Inducción electromagnética: ejercicios de la PAU de Física de Andalucía resueltos

Planteamiento El flujo de un campo a través de una superficie depende del ángulo entre el campo y la superficie, no solo del módulo del campo.

1. Flujo de un campo uniforme a través de una superficie plana, con $\theta$ el ángulo entre $\vec B$ y el vector superficie $\vec S$ (perpendicular a la superficie):

   $\Phi=\vec B\cdot\vec S=BS\cos\theta$

2. Si las líneas de campo son paralelas a la superficie, $\vec B$ es perpendicular a $\vec S$ y el flujo es cero aunque $B$ no lo sea.

   $\theta=90^\circ\ \Rightarrow\ \Phi=BS\cos 90^\circ=0$

3. Ejemplo: una espira de $0{,}01\ \mathrm{m^2}$ con su plano paralelo a un campo de $0{,}5\ \mathrm{T}$.

   $\Phi=0{,}5\cdot 0{,}01\cdot\cos 90^\circ=0$

4. Otro caso: a través de cualquier superficie cerrada el flujo magnético es siempre nulo (las líneas de campo magnético son cerradas: todas las que entran, salen), haya o no campo.

   $\oint\vec B\cdot d\vec S=0$

Planteamiento La ley de Faraday-Lenz relaciona la fuerza electromotriz inducida con la variación del flujo con el tiempo, no con su valor.

1. Ley de Faraday-Lenz:

   $\varepsilon=-\frac{d\Phi}{dt}$

2. Si el flujo es distinto de cero pero constante (por ejemplo, un imán quieto frente a una espira quieta), su derivada es nula.

   $\Phi=\Phi_0\neq 0\ \text{constante}\ \Rightarrow\ \varepsilon=0$

3. Y al revés: con $\Phi=\Phi_0\cos(\omega t)$ el flujo es nulo en $\omega t=\pi/2$, y justo entonces la fuerza electromotriz es máxima.

   $\varepsilon=\Phi_0\,\omega\operatorname{sen}(\omega t)=\Phi_0\,\omega$

Planteamiento Al girar la espira, el ángulo entre $\vec B$ y el vector superficie cambia con el tiempo, $\theta=\omega t$; con esta elección el flujo es máximo en $t=0$. Hay que pasar el área a $\mathrm{m^2}$ y las revoluciones por minuto a $\mathrm{rad\,s^{-1}}$.

1. Área en unidades del SI:

   $S$${}= 40\ \mathrm{cm^2}$${}= 40\cdot 10^{-4}\ \mathrm{m^2}$${}= 4\cdot 10^{-3}\ \mathrm{m^2}$

2. Velocidad angular: cada vuelta son $2\pi$ rad y cada minuto, 60 s.

   $\omega$${}= 1\,500\cdot\frac{2\pi}{60}$${}= 50\pi\ \mathrm{rad\,s^{-1}}$${}\approx 157\ \mathrm{rad\,s^{-1}}$

3. Flujo máximo, cuando la espira es perpendicular al campo:

   $\Phi_0$${}= BS=0{,}25\cdot 4\cdot 10^{-3}$${}= 10^{-3}\ \mathrm{Wb}$

4. Flujo en función del tiempo, máximo en $t=0$:

   $\Phi(t)$${}= BS\cos(\omega t)$${}= 10^{-3}\cos(50\pi t)\ \mathrm{Wb}$

Planteamiento Por la ley de Faraday-Lenz, la fuerza electromotriz es menos la derivada del flujo; la intensidad sale de la ley de Ohm.

1. Ley de Faraday-Lenz aplicada al flujo del apartado i:

   $\varepsilon(t)=-\frac{d\Phi}{dt}=BS\omega\operatorname{sen}(\omega t)$

2. Valor máximo de la fuerza electromotriz, con $BS=10^{-3}\ \mathrm{Wb}$ y $\omega=50\pi\ \mathrm{rad\,s^{-1}}$:

   $\varepsilon_0$${}= BS\omega$${}= 10^{-3}\cdot 50\pi$${}= 0{,}05\pi$${}\approx 0{,}157\ \mathrm{V}$

3. Fuerza electromotriz en función del tiempo:

   $\varepsilon(t)=0{,}157\operatorname{sen}(50\pi t)\ \mathrm{V}$

4. Ley de Ohm, con $R=10\ \Omega$:

   $I(t)$${}= \frac{\varepsilon(t)}{R}$${}= \frac{0{,}157}{10}\operatorname{sen}(50\pi t)$${}\approx 1{,}57\cdot 10^{-2}\operatorname{sen}(50\pi t)\ \mathrm{A}$

5. El seno cambia de signo cada media vuelta, así que la corriente cambia de sentido periódicamente. Su frecuencia es la del giro:

   $f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{50\pi}{2\pi}=25\ \mathrm{Hz}$

Planteamiento El hilo crea un campo de módulo $B=\dfrac{\mu_0I}{2\pi r}$, que solo depende de la distancia $r$ al hilo; sus líneas son circunferencias alrededor del hilo, de modo que en el plano de la espira el campo es perpendicular a ese plano. Hay corriente inducida solo si el flujo cambia.

1. Campo creado por el hilo a una distancia $r$:

   $B(r)=\frac{\mu_0I}{2\pi r}$

2. Flujo a través de la espira, sumando franjas de anchura $dr$ y altura $a$, con el lado más cercano a la distancia $x$ del hilo:

   $\Phi(x)$${}= \int_x^{x+a}\frac{\mu_0I}{2\pi r}\,a\,dr$${}= \frac{\mu_0Ia}{2\pi}\ln\frac{x+a}{x}$

3. Si la espira se mueve paralela al hilo, $x=d$ no cambia y el flujo es constante:

   $\varepsilon=-\frac{d\Phi}{dt}=0$

Planteamiento Al alejarse, la espira pasa a zonas de campo más débil y el flujo disminuye. Por la ley de Lenz, la corriente inducida crea un campo que se opone a esa disminución.

1. La distancia al hilo crece con el tiempo, $x=d+vt$. Derivando el flujo del apartado i con la regla de la cadena:

   $\frac{d\Phi}{dt}=\frac{\mu_0Ia}{2\pi}\left(\frac{1}{x+a}-\frac{1}{x}\right)v<0$

2. Fuerza electromotriz inducida (ley de Faraday):

   $\varepsilon=-\frac{d\Phi}{dt}=\frac{\mu_0Ia^2v}{2\pi x(x+a)}$

3. Sentido (ver esquema, con la corriente del hilo hacia arriba y la espira a su derecha): el campo del hilo entra en el papel en la zona de la espira y su flujo disminuye. La corriente inducida crea un campo hacia dentro del papel en el interior de la espira, para compensar la pérdida, y para eso circula en sentido horario.

   $\Phi\downarrow$${}\Rightarrow \vec B_{\text{ind}}\ \otimes$${}\Rightarrow \text{sentido horario}$

4. Comprobación: en el lado de la espira más cercano al hilo, la corriente inducida va en el mismo sentido que la del hilo; corrientes paralelas del mismo sentido se atraen, y esa atracción se opone al alejamiento, como exige la ley de Lenz.

   $I_{\text{ind}}\uparrow\uparrow I\ \Rightarrow\ \text{atracción}$

ResultadoSí se induce corriente, porque el flujo disminuye. Circula de modo que, en el lado de la espira más cercano al hilo, va en el mismo sentido que $I$: sentido horario con el hilo a la izquierda y su corriente hacia arriba. Su valor disminuye a medida que la espira se aleja.

Planteamiento El campo es perpendicular a la espira, así que el flujo es $\Phi=B(t)\,S$; la fuerza electromotriz es menos su derivada (ley de Faraday-Lenz).

1. Área de la espira, con $r=0{,}12\ \mathrm{m}$:

   $S$${}= \pi r^2$${}= \pi\cdot 0{,}12^2$${}\approx 4{,}52\cdot 10^{-2}\ \mathrm{m^2}$

2. Frecuencia angular, con $f=25\cdot 10^{3}\ \mathrm{Hz}$:

   $\omega$${}= 2\pi f$${}= 2\pi\cdot 25\cdot 10^{3}$${}= 5\pi\cdot 10^{4}\ \mathrm{rad\,s^{-1}}$

3. Flujo magnético a través de la espira:

   $\Phi(t)$${}= B(t)\,S$${}= 1{,}2\cdot 10^{-3}\cdot 4{,}52\cdot 10^{-2}\operatorname{sen}(\omega t)$${}\approx 5{,}43\cdot 10^{-5}\operatorname{sen}(\omega t)\ \mathrm{Wb}$

4. Ley de Faraday-Lenz:

   $\varepsilon(t)=-\frac{d\Phi}{dt}=-B_0S\omega\cos(\omega t)$

5. Amplitud de la fuerza electromotriz:

   $\varepsilon_0$${}= B_0S\omega$${}= 5{,}43\cdot 10^{-5}\cdot 5\pi\cdot 10^{4}$${}\approx 8{,}53\ \mathrm{V}$

Planteamiento La intensidad sale de la ley de Ohm con la fuerza electromotriz del apartado i.

1. Ley de Ohm, con $R=0{,}4\ \Omega$:

   $I(t)$${}= \frac{\varepsilon(t)}{R}$${}= -\frac{8{,}53}{0{,}4}\cos(\omega t)$${}\approx -21{,}3\cos\left(5\pi\cdot 10^{4}\,t\right)\ \mathrm{A}$

2. Valor máximo:

   $I_{\text{máx}}=\frac{\varepsilon_0}{R}=\frac{8{,}53}{0{,}4}\approx 21{,}3\ \mathrm{A}$

Planteamiento La intensidad máxima es proporcional a la frecuencia: $I_{\text{máx}}=\dfrac{B_0S\cdot 2\pi f}{R}$.

1. Si la frecuencia pasa a $f/10$, con $B_0$, $S$ y $R$ iguales:

   $I'_{\text{máx}}$${}= \frac{B_0S\cdot 2\pi(f/10)}{R}$${}= \frac{I_{\text{máx}}}{10}$${}\approx 2{,}13\ \mathrm{A}$

Planteamiento Al moverse el lado móvil cambia el área de la espira y, con ella, el flujo magnético. Por la ley de Faraday, la fuerza electromotriz inducida es la rapidez con que cambia el flujo.

1. Llamamos $x$ a la distancia del lado móvil al lado fijo de la derecha, que cierra la espira. En el esquema el lado móvil se acerca a él, así que $x$ disminuye con $\dfrac{dx}{dt}=-v$.

   $\Phi=B\,S=B\,a\,x$

2. Ley de Faraday:

   $\varepsilon=-\dfrac{d\Phi}{dt}=-B\,a\,\dfrac{dx}{dt}=B\,a\,v$

3. Sustituimos:

   $|\varepsilon|=2\cdot 0{,}15\cdot 0{,}2=0{,}06\ \mathrm{V}$

Planteamiento Ley de Ohm para la espira.

1. Intensidad:

   $I$${}= \dfrac{|\varepsilon|}{R}$${}= \dfrac{0{,}06}{50}$${}= 1{,}2\cdot 10^{-3}\ \mathrm{A}$

Planteamiento Ley de Lenz: la corriente inducida crea un campo que se opone a la variación del flujo.

1. El campo sale del papel y el área de la espira disminuye, así que el flujo saliente disminuye:

   $\dfrac{d\Phi}{dt}=-B\,a\,v<0$

2. Para oponerse a esa disminución, el campo inducido dentro de la espira tiene que salir del papel, como $\vec B$.

   $\vec B_{\text{ind}}\ \text{saliente}\ (\odot)$

3. Por la regla de la mano derecha, una corriente que crea un campo saliente en su interior recorre la espira en sentido antihorario. Lo confirma la fuerza sobre las cargas positivas del lado móvil, que las empuja hacia abajo:

   $\vec F$${}= q\,\vec v\times\vec B$${}= q\,v\,\vec\imath\times B\,\vec k$${}= -q\,vB\,\vec\jmath$

ResultadoLa corriente inducida circula en sentido antihorario: baja por el lado móvil y sube por el lado fijo de la derecha. El campo inducido dentro de la espira sale del papel (figura).

Planteamiento El flujo magnético a través de una superficie plana en un campo uniforme es $\Phi=\vec B\cdot\vec S=B\,S\cos\theta$, con $\theta$ el ángulo entre el campo y el vector superficie, que es perpendicular a ella.

1. Flujo:

   $\Phi=B\,S\cos\theta$

2. Si el campo es paralelo a la superficie, $\theta=90^\circ$ y el flujo es nulo aunque haya campo:

   $\Phi=B\,S\cos 90^\circ=0\quad\text{con}\ B\neq 0$

3. Por eso un flujo nulo no implica campo nulo: también ocurre si entran por la superficie tantas líneas de campo como salen.

   $\Phi=0\ \not\Longrightarrow\ B=0$

Planteamiento Por la ley de Faraday, la fuerza electromotriz inducida depende de la rapidez con que cambia el flujo, no de su valor.

1. Ley de Faraday y Lenz:

   $\varepsilon=-\dfrac{d\Phi}{dt}$

2. Un flujo muy grande pero constante no induce nada:

   $\Phi=\text{cte}\ \Longrightarrow\ \varepsilon=0$

3. Y un flujo pequeño que cambia muy deprisa puede inducir una fuerza electromotriz grande.

   $\left|\dfrac{d\Phi}{dt}\right|\ \text{grande}$${}\Longrightarrow |\varepsilon|\ \text{grande}$

Planteamiento El flujo magnético a través de una espira plana de área $S$ en un campo uniforme depende del ángulo $\theta$ entre $\vec B$ y el vector superficie $\vec S$, perpendicular a la espira.

1. Flujo magnético:

   $\Phi=\vec B\cdot\vec S=B\,S\cos\theta$

2. Si el campo es paralelo al plano de la espira, $\vec B$ es perpendicular a $\vec S$: ninguna línea de campo atraviesa la espira.

   $\theta=90^\circ\ \Rightarrow\ \Phi=B\,S\cos 90^\circ=0$

Planteamiento Por la ley de Faraday, la fuerza electromotriz depende de lo rápido que cambia el flujo, no de su valor.

1. Ley de Faraday:

   $\varepsilon=-\dfrac{d\Phi}{dt}$

2. Contraejemplo: una espira que gira con velocidad angular $\omega$ en un campo uniforme. En $t=0$ su plano es perpendicular a $\vec B$.

   $\Phi=B\,S\cos(\omega t)$$\varepsilon=B\,S\,\omega\operatorname{sen}(\omega t)$

3. En $t=0$ la fuerza electromotriz es nula y el flujo es máximo:

   $\varepsilon(0)=0$$\Phi(0)=B\,S\neq 0$

4. Otro caso: una espira quieta en un campo constante tiene flujo constante, distinto de cero, y nunca se induce fuerza electromotriz.

   $\Phi=\text{cte}\neq 0\ \Rightarrow\ \varepsilon=0$

Planteamiento El campo es paralelo al eje de la bobina, perpendicular a cada espira: el flujo a través de la bobina es $\Phi=N\,B\,S$. Tomamos como positivo el sentido del campo en $t=0$.

1. Área de cada espira, con $r=0{,}05$ m:

   $S$${}= \pi r^2$${}= \pi\cdot 0{,}05^2$${}\approx 7{,}854\cdot 10^{-3}\ \mathrm{m^2}$

2. Campo en $t=2$ s:

   $B(2)=0{,}1-0{,}1\cdot 2^2=-0{,}3\ \mathrm{T}$

3. Ojo: a partir de $t=1$ s la expresión da valores negativos. Un «módulo» negativo se interpreta como que el campo ha invertido su sentido respecto al de $t=0$.

   $B(t)<0\ \text{para}\ t>1\ \mathrm{s}$

4. Flujo a través de las 100 espiras:

   $\Phi$${}= N\,B\,S$${}= 100\cdot(-0{,}3)\cdot 7{,}854\cdot 10^{-3}$${}\approx -0{,}236\ \mathrm{Wb}$

Planteamiento Ley de Faraday para una bobina de $N$ espiras con área constante: solo cambia el campo.

1. Flujo en función del tiempo:

   $\Phi(t)=N\,S\,(0{,}1-0{,}1\,t^2)$

2. Ley de Faraday:

   $\varepsilon$${}= -\dfrac{d\Phi}{dt}$${}= -N\,S\,(-0{,}2\,t)$${}= 0{,}2\,N\,S\,t$

3. En $t=2$ s:

   $\varepsilon$${}= 0{,}2\cdot 100\cdot 7{,}854\cdot 10^{-3}\cdot 2$${}\approx 0{,}314\ \mathrm{V}$

Planteamiento Se busca cuándo se anula la expresión de la fuerza electromotriz del apartado ii.

1. Fuerza electromotriz en función del tiempo:

   $\varepsilon(t)=0{,}2\,N\,S\,t$

2. Se anula cuando el campo deja de variar, es decir, cuando $dB/dt=-0{,}2\,t=0$:

   $0{,}2\,N\,S\,t=0\ \Rightarrow\ t=0$

Planteamiento El campo es perpendicular al plano de la espira, paralelo a su vector superficie: el flujo es $\Phi=B\,S$, con $S=\pi R^2$.

1. Flujo en función del tiempo:

   $\Phi(t)=(a\,t+b)\,\pi R^2$

2. Ley de Faraday:

   $\varepsilon=-\dfrac{d\Phi}{dt}=-a\,\pi R^2$

Planteamiento Solo se induce fuerza electromotriz si varía el flujo, y el flujo depende también de la orientación de la espira: $\Phi=B\,S\cos\theta$.

1. Ley de Faraday para una espira quieta, con $S$ y $\theta$ fijos:

   $\varepsilon=-\dfrac{d\Phi}{dt}=-S\cos\theta\,\dfrac{dB}{dt}$

2. Contraejemplo: si el campo es paralelo al plano de la espira ($\theta=90^\circ$), el flujo es nulo en todo momento, por mucho que varíe $B$.

   $\theta=90^\circ\ \Rightarrow\ \Phi=0\ \Rightarrow\ \varepsilon=0$

Planteamiento El campo es perpendicular al plano XY, donde está la espira. Tomamos el vector superficie en el sentido del campo, el negativo del eje OZ: así $\Phi=B\,S$.

1. Área de la espira, con $r=0{,}2$ m:

   $S=\pi r^2=0{,}04\pi\approx 0{,}1257\ \mathrm{m^2}$

2. Flujo en función del tiempo:

   $\Phi(t)$${}= B(t)\,S$${}= 0{,}04\pi\,(3\,t^2-2t)\ \mathrm{Wb}$

3. Con los coeficientes calculados:

   $\Phi(t)\approx 0{,}377\,t^2-0{,}251\,t\ \mathrm{Wb}$

4. Si se toma el vector superficie en el sentido positivo del eje OZ, el flujo cambia de signo.

   $\Phi_{+z}(t)$${}= -0{,}04\pi\,(3\,t^2-2t)\ \mathrm{Wb}$

Planteamiento Ley de Faraday con el flujo del apartado i.

1. Derivada del flujo:

   $\dfrac{d\Phi}{dt}=0{,}04\pi\,(6t-2)$

2. Fuerza electromotriz en $t=2$ s:

   $\varepsilon$${}= -\dfrac{d\Phi}{dt}$${}= -0{,}04\pi\,(6\cdot 2-2)$${}= -0{,}4\pi$${}\approx -1{,}26\ \mathrm{V}$

Planteamiento Ley de Lenz: la corriente inducida crea un campo que se opone a la variación del flujo.

1. En $t=2$ s el campo apunta en el sentido negativo del eje OZ y su valor está creciendo:

   $B(2)=8\ \mathrm{T}$$\dfrac{dB}{dt}=6\cdot 2-2=10\ \mathrm{T\,s^{-1}}>0$

2. El flujo hacia $-z$ aumenta, así que el campo inducido en el interior de la espira apunta hacia $+z$:

   $\vec B_{\text{ind}}\ \text{hacia}\ +z$

3. Por la regla de la mano derecha, una corriente que crea un campo hacia $+z$ en su interior recorre la espira en sentido antihorario visto desde el semieje $Z$ positivo.

   $\varepsilon$${}< 0\ \text{respecto a}\ -z$${}\Rightarrow \text{antihorario visto desde}\$${}+z$

4. Ojo: el sentido cambia cuando $dB/dt$ cambia de signo. Para $t<1/3$ s el flujo hacia $-z$ disminuye y la corriente circula en sentido horario visto desde $+z$.

   $\dfrac{dB}{dt}=6t-2=0\ \Rightarrow\ t=\tfrac{1}{3}\ \mathrm{s}$

Planteamiento El flujo magnético mide las líneas de campo magnético que atraviesan una superficie.

1. Definición: es la integral del producto escalar del campo por el vector superficie, $d\vec S$, perpendicular a la superficie en cada punto:

   $\Phi=\int_S\vec B\cdot d\vec S$

2. Para una superficie plana de área $S$ en un campo uniforme, con $\theta$ el ángulo entre $\vec B$ y el vector superficie (normal a la espira):

   $\Phi=B\,S\cos\theta$

3. Unidad en el S.I.: el weber, que es un tesla por metro cuadrado.

   $1\ \mathrm{Wb}=1\ \mathrm{T\,m^2}$

Planteamiento Con el campo uniforme $\vec B=B_o\,\vec k$ y una espira plana de área $S$, $\Phi=B_oS\cos\theta$, con $\theta$ el ángulo entre $\vec k$ y el vector superficie $\vec S$ de la espira.

1. Flujo máximo (en valor absoluto) cuando $\cos\theta=\pm 1$: el vector superficie es paralelo al campo, es decir, la espira está en un plano perpendicular a $\vec k$, como el plano XY (figura, izquierda).

   $|\Phi|_{\text{máx}}=B_oS$

2. Flujo nulo cuando $\cos\theta=0$: el vector superficie es perpendicular al campo, es decir, el campo está contenido en el plano de la espira, como cuando la espira está en el plano XZ o en el YZ (figura, derecha). Ninguna línea de campo la atraviesa.

   $\theta=90^\circ\ \Longrightarrow\ \Phi=0$

ResultadoEl flujo es máximo, $|\Phi|=B_oS$, cuando la espira es perpendicular al campo (paralela al plano XY, con su normal según $\vec k$), y es nulo cuando el plano de la espira contiene la dirección del campo (normal perpendicular a $\vec k$, por ejemplo la espira en el plano XZ o YZ).

Planteamiento La espira está en el plano XY, así que su vector superficie es paralelo a $\vec k$ y al campo: $\Phi=B\,S$. Tomamos $\vec S=S\,\vec k$.

1. Área de la espira:

   $S=0{,}10\cdot 0{,}15=0{,}015\ \mathrm{m^2}$

2. Flujo en función del tiempo:

   $\Phi(t)$${}= 2t^3\cdot 0{,}015$${}= 0{,}03\,t^3\ \mathrm{Wb}$

3. En $t=2$ s:

   $\Phi(2)=0{,}03\cdot 2^3=0{,}24\ \mathrm{Wb}$

Planteamiento Ley de Faraday: la fuerza electromotriz inducida es $\varepsilon=-\dfrac{d\Phi}{dt}$.

1. Derivamos el flujo del apartado i:

   $\varepsilon$${}= -\dfrac{d}{dt}\left(0{,}03\,t^3\right)$${}= -0{,}09\,t^2\ \mathrm{V}$

2. En $t=2$ s:

   $\varepsilon(2)=-0{,}09\cdot 2^2=-0{,}36\ \mathrm{V}$

Planteamiento Ley de Lenz: la corriente inducida tiene el sentido que crea un campo magnético que se opone a la variación del flujo que la produce.

1. El campo apunta según $+\vec k$ y crece con el tiempo, así que el flujo a través de la espira aumenta:

   $\dfrac{d\Phi}{dt}=0{,}09\,t^2>0$

2. La corriente inducida crea dentro de la espira un campo según $-\vec k$, que se opone a ese aumento. Por la regla de la mano derecha, esa corriente recorre la espira en sentido horario mirando desde el semieje $z$ positivo (figura).

   $\vec B_{\text{ind}}\ \text{según}\ -\vec k$

ResultadoLa corriente inducida circula en sentido horario visto desde arriba (desde $z>0$, de frente a $\vec k$): así crea un campo hacia $-\vec k$, que se opone al aumento del flujo.