac{1}{2}mv_e^2-\frac{GM_Mm}{R_M}=0$${}\Rightarrow v_e$${}= \sqrt{\frac{2GM_M}{R_M}}$

2. Como $GM_M=g_MR_M^2$:

   $v_e=\sqrt{2g_MR_M}$

3. Radio de Marte:

   $R_M$${}= 0{,}532\cdot 6\,370\ \mathrm{km}$${}\approx 3\,389\ \mathrm{km}$${}= 3{,}389\cdot 10^{6}\ \mathrm{m}$

4. Sustituimos, con $g_M=3{,}705\ \mathrm{m\,s^{-2}}$ del apartado i (sin redondear):

   $v_e$${}= \sqrt{2\cdot 3{,}705\cdot 3{,}389\cdot 10^{6}}$${}\approx 5{,}01\cdot 10^{3}\ \mathrm{m\,s^{-1}}$

Planteamiento Cada masa crea en un punto un campo $\vec g=-\dfrac{Gm}{r^2}\,\vec u_r$ dirigido hacia ella. El campo total es la suma vectorial de los dos (principio de superposición), y para que sea nulo los dos campos tienen que tener el mismo módulo y sentidos opuestos.

1. Llamamos $m$ a cada masa y $d$ a la distancia entre ellas. Fuera de la recta que las une, los dos campos apuntan hacia puntos distintos, no son paralelos y su suma no puede ser cero.

   $\vec g_1+\vec g_2$${}\neq \vec 0\quad\text{(vectores no paralelos)}$

2. Sobre la recta, pero fuera del segmento que une las masas, los dos campos apuntan hacia el mismo lado y se suman:

   $|\vec g|=g_1+g_2>0$

3. Entre las dos masas los campos son opuestos. Si el punto está a una distancia $x$ de la primera masa, se anulan cuando sus módulos son iguales:

   $\dfrac{Gm}{x^2}$${}= \dfrac{Gm}{(d-x)^2}$${}\Longrightarrow x=d-x$${}\Longrightarrow x=\dfrac{d}{2}$

4. Lejos de las masas el campo se hace cada vez más pequeño, pero solo tiende a cero cuando la distancia tiende a infinito:

   $\lim_{r\to\infty}|\vec g|=0$

Planteamiento El potencial es una magnitud escalar: el de las dos masas es la suma de los potenciales de cada una, $V=-\dfrac{Gm}{r}$, que es negativo a cualquier distancia finita si se toma el origen de potencial en el infinito.

1. Potencial en un punto situado a distancias $r_1$ y $r_2$ de las masas:

   $V=-\dfrac{Gm}{r_1}-\dfrac{Gm}{r_2}$

2. Los dos términos son negativos y no pueden compensarse, así que el potencial es negativo en todo punto a distancia finita.

   $V<0\quad\text{si}\ r_1,\,r_2<\infty$

3. Incluso en el punto medio, donde el campo es nulo, el potencial no lo es:

   $V\left(\dfrac{d}{2}\right)$${}= -\dfrac{2Gm}{d/2}$${}= -\dfrac{4Gm}{d}$${}\neq 0$

4. Solo cuando las dos distancias tienden a infinito el potencial tiende a cero:

   $\lim_{r_1,\,r_2\to\infty}V=0$

Planteamiento La energía potencial gravitatoria de un satélite de masa $m$ a una distancia $r$ del centro de la Tierra es $E_p=-\dfrac{GM_Tm}{r}$ (origen en el infinito). La distancia se mide desde el centro: radio terrestre más altura.

1. Radio de la órbita:

   $r$${}= R_T+h$${}= 6{,}37\cdot 10^{6}+1{,}6\cdot 10^{7}$${}= 2{,}237\cdot 10^{7}\ \mathrm{m}$

2. Producto $GM_T$, que se usa en los tres apartados:

   $GM_T$${}= 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}98\cdot 10^{24}$${}= 3{,}989\cdot 10^{14}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-1}}$

3. Energía potencial:

   $E_p$${}= -\dfrac{GM_Tm}{r}$${}= -\dfrac{3{,}989\cdot 10^{14}\cdot 1000}{2{,}237\cdot 10^{7}}$${}= -1{,}78\cdot 10^{10}\ \mathrm{J}$

Planteamiento En una órbita circular la fuerza gravitatoria hace de fuerza centrípeta.

1. Igualamos la fuerza gravitatoria a la centrípeta:

   $\dfrac{GM_Tm}{r^2}$${}= \dfrac{mv^2}{r}$${}\Longrightarrow v=\sqrt{\dfrac{GM_T}{r}}$

2. Sustituimos:

   $v$${}= \sqrt{\dfrac{3{,}989\cdot 10^{14}}{2{,}237\cdot 10^{7}}}$${}= 4{,}22\cdot 10^{3}\ \mathrm{m\,s^{-1}}$

Planteamiento La energía del satélite en la órbita es su energía mecánica: cinética más potencial.

1. Energía cinética, con la velocidad del apartado anterior:

   $E_c$${}= \dfrac{1}{2}mv^2$${}= \dfrac{GM_Tm}{2r}$${}= 8{,}92\cdot 10^{9}\ \mathrm{J}$

2. Energía mecánica, con $E_p=-1{,}783\cdot 10^{10}$ J del apartado i:

   $E_m$${}= E_c+E_p$${}= 8{,}92\cdot 10^{9}$${}-1{,}783\cdot 10^{10}$${}= -8{,}92\cdot 10^{9}\ \mathrm{J}$

3. Es la mitad de la energía potencial, como en toda órbita circular:

   $E_m=-\dfrac{GM_Tm}{2r}=\dfrac{E_p}{2}$

Planteamiento Cada masa crea en C un campo dirigido hacia ella de módulo $g=\dfrac{Gm}{r^2}$. El campo total es la suma vectorial de los dos (principio de superposición).

1. Distancia de cada masa a C:

   $r=\sqrt{4^2+3^2}=5\ \mathrm{m}$

2. Módulo del campo de cada masa:

   $g_A$${}= g_B$${}= \dfrac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 200}{5^2}$${}= 5{,}336\cdot 10^{-10}\ \mathrm{N\,kg^{-1}}$

3. Vectores unitarios de C hacia A y de C hacia B:

   $\vec u_{CA}=-0{,}8\,\vec\imath-0{,}6\,\vec\jmath$$\vec u_{CB}=-0{,}8\,\vec\imath+0{,}6\,\vec\jmath$

4. Las componentes $y$ se anulan por simetría y las componentes $x$ se suman:

   $\vec g$${}= 2\cdot 5{,}336\cdot 10^{-10}\cdot(-0{,}8)\,\vec\imath$${}= -8{,}54\cdot 10^{-10}\,\vec\imath\ \mathrm{N\,kg^{-1}}$

Resultado$\vec g_C$${}\approx -8{,}54\cdot 10^{-10}\,\vec\imath\ \mathrm{N\,kg^{-1}}$: apunta desde C hacia el origen, el punto medio entre las dos masas (esquema en la figura).

Planteamiento En el origen las dos masas están a la misma distancia, 3 m, y en lados opuestos: las dos atracciones tienen el mismo módulo y sentidos contrarios.

1. Módulo de la fuerza de cada masa sobre la de 3 kg:

   $F_A$${}= F_B$${}= \dfrac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 200\cdot 3}{3^2}$${}= 4{,}45\cdot 10^{-9}\ \mathrm{N}$

2. La masa de A tira hacia $-\vec\jmath$ y la de B hacia $+\vec\jmath$:

   $\vec F$${}= -4{,}45\cdot 10^{-9}\,\vec\jmath$${}+4{,}45\cdot 10^{-9}\,\vec\jmath$${}= \vec 0$

Planteamiento En la órbita circular la gravedad hace de fuerza centrípeta. Con $v=\dfrac{2\pi r}{T}$ se llega a la tercera ley de Kepler, que da el radio a partir del periodo.

1. Periodo en segundos:

   $T$${}= 1{,}5\cdot 24\cdot 3600$${}= 1{,}296\cdot 10^{5}\ \mathrm{s}$

2. Gravedad igual a fuerza centrípeta, con $v=\dfrac{2\pi r}{T}$:

   $\dfrac{GM_Tm}{r^2}$${}= m\,\dfrac{4\pi^2 r}{T^2}$${}\Longrightarrow r=\sqrt[3]{\dfrac{GM_T\,T^2}{4\pi^2}}$

3. Sustituimos:

   $r$${}= \sqrt[3]{\dfrac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}98\cdot 10^{24}\cdot(1{,}296\cdot 10^{5})^2}{4\pi^2}}$${}= 5{,}54\cdot 10^{7}\ \mathrm{m}$

Planteamiento Para que el satélite escape, su energía mecánica tiene que llegar al menos a cero. El enunciado admite dos lecturas: la velocidad que debe tener el satélite en la órbita para escapar (velocidad de escape a esa distancia) o la que hay que añadirle a la que ya lleva. Damos las dos; la primera es la habitual.

1. Energía mecánica nula a la distancia $r$:

   $\dfrac{1}{2}mv_e^2$${}-\dfrac{GM_Tm}{r}=0$${}\Longrightarrow v_e$${}= \sqrt{\dfrac{2GM_T}{r}}$

2. Sustituimos, con $r=5{,}536\cdot 10^{7}$ m:

   $v_e$${}= \sqrt{\dfrac{2\cdot 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}98\cdot 10^{24}}{5{,}536\cdot 10^{7}}}$${}= 3\,796\ \mathrm{m\,s^{-1}}$${}\approx 3{,}80\cdot 10^{3}\ \mathrm{m\,s^{-1}}$

3. El satélite ya se mueve en la órbita con la velocidad orbital:

   $v_0=\sqrt{\dfrac{GM_T}{r}}=2\,684\ \mathrm{m\,s^{-1}}$

4. Lo que hay que añadirle, impulsándolo en la dirección en que se mueve:

   $\Delta v$${}= v_e-v_0$${}= 3\,796-2\,684$${}= 1\,112\ \mathrm{m\,s^{-1}}$

Planteamiento Se parte del teorema de la energía cinética y se separa el trabajo de las fuerzas conservativas del de las no conservativas.

1. Teorema de la energía cinética: el trabajo de todas las fuerzas es igual a la variación de la energía cinética.

   $W_{\text{total}}=\Delta E_c$

2. El trabajo total es la suma del de las fuerzas conservativas y el de las no conservativas:

   $W_{\text{total}}=W_{\text{c}}+W_{\text{nc}}$

3. El trabajo de las fuerzas conservativas es igual a menos la variación de la energía potencial:

   $W_{\text{c}}=-\Delta E_p$

4. Sustituimos y despejamos el trabajo de las fuerzas no conservativas:

   $W_{\text{nc}}=\Delta E_c+\Delta E_p=\Delta E_m$

Planteamiento Por el apartado i, la energía mecánica cambia solo si el trabajo TOTAL de las fuerzas no conservativas es distinto de cero. Que actúen no basta: puede que no trabajen o que sus trabajos se compensen.

1. La energía mecánica varía solo si las fuerzas no conservativas realizan un trabajo neto:

   $\Delta E_m=W_{\text{nc}}$

2. Contraejemplo 1: un cuerpo que baja por un plano inclinado sin rozamiento. La normal es una fuerza no conservativa, pero es perpendicular al desplazamiento y no trabaja.

   $W_N=N\,d\cos 90^\circ=0\ \Rightarrow\ \Delta E_m=0$

3. Contraejemplo 2: una caja que se empuja con velocidad constante por un suelo horizontal con rozamiento. Actúan dos fuerzas no conservativas, el empuje $F$ y el rozamiento $F_r=F$, y sus trabajos se anulan.

   $W_{\text{nc}}=F\,d-F_r\,d=0\ \Rightarrow\ \Delta E_m=0$

Planteamiento Sobre el bloque actúan cuatro fuerzas: el peso $\vec P$, la normal $\vec N$, la fuerza aplicada $\vec F$ (hacia la izquierda y $30^\circ$ por encima de la horizontal) y el rozamiento $\vec F_r$, que se opone al deslizamiento: como el bloque se mueve hacia la derecha, apunta hacia la izquierda.

1. Peso:

   $P=mg=150\cdot 9{,}8=1\,470\ \mathrm{N}$

2. Componentes de la fuerza aplicada: la horizontal hacia la izquierda y la vertical hacia arriba.

   $F_x=-20\cos 30^\circ\approx-17{,}3\ \mathrm{N}$$F_y=20\operatorname{sen}30^\circ=10\ \mathrm{N}$

3. Normal: en vertical no hay aceleración, así que la normal más la componente vertical de $\vec F$ equilibran el peso.

   $N=P-F_y=1\,470-10=1\,460\ \mathrm{N}$

4. El módulo del rozamiento sale del balance de energía del apartado iii: $F_r\approx 9{,}68$ N, hacia la izquierda.

   $\vec F_r=-F_r\,\vec\imath$

ResultadoPeso $P=1\,470$ N (vertical, hacia abajo); normal $N=1\,460$ N (vertical, hacia arriba); fuerza aplicada $F=20$ N (hacia la izquierda, $30^\circ$ sobre la horizontal); rozamiento $F_r\approx 9{,}68$ N (horizontal, hacia la izquierda, opuesto al movimiento). Esquema en la figura.

Planteamiento El bloque pasa de $3\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ a quedarse parado, siempre a la misma altura.

1. Variación de energía cinética:

   $\Delta E_c$${}= 0-\tfrac{1}{2}\cdot 150\cdot 3^2$${}= -675\ \mathrm{J}$

2. Variación de energía potencial: el movimiento es horizontal, la altura no cambia.

   $\Delta E_p=mg\,\Delta h=0$

3. Variación de energía mecánica:

   $\Delta E_m=\Delta E_c+\Delta E_p=-675\ \mathrm{J}$

Planteamiento El trabajo de una fuerza constante es $W=F\,d\cos\alpha$, con $\alpha$ el ángulo entre la fuerza y el desplazamiento (25 m hacia la derecha). El del rozamiento sale del teorema de la energía cinética.

1. El peso y la normal son perpendiculares al desplazamiento:

   $W_P=W_N=0$

2. La fuerza aplicada forma $180^\circ-30^\circ=150^\circ$ con el desplazamiento:

   $W_F=20\cdot 25\cos 150^\circ\approx-433\ \mathrm{J}$

3. Teorema de la energía cinética: la suma de los trabajos es $\Delta E_c=-675$ J (apartado ii).

   $W_P+W_N+W_F+W_{F_r}=\Delta E_c$

4. Despejamos el trabajo del rozamiento:

   $W_{F_r}$${}= -675-(-433)$${}= -242\ \mathrm{J}$

5. De ahí, el módulo del rozamiento, opuesto al desplazamiento:

   $F_r=\dfrac{242}{25}\approx 9{,}68\ \mathrm{N}$

Planteamiento La velocidad de escape es la velocidad mínima con la que hay que lanzar un cuerpo desde la superficie para que se aleje indefinidamente del planeta. Solo actúa la gravedad, que es conservativa: la energía mecánica se conserva.

1. Energía mecánica en la superficie (radio $R$), lanzando el cuerpo de masa $m$ con velocidad $v_e$:

   $E_m=\tfrac{1}{2}m v_e^2-\dfrac{GMm}{R}$

2. Con la velocidad mínima, el cuerpo llega al infinito ($E_p=0$) con velocidad nula ($E_c=0$):

   $E_m(\infty)=0$

3. Igualamos las dos energías y despejamos:

   $\tfrac{1}{2}m v_e^2$${}= \dfrac{GMm}{R}$${}\Rightarrow v_e$${}= \sqrt{\dfrac{2GM}{R}}$

4. No depende de la masa del cuerpo, ni de la dirección del lanzamiento: solo de la masa y el radio del planeta.

   $v_e=\sqrt{2gR}$$g=\dfrac{GM}{R^2}$

Planteamiento Se aplica la expresión del apartado i a los dos astros y se divide.

1. Cociente de las velocidades de escape:

   $\dfrac{v_{e,T}}{v_{e,L}}$${}= \sqrt{\dfrac{M_T}{M_L}\cdot\dfrac{R_L}{R_T}}$

2. Con $M_T=81\,M_L$ y $R_T=3{,}67\,R_L$:

   $\dfrac{v_{e,T}}{v_{e,L}}$${}= \sqrt{\dfrac{81}{3{,}67}}$${}= \sqrt{22{,}07}$${}\approx 4{,}70$

Planteamiento En una órbita circular la fuerza gravitatoria es la fuerza centrípeta. El satélite estacionario tarda en dar una vuelta lo mismo que Júpiter en girar sobre sí mismo.

1. Periodo de rotación de Júpiter:

   $T_J$${}= 0{,}41\cdot 24\ \mathrm{h}$${}= 9{,}84\ \mathrm{h}$${}= 35\,424\ \mathrm{s}$

2. Gravedad igual a fuerza centrípeta, con $v=2\pi r/T$:

   $\dfrac{GM_Jm}{r^2}$${}= m\left(\dfrac{2\pi}{T_J}\right)^2 r$${}\Rightarrow r^3$${}= \dfrac{GM_JT_J^2}{4\pi^2}$

3. Producto $GM_J$:

   $GM_J$${}= 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 1{,}9\cdot 10^{27}$${}\approx 1{,}267\cdot 10^{17}\ \mathrm{m^3\,s^{-2}}$

4. Cubo del radio:

   $r^3$${}= \dfrac{1{,}267\cdot 10^{17}\cdot 35\,424^2}{4\pi^2}$${}\approx 4{,}028\cdot 10^{24}\ \mathrm{m^3}$

5. Radio orbital:

   $r$${}= \sqrt[3]{4{,}028\cdot 10^{24}}$${}\approx 1{,}59\cdot 10^{8}\ \mathrm{m}$

Planteamiento La expresión del apartado i vale para cualquier planeta: $r^3=GMT^2/(4\pi^2)$. Al dividir la de Júpiter entre la de la Tierra desaparecen $G$ y $4\pi^2$, y basta con los cocientes del enunciado.

1. Cociente de los radios:

   $\dfrac{r_J}{r_T}$${}= \sqrt[3]{\dfrac{M_J}{M_T}\left(\dfrac{T_J}{T_T}\right)^2}$

2. Con $M_J=318\,M_T$ y $T_J=0{,}41\,T_T$:

   $\dfrac{r_J}{r_T}$${}= \sqrt[3]{318\cdot 0{,}41^2}$${}= \sqrt[3]{53{,}46}$${}\approx 3{,}77$

Planteamiento El campo gravitatorio de cada masa apunta hacia ella. En un punto del segmento que las une, los dos campos tienen la misma dirección y sentidos opuestos, así que pueden anularse. Llamamos $M$ a la masa de la Vía Láctea, $1{,}5\,M$ a la de Andrómeda, y $r_V$ y $r_A$ a las distancias del punto a cada una.

1. Módulos de los dos campos en un punto entre las galaxias:

   $g_V=\dfrac{GM}{r_V^2}$$g_A=\dfrac{G\cdot 1{,}5\,M}{r_A^2}$

2. El campo total se anula si los dos módulos son iguales:

   $\dfrac{GM}{r_V^2}$${}= \dfrac{1{,}5\,GM}{r_A^2}$${}\Rightarrow \dfrac{r_A^2}{r_V^2}$${}= 1{,}5$

3. Relación entre las distancias:

   $\dfrac{r_A}{r_V}=\sqrt{1{,}5}\approx 1{,}22$

4. Sobre la recta que une las dos galaxias, fuera del segmento, los dos campos apuntan hacia el mismo lado y se suman: ahí no se anulan.

Planteamiento El potencial gravitatorio es una magnitud escalar: el total es la suma de los potenciales de las dos masas, y cada uno es negativo.

1. Potencial en un punto a distancias $r_V$ y $r_A$:

   $V=-\dfrac{GM}{r_V}-\dfrac{1{,}5\,GM}{r_A}$

2. Los dos términos son negativos a cualquier distancia finita, así que no pueden compensarse:

   $V<0\ \text{en todos los puntos}$

3. El potencial solo tiende a cero lejísimos de las dos galaxias:

   $V\to 0\ \text{si}\ r_V,\,r_A\to\infty$

Planteamiento El campo de cada masa en el origen apunta hacia ella; su módulo es $g=GM/r^2$. El campo total es la suma vectorial.

1. Campo de la masa de 3 kg, a 2 m, dirigido hacia A (sentido negativo del eje $Y$):

   $\vec g_A$${}= -\dfrac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 3}{2^2}\,\vec\jmath$${}\approx -5{,}00\cdot 10^{-11}\,\vec\jmath\ \mathrm{N\,kg^{-1}}$

2. Campo de la masa de 2 kg, a 3 m, dirigido hacia B (sentido positivo del eje $X$):

   $\vec g_B$${}= \dfrac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 2}{3^2}\,\vec\imath$${}\approx 1{,}48\cdot 10^{-11}\,\vec\imath\ \mathrm{N\,kg^{-1}}$

3. Campo total:

   $\vec g$${}= \vec g_A+\vec g_B$${}\approx (1{,}48\,\vec\imath-5{,}00\,\vec\jmath)\cdot 10^{-11}\ \mathrm{N\,kg^{-1}}$

4. Módulo:

   $|\vec g|$${}= \sqrt{1{,}482^2+5{,}003^2}\cdot 10^{-11}$${}\approx 5{,}22\cdot 10^{-11}\ \mathrm{N\,kg^{-1}}$