Ondas y sonido: ejercicios de la PAU de Física de Andalucía resueltos

Planteamiento Al pasar de un medio a otro la frecuencia de la onda no cambia: la impone el foco, y los puntos de la frontera oscilan al ritmo de la onda que les llega. Cambian la velocidad de propagación y la longitud de onda.

1. Velocidad de propagación en cada medio, con la misma frecuencia $f$:

   $v_1=\lambda_1f$$v_2=\lambda_2f$

2. Con $\lambda_2=\lambda_1/2$:

   $\frac{v_2}{v_1}=\frac{\lambda_2}{\lambda_1}=\frac{1}{2}$

Planteamiento La velocidad de oscilación de un punto del medio es la derivada de su elongación, $y=A\operatorname{sen}(\omega t-kx)$; su valor máximo, $A\omega$, depende de la amplitud y de la frecuencia, no de la velocidad de propagación.

1. Velocidad de oscilación:

   $v_y=\frac{\partial y}{\partial t}=A\omega\cos(\omega t-kx)$

2. Valor máximo en cada medio, con $\omega=2\pi f$ igual en los dos:

   $v_{y,\text{máx}}=A\omega=2\pi fA$

3. Con la misma amplitud y la misma frecuencia:

   $\frac{v_{2,\text{máx}}}{v_{1,\text{máx}}}=\frac{A\omega}{A\omega}=1$

Planteamiento La ecuación es el producto de una función de la posición por otra del tiempo; no aparece la combinación $kx\pm\omega t$, que es la marca de una onda que viaja.

1. Forma general de una onda estacionaria:

   $y(x,t)=2A\operatorname{sen}(kx)\cos(\omega t)$

2. Comparando con la ecuación de la cuerda:

   $2A=0{,}01\ \mathrm{m}$$k=10\pi\ \mathrm{rad\,m^{-1}}$$\omega=200\pi\ \mathrm{rad\,s^{-1}}$

Planteamiento Una onda estacionaria es la superposición de dos ondas armónicas iguales que viajan en sentidos opuestos, $y_1=A\operatorname{sen}(kx-\omega t)$ e $y_2=A\operatorname{sen}(kx+\omega t)$.

1. Suma de las dos ondas (identidad del seno de una suma más el seno de una diferencia):

   $y_1+y_2=2A\operatorname{sen}(kx)\cos(\omega t)$

2. Amplitud de cada onda, la mitad del coeficiente $0{,}01\ \mathrm{m}$:

   $A=\frac{0{,}01}{2}=5\cdot 10^{-3}\ \mathrm{m}$

3. Velocidad de propagación, con $k$ y $\omega$ del apartado i:

   $v=\frac{\omega}{k}=\frac{200\pi}{10\pi}=20\ \mathrm{m\,s^{-1}}$

Planteamiento La velocidad de oscilación es la derivada de $y$ respecto del tiempo, evaluada en $x=0{,}1\ \mathrm{m}$.

1. Derivada respecto del tiempo:

   $v_y$${}= \frac{\partial y}{\partial t}=$${}-0{,}01\cdot 200\pi\operatorname{sen}(10\pi x)\operatorname{sen}(200\pi t)$

2. En $x=10\ \mathrm{cm}=0{,}1\ \mathrm{m}$ el factor espacial se anula:

   $\operatorname{sen}(10\pi\cdot 0{,}1)=\operatorname{sen}\pi=0$

3. Por tanto, en cualquier instante:

   $v_y(0{,}1;\ t)=0$

4. Ese punto es un nodo. Los nodos están donde $\operatorname{sen}(10\pi x)=0$, cada media longitud de onda:

   $x=\frac{n\lambda}{2}=0{,}1n\ \mathrm{m}$$\lambda=\frac{2\pi}{k}=0{,}2\ \mathrm{m}$

Planteamiento Comparamos con la ecuación general de una onda armónica que viaja en el sentido positivo del eje $x$, $y=A\operatorname{sen}(kx-\omega t)$.

1. Identificación de la amplitud, el número de onda y la frecuencia angular:

   $A=0{,}6\ \mathrm{m}$$k=3{,}125\cdot 10^{-7}\ \mathrm{rad\,m^{-1}}$$\omega=1{,}25\cdot 10^{-3}\ \mathrm{rad\,s^{-1}}$

2. Longitud de onda:

   $\lambda$${}= \frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{3{,}125\cdot 10^{-7}}$${}\approx 2{,}01\cdot 10^{7}\ \mathrm{m}$

3. Frecuencia:

   $f$${}= \frac{\omega}{2\pi}=\frac{1{,}25\cdot 10^{-3}}{2\pi}$${}\approx 1{,}99\cdot 10^{-4}\ \mathrm{Hz}$

4. Velocidad de propagación:

   $v$${}= \frac{\omega}{k}=\frac{1{,}25\cdot 10^{-3}}{3{,}125\cdot 10^{-7}}$${}= 4\,000\ \mathrm{m\,s^{-1}}$

5. Ojo: la velocidad, $4\ \mathrm{km/s}$, es típica de las ondas S, pero con estos datos salen una longitud de onda de unos $20\,000\ \mathrm{km}$ (más de tres veces el radio de la Tierra) y un periodo de unos 84 minutos, valores muy distintos de los de una onda sísmica real. Hacemos las cuentas con los datos tal como vienen.

   $T=\frac{1}{f}\approx 5{,}03\cdot 10^{3}\ \mathrm{s}$

Planteamiento La perturbación avanza con la velocidad de propagación, que es constante. La velocidad de oscilación de las partículas es la derivada de $y$ respecto del tiempo, y su máximo es $A\omega$.

1. Tiempo que tarda en recorrer $400\ \mathrm{km}=4\cdot 10^{5}\ \mathrm{m}$, con la velocidad del apartado i:

   $t=\frac{d}{v}=\frac{4\cdot 10^{5}}{4\,000}=100\ \mathrm{s}$

2. Velocidad de oscilación de un punto del medio:

   $v_y$${}= \frac{\partial y}{\partial t}=$${}-0{,}6\cdot 1{,}25\cdot 10^{-3}\cos(kx-\omega t)$

3. Valor máximo:

   $v_{y,\text{máx}}$${}= A\omega=0{,}6\cdot 1{,}25\cdot 10^{-3}$${}= 7{,}5\cdot 10^{-4}\ \mathrm{m\,s^{-1}}$

Planteamiento Una onda armónica que avanza en el sentido negativo de OX se escribe $y(x,t)=A\sin(\omega t+kx+\varphi_0)$. Hay que calcular $\omega$ y $k$ con los datos y $\varphi_0$ con la condición inicial.

1. Frecuencia angular:

   $\omega=2\pi f=2\pi\cdot 5=10\pi\ \mathrm{rad\,s^{-1}}$

2. Longitud de onda y número de onda:

   $\lambda=\dfrac{v}{f}=\dfrac{0{,}5}{5}=0{,}1\ \mathrm{m}$$k=\dfrac{2\pi}{\lambda}=20\pi\ \mathrm{rad\,m^{-1}}$

3. En $x=0$ y $t=0$ el punto está en la posición más alta, $y=A$:

   $A\sin\varphi_0=A\ \Longrightarrow\ \varphi_0=\dfrac{\pi}{2}$

Planteamiento En un mismo instante, la fase de dos puntos de la cuerda difiere en $k\,\Delta x$.

1. Con $\Delta x=10\ \mathrm{cm}=0{,}1\ \mathrm{m}$:

   $\Delta\varphi=k\,\Delta x=20\pi\cdot 0{,}1=2\pi\ \mathrm{rad}$

Planteamiento Dos puntos están en oposición de fase cuando su diferencia de fase es $\pi$ rad (o un múltiplo impar de $\pi$); la menor distancia corresponde a $\pi$.

1. Imponemos $\Delta\varphi=\pi$:

   $k\,\Delta x=\pi\ \Longrightarrow\ \Delta x=\dfrac{\pi}{20\pi}=0{,}05\ \mathrm{m}$

2. Es media longitud de onda:

   $\Delta x=\dfrac{\lambda}{2}=\dfrac{0{,}1}{2}=0{,}05\ \mathrm{m}$

Planteamiento Comparando con $y=A\sin(\omega t-kx)$: $A=10$ m, $\omega=25\ \mathrm{rad\,s^{-1}}$ y $k=15\ \mathrm{rad\,m^{-1}}$. El signo menos entre los dos términos indica que la onda avanza en el sentido positivo de OX.

1. Velocidad de propagación:

   $v=\dfrac{\omega}{k}=\dfrac{25}{15}=1{,}67\ \mathrm{m\,s^{-1}}$

Planteamiento La velocidad de oscilación de un punto de la cuerda es la derivada de $y$ respecto al tiempo con $x$ fijo. El ángulo se calcula en radianes.

1. Derivamos:

   $v_y$${}= \dfrac{\partial y}{\partial t}$${}= 10\cdot 25\cos(25t-15x)$${}= 250\cos(25t-15x)$

2. En $x=0$ y $t=5$ s la fase vale $125$ rad:

   $v_y$${}= 250\cos(125\ \mathrm{rad})$${}= 250\cdot 0{,}788$${}= 197\ \mathrm{m\,s^{-1}}$

3. Ojo: con estos datos la amplitud (10 m) es mucho mayor que la longitud de onda (unos $0{,}42$ m), así que el punto oscila a casi $200\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ mientras la onda avanza a menos de $2\ \mathrm{m\,s^{-1}}$. Es un resultado de cálculo, no una situación físicamente realista.

   $\lambda=\dfrac{2\pi}{k}=0{,}42\ \mathrm{m}\ll A=10\ \mathrm{m}$

Planteamiento En un mismo instante, la diferencia de fase entre dos puntos es $k\,\Delta x$.

1. Con $\Delta x=2$ m:

   $\Delta\varphi=k\,\Delta x=15\cdot 2=30\ \mathrm{rad}$

2. Quitando las vueltas completas ($4\cdot 2\pi$):

   $30-8\pi=4{,}87\ \mathrm{rad}$

Planteamiento Se deriva la ecuación de una onda armónica, $y(x,t)=A\operatorname{sen}(\omega t-kx)$, con respecto al tiempo para obtener la velocidad y la aceleración de oscilación de cada punto.

1. Velocidad de oscilación y su valor máximo:

   $v$${}= \dfrac{\partial y}{\partial t}$${}= A\omega\cos(\omega t-kx)$${}\Rightarrow v_{\text{máx}}$${}= A\omega$

2. Aceleración de oscilación y su valor máximo:

   $a$${}= \dfrac{\partial v}{\partial t}$${}= -A\omega^2\operatorname{sen}(\omega t-kx)$${}\Rightarrow a_{\text{máx}}$${}= A\omega^2$

3. Si se duplica la amplitud y el periodo no cambia, $\omega=2\pi/T$ tampoco cambia. Velocidad máxima:

   $v_{\text{máx}}'=(2A)\,\omega=2\,v_{\text{máx}}$

4. Aceleración máxima:

   $a_{\text{máx}}'=(2A)\,\omega^2=2\,a_{\text{máx}}$

Planteamiento Se usan las expresiones del apartado i, $v_{\text{máx}}=A\omega$ y $a_{\text{máx}}=A\omega^2$, con $\omega=2\pi f$.

1. Si se duplica la frecuencia, se duplica la frecuencia angular:

   $\omega'=2\pi(2f)=2\omega$

2. Velocidad máxima:

   $v_{\text{máx}}'=A\,(2\omega)=2\,v_{\text{máx}}$

3. Aceleración máxima: depende del cuadrado de $\omega$.

   $a_{\text{máx}}'=A\,(2\omega)^2=4\,a_{\text{máx}}$

Planteamiento Se compara con la forma general $y=A\cos(kx+\omega t+\varphi_0)$: el número de onda multiplica a $x$ y la frecuencia angular a $t$.

1. Frecuencia angular y número de onda:

   $\omega=0{,}25\pi\ \mathrm{rad\,s^{-1}}$$k=0{,}2\pi\ \mathrm{rad\,m^{-1}}$

2. Frecuencia:

   $f=\dfrac{\omega}{2\pi}=\dfrac{0{,}25\pi}{2\pi}=0{,}125\ \mathrm{Hz}$

3. Longitud de onda:

   $\lambda=\dfrac{2\pi}{k}=\dfrac{2\pi}{0{,}2\pi}=10\ \mathrm{m}$

Planteamiento La velocidad de propagación es el cociente entre la frecuencia angular y el número de onda. El sentido lo da el signo relativo de los términos en $x$ y en $t$.

1. Velocidad de propagación:

   $v$${}= \dfrac{\omega}{k}$${}= \dfrac{0{,}25\pi}{0{,}2\pi}$${}= 1{,}25\ \mathrm{m\,s^{-1}}$

2. Los términos $kx$ y $\omega t$ tienen el mismo signo: la fase $0{,}2\pi(x+1{,}25\,t)+\pi$ se mantiene si $x$ disminuye al pasar el tiempo.

   $x+1{,}25\,t$${}= \text{cte}$${}\Rightarrow \dfrac{dx}{dt}$${}= -1{,}25\ \mathrm{m\,s^{-1}}$

Planteamiento Se deriva la elongación con respecto al tiempo.

1. Velocidad de oscilación:

   $v_y$${}= \dfrac{\partial y}{\partial t}$${}= -0{,}2\cdot 0{,}25\pi\operatorname{sen}(0{,}2\pi\,x+0{,}25\pi\,t+\pi)$

2. Su valor máximo es $A\omega$:

   $v_{\text{máx}}$${}= A\omega=0{,}2\cdot 0{,}25\pi$${}= 0{,}05\pi$${}\approx 0{,}157\ \mathrm{m\,s^{-1}}$

Planteamiento Las ondas se clasifican según la dirección en la que oscilan las partículas del medio (o el campo) con respecto a la dirección en la que se propaga la onda.

1. Ondas longitudinales: la oscilación tiene la misma dirección que la propagación. El medio se comprime y se dilata a lo largo de la dirección de avance.

   $\vec{u}_{\text{oscilación}}\parallel\vec{v}_{\text{propagación}}$

2. Ejemplo: el sonido en el aire. Las moléculas oscilan hacia delante y hacia atrás en la dirección en que avanza el sonido, formando compresiones y enrarecimientos.

   $v_{\text{sonido, aire}}\approx 340\ \mathrm{m\,s^{-1}}$

3. Ondas transversales: la oscilación es perpendicular a la propagación. Se forman crestas y valles.

   $\vec{u}_{\text{oscilación}}\perp\vec{v}_{\text{propagación}}$

4. Ejemplo: una onda en una cuerda tensa, cuyos puntos suben y bajan mientras la onda avanza a lo largo de ella. También la luz, en la que oscilan los campos eléctrico y magnético, perpendiculares a la dirección de propagación.

   $y(x,t)=A\operatorname{sen}(\omega t-kx)$

5. Otras diferencias: solo las transversales se pueden polarizar. Las mecánicas longitudinales se propagan en sólidos, líquidos y gases; las mecánicas transversales necesitan un sólido o la superficie de un líquido.

   $\text{polarización: solo transversales}$

Planteamiento La onda avanza una longitud de onda en cada periodo.

1. Longitud de onda:

   $\lambda=v\,T=0{,}5\cdot 2=1\ \mathrm{m}$

Planteamiento Una onda armónica que avanza en el sentido positivo del eje $X$ tiene la forma $y=A\cos(\omega t-kx+\varphi_0)$. La fase inicial sale de la condición en la boya.

1. Frecuencia angular:

   $\omega=\dfrac{2\pi}{T}=\pi\ \mathrm{rad\,s^{-1}}$

2. Número de onda:

   $k=\dfrac{2\pi}{\lambda}=2\pi\ \mathrm{rad\,m^{-1}}$

3. En $t=0$ la boya, en $x=10$ m, está en su altura máxima, $y=A$:

   $\cos(-2\pi\cdot 10+\varphi_0)$${}= 1$${}\Rightarrow \varphi_0-20\pi=0$

4. Como $20\pi$ es un número entero de vueltas, la fase inicial es nula:

   $\varphi_0=20\pi\equiv 0$

5. Ecuación de la onda:

   $y(x,t)=0{,}4\cos(\pi t-2\pi x)\ \mathrm{m}$

Planteamiento La velocidad de oscilación de la boya es la derivada de la elongación con respecto al tiempo.

1. Velocidad de oscilación:

   $v_y=\dfrac{\partial y}{\partial t}=-0{,}4\pi\operatorname{sen}(\pi t-2\pi x)$

2. Valor máximo:

   $v_{\text{máx}}=A\omega=0{,}4\pi\approx 1{,}26\ \mathrm{m\,s^{-1}}$