Campo magnético: ejercicios de la PAU de Física de Andalucía resueltos

Planteamiento El hilo crea un campo de módulo $B=\dfrac{\mu_0I}{2\pi r}$, que solo depende de la distancia $r$ al hilo; sus líneas son circunferencias alrededor del hilo, de modo que en el plano de la espira el campo es perpendicular a ese plano. Hay corriente inducida solo si el flujo cambia.

1. Campo creado por el hilo a una distancia $r$:

   $B(r)=\frac{\mu_0I}{2\pi r}$

2. Flujo a través de la espira, sumando franjas de anchura $dr$ y altura $a$, con el lado más cercano a la distancia $x$ del hilo:

   $\Phi(x)$${}= \int_x^{x+a}\frac{\mu_0I}{2\pi r}\,a\,dr$${}= \frac{\mu_0Ia}{2\pi}\ln\frac{x+a}{x}$

3. Si la espira se mueve paralela al hilo, $x=d$ no cambia y el flujo es constante:

   $\varepsilon=-\frac{d\Phi}{dt}=0$

Planteamiento Al alejarse, la espira pasa a zonas de campo más débil y el flujo disminuye. Por la ley de Lenz, la corriente inducida crea un campo que se opone a esa disminución.

1. La distancia al hilo crece con el tiempo, $x=d+vt$. Derivando el flujo del apartado i con la regla de la cadena:

   $\frac{d\Phi}{dt}=\frac{\mu_0Ia}{2\pi}\left(\frac{1}{x+a}-\frac{1}{x}\right)v<0$

2. Fuerza electromotriz inducida (ley de Faraday):

   $\varepsilon=-\frac{d\Phi}{dt}=\frac{\mu_0Ia^2v}{2\pi x(x+a)}$

3. Sentido (ver esquema, con la corriente del hilo hacia arriba y la espira a su derecha): el campo del hilo entra en el papel en la zona de la espira y su flujo disminuye. La corriente inducida crea un campo hacia dentro del papel en el interior de la espira, para compensar la pérdida, y para eso circula en sentido horario.

   $\Phi\downarrow$${}\Rightarrow \vec B_{\text{ind}}\ \otimes$${}\Rightarrow \text{sentido horario}$

4. Comprobación: en el lado de la espira más cercano al hilo, la corriente inducida va en el mismo sentido que la del hilo; corrientes paralelas del mismo sentido se atraen, y esa atracción se opone al alejamiento, como exige la ley de Lenz.

   $I_{\text{ind}}\uparrow\uparrow I\ \Rightarrow\ \text{atracción}$

ResultadoSí se induce corriente, porque el flujo disminuye. Circula de modo que, en el lado de la espira más cercano al hilo, va en el mismo sentido que $I$: sentido horario con el hilo a la izquierda y su corriente hacia arriba. Su valor disminuye a medida que la espira se aleja.

Planteamiento Con la velocidad perpendicular al campo, la fuerza de Lorentz $\vec F=q\,\vec v\times\vec B$ es perpendicular a la velocidad y de módulo constante: no cambia el módulo de la velocidad, solo su dirección, y la partícula describe una circunferencia. Esa fuerza es la centrípeta.

1. Módulo de la fuerza magnética con $\vec v\perp\vec B$:

   $F=|q|\,vB\sin 90^\circ=|q|\,vB$

2. La fuerza magnética es la fuerza centrípeta:

   $|q|\,vB=\dfrac{mv^2}{R}$

3. Despejamos el radio:

   $R=\dfrac{mv}{|q|\,B}$

Planteamiento El periodo es el tiempo de una vuelta completa, $T=\dfrac{2\pi R}{v}$. Con el radio del apartado anterior la velocidad se simplifica.

1. Periodo de una partícula:

   $T=\dfrac{2\pi R}{v}=\dfrac{2\pi m}{|q|\,B}$

2. Datos: $m_1=20\,m_2$ y $|q_1|=\dfrac{|q_2|}{2}$; el campo es el mismo para las dos.

   $\dfrac{T_1}{T_2}$${}= \dfrac{m_1}{|q_1|}\cdot\dfrac{|q_2|}{m_2}$

3. Sustituimos:

   $\dfrac{T_1}{T_2}$${}= \dfrac{20\,m_2}{|q_2|/2}\cdot\dfrac{|q_2|}{m_2}$${}= 40$

Planteamiento Cada conductor crea un campo de módulo $B=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi d}$, con líneas circulares a su alrededor; el sentido lo da la regla de la mano derecha (pulgar en el sentido de la corriente). Con la corriente hacia $+z$, $\vec B=B\,(\vec k\times\vec u_r)$, con $\vec u_r$ el unitario que va del conductor al punto.

1. Conductor 1, en A: está a 2 m de C, $\vec u_r=\vec\jmath$ y $\vec k\times\vec\jmath=-\vec\imath$.

   $B_1$${}= \dfrac{4\pi\cdot 10^{-7}\cdot 1}{2\pi\cdot 2}$${}= 1\cdot 10^{-7}\ \mathrm{T}$$\vec B_1=-1\cdot 10^{-7}\,\vec\imath\ \mathrm{T}$

2. Conductor 2, en B: está a 1 m de C, $\vec u_r=-\vec\jmath$ y $\vec k\times(-\vec\jmath)=\vec\imath$.

   $B_2$${}= \dfrac{4\pi\cdot 10^{-7}\cdot 2}{2\pi\cdot 1}$${}= 4\cdot 10^{-7}\ \mathrm{T}$$\vec B_2=4\cdot 10^{-7}\,\vec\imath\ \mathrm{T}$

3. Campo total:

   $\vec B$${}= \vec B_1+\vec B_2$${}= (-1+4)\cdot 10^{-7}\,\vec\imath$${}= 3\cdot 10^{-7}\,\vec\imath\ \mathrm{T}$

Resultado$\vec B_C=3\cdot 10^{-7}\,\vec\imath\ \mathrm{T}$ (esquema en la figura).

Planteamiento Dos corrientes paralelas del mismo sentido se atraen. La fuerza por unidad de longitud que el conductor 1 ejerce sobre el 2 es $\dfrac{F}{L}=I_2\,B_1$, con $B_1$ el campo del conductor 1 a la distancia que los separa, $d=3$ m.

1. Campo del conductor 1 en la posición del conductor 2:

   $B_1(3\ \mathrm{m})$${}= \dfrac{4\pi\cdot 10^{-7}\cdot 1}{2\pi\cdot 3}$${}= 6{,}67\cdot 10^{-8}\ \mathrm{T}$

2. Fuerza por unidad de longitud:

   $\dfrac{F}{L}$${}= I_2\,B_1$${}= 2\cdot 6{,}67\cdot 10^{-8}$${}= 1{,}33\cdot 10^{-7}\ \mathrm{N\,m^{-1}}$

3. Dirección: $\vec F=I_2\,\vec L\times\vec B_1$. En B el campo del conductor 1 es $-\vec\imath$ y $\vec k\times(-\vec\imath)=-\vec\jmath$, hacia el conductor 1.

   $\dfrac{\vec F}{L}=-1{,}33\cdot 10^{-7}\,\vec\jmath\ \mathrm{N\,m^{-1}}$

Planteamiento Sobre el electrón (carga $q=-e$) actúan la fuerza eléctrica $q\vec E$ y la fuerza magnética $q\,\vec v\times\vec B$ (fuerza de Lorentz). Para que siga en línea recta con la misma velocidad, la fuerza total tiene que ser nula.

1. Fuerza de Lorentz total:

   $\vec F$${}= q\left(\vec E+\vec v\times\vec B\right)$${}= \vec 0$${}\Rightarrow \vec E=-\vec v\times\vec B$

2. Las dos fuerzas tienen que tener la misma dirección y sentidos opuestos. La velocidad tiene que ser perpendicular a los dos campos: así $\vec v\times\vec B$ es paralelo a $\vec E$.

   $\vec v\perp\vec E$$\vec v\perp\vec B$

3. Igualando los módulos ($\operatorname{sen}90^\circ=1$):

   $|q|E=|q|\,v\,B\ \Rightarrow\ v=\dfrac{E}{B}$

4. El sentido de la velocidad es el de $\vec E\times\vec B$. La condición no depende de la carga ni de la masa: el signo de la carga cambia el sentido de las dos fuerzas a la vez.

   $\vec v=\dfrac{\vec E\times\vec B}{B^2}$

Planteamiento Cada hilo crea un campo de módulo $B=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$, con líneas circulares a su alrededor (regla de la mano derecha). El campo total solo puede anularse en el plano de los dos hilos, donde los dos campos tienen la misma dirección. Hilo 1: $I_1=1$ A; hilo 2: $I_2=3$ A.

1. Con corrientes en el mismo sentido, los dos campos son opuestos entre los hilos y del mismo sentido fuera: el cero está entre ellos, a una distancia $x$ del hilo 1.

   $\dfrac{\mu_0 I_1}{2\pi x}$${}= \dfrac{\mu_0 I_2}{2\pi(2-x)}$

2. Simplificamos $\mu_0/2\pi$ y sustituimos:

   $\dfrac{1}{x}=\dfrac{3}{2-x}\ \Rightarrow\ 2-x=3x$

3. Distancia al hilo 1:

   $x=0{,}5\ \mathrm{m}$

ResultadoA $0{,}5$ m del primer hilo, entre los dos hilos (a $1{,}5$ m del segundo). Está más cerca del hilo de menor corriente (esquema en la figura).

Planteamiento Con corrientes opuestas, entre los hilos los dos campos tienen el mismo sentido y se suman. Fuera, son opuestos: el cero está fuera, del lado del hilo de menor corriente, a una distancia $x$ del hilo 1 y $x+2$ del hilo 2.

1. Igualamos los módulos:

   $\dfrac{\mu_0 I_1}{2\pi x}$${}= \dfrac{\mu_0 I_2}{2\pi(x+2)}$

2. Simplificamos y sustituimos:

   $\dfrac{1}{x}=\dfrac{3}{x+2}\ \Rightarrow\ x+2=3x$

3. Distancia al hilo 1:

   $x=1\ \mathrm{m}$

4. Al otro lado, junto al hilo 2, no hay cero: allí domina siempre el campo del hilo 2, que está más cerca y lleva más corriente.

   $\dfrac{3}{y}>\dfrac{1}{y+2}\ \text{para todo}\ y>0$

ResultadoA 1 m del primer hilo, por fuera de los dos hilos y del lado del primero (a 3 m del segundo; esquema en la figura). El valor de $\mu_0$ no hace falta: se simplifica.

Planteamiento Cada hilo crea un campo de módulo $B=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$, con líneas circulares alrededor del hilo y sentido dado por la regla de la mano derecha. Entre los dos hilos los dos campos se suman vectorialmente. Dibujamos los hilos perpendiculares al papel, separados una distancia $d$, y llamamos $x$ a la distancia de un punto del segmento al hilo 1.

1. Con las dos corrientes saliendo del papel, entre los hilos el campo del hilo 1 apunta hacia arriba y el del hilo 2 hacia abajo (figura): tienen sentidos opuestos. Tomando positivo hacia arriba:

   $B$${}= \dfrac{\mu_0 I}{2\pi x}$${}-\dfrac{\mu_0 I}{2\pi (d-x)}$

2. El campo total se anula cuando los dos módulos son iguales:

   $\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{d-x}\ \Longrightarrow\ x=\dfrac{d}{2}$

ResultadoSí: con las corrientes en el mismo sentido, los campos de los dos hilos son opuestos entre ellos y el campo total se anula en el punto medio, a $\dfrac{d}{2}$ de cada hilo.

Planteamiento Con el mismo esquema, ahora la corriente del hilo 2 entra en el papel.

1. Al invertir la corriente del hilo 2, su campo entre los hilos cambia de sentido y apunta hacia arriba, como el del hilo 1 (figura):

   $B$${}= \dfrac{\mu_0 I}{2\pi x}$${}+\dfrac{\mu_0 I}{2\pi (d-x)}$

2. Los dos términos son positivos en todo el segmento $0<x<d$. El mínimo está en el punto medio y no es cero:

   $B_{\text{mín}}$${}= B\left(\dfrac{d}{2}\right)$${}= \dfrac{2\mu_0 I}{\pi d}$${}> 0$

ResultadoNo: con las corrientes en sentidos opuestos, los dos campos tienen el mismo sentido entre los hilos y se suman, así que el campo no se anula en ningún punto entre ellos (su valor mínimo, en el punto medio, es $\dfrac{2\mu_0 I}{\pi d}$).

Planteamiento El hilo 1 crea en el hilo 2 un campo $\vec B_1$, y sobre un tramo de longitud $L$ del hilo 2 actúa la fuerza $\vec F_{12}=I\,\vec L\times\vec B_1$ (y al revés). Dibujamos los hilos perpendiculares al papel: el 1 a la izquierda y el 2 a la derecha, con las dos corrientes saliendo del papel, en el sentido de $\vec k$.

1. Por la regla de la mano derecha, el campo del hilo 1 en la posición del hilo 2 apunta hacia arriba:

   $\vec B_1=B_1\,\vec j$

2. Fuerza sobre el tramo $L$ del hilo 2:

   $\vec F_{12}$${}= I\,L\,\vec k\times B_1\,\vec j$${}= -I\,L\,B_1\,\vec i$

3. La fuerza apunta hacia el hilo 1: se atraen. Por la tercera ley de Newton, el hilo 1 sufre una fuerza igual y opuesta, hacia el hilo 2. Si una de las corrientes cambiara de sentido, cambiaría el signo del producto vectorial y los hilos se repelerían.

   $\vec F_{21}=-\vec F_{12}$

ResultadoSí, las corrientes tienen el mismo sentido: dos corrientes paralelas del mismo sentido se atraen y de sentidos opuestos se repelen. En el esquema, el campo de cada hilo en el otro es perpendicular al plano que forman los dos hilos y la fuerza sobre cada hilo apunta hacia el otro.

Planteamiento La fuerza por unidad de longitud entre dos hilos paralelos separados $d$ es $\dfrac{F}{L}=\dfrac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}$, y aquí $I_1=I_2=I$.

1. Despejamos $I^2$, con $d=0{,}20\ \mathrm{m}$:

   $I^2$${}= \dfrac{2\pi d}{\mu_0}\cdot\dfrac{F}{L}$${}= \dfrac{2\pi\cdot 0{,}20}{4\pi\cdot 10^{-7}}\cdot 5\cdot 10^{-8}$

2. Se simplifica $\pi$:

   $I^2$${}= \dfrac{0{,}20\cdot 5\cdot 10^{-8}}{2\cdot 10^{-7}}$${}= 0{,}05\ \mathrm{A^2}$

3. Intensidad:

   $I=\sqrt{0{,}05}\approx 0{,}22\ \mathrm{A}$