Campo eléctrico: ejercicios de la PAU de Física de Andalucía resueltos

Planteamiento La fuerza electrostática es conservativa: la energía potencial eléctrica que pierde el sistema al separarse las cargas se convierte en energía cinética de la partícula que se mueve, que parte del reposo.

1. Energía potencial eléctrica de las dos cargas a la distancia inicial $d$ y a la final $2d$ ($k$ es la constante de Coulomb):

   $E_{p,0}=\frac{kq^2}{d}$$E_{p,f}=\frac{kq^2}{2d}$

2. Conservación de la energía, con la partícula móvil partiendo del reposo:

   $\frac{kq^2}{d}=\frac{kq^2}{2d}+\frac{1}{2}mv^2$

3. Despejamos la energía cinética final:

   $\frac{1}{2}mv^2=\frac{kq^2}{d}-\frac{kq^2}{2d}=\frac{kq^2}{2d}$

4. Y de ahí la velocidad:

   $v=\sqrt{\frac{kq^2}{md}}=|q|\sqrt{\frac{k}{md}}$

Planteamiento En la expresión del apartado i la velocidad es proporcional al valor absoluto de la carga.

1. Con cargas $2q$, la energía potencial inicial se multiplica por 4, y la velocidad:

   $v'=\sqrt{\frac{k(2q)^2}{md}}=2\sqrt{\frac{kq^2}{md}}=2v$

Planteamiento El electrón y la carga fija son negativos, así que se repelen: el electrón frena al acercarse. La fuerza eléctrica es conservativa, de modo que la energía cinética inicial del electrón se convierte en energía potencial eléctrica, que es nula en el infinito.

1. Energía cinética inicial del electrón:

   $E_{c,0}$${}= \frac{1}{2}m_ev_0^2$${}= \frac{1}{2}\cdot 9{,}1\cdot 10^{-31}\cdot\left(10^7\right)^2$${}= 4{,}55\cdot 10^{-17}\ \mathrm{J}$

2. Energía potencial del electrón (carga $-e$) a una distancia $r$ de la carga $Q=-5\ \mu\mathrm{C}$; es positiva porque las dos cargas tienen el mismo signo:

   $E_p(r)$${}= \frac{kQ(-e)}{r}$${}= \frac{9\cdot 10^9\cdot 5\cdot 10^{-6}\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}}{r}$${}= \frac{7{,}2\cdot 10^{-15}}{r}\ \mathrm{J}$

3. Conservación de la energía entre el infinito ($E_p=0$) y el punto donde se para ($E_c=0$):

   $E_{c,0}$${}= E_p(r)$${}\Rightarrow 4{,}55\cdot 10^{-17}$${}= \frac{7{,}2\cdot 10^{-15}}{r}$

4. Despejamos la distancia:

   $r$${}= \frac{7{,}2\cdot 10^{-15}}{4{,}55\cdot 10^{-17}}$${}\approx 158\ \mathrm{m}$

Planteamiento Ley de Coulomb a la distancia del apartado i. Las dos cargas son negativas, así que la fuerza es repulsiva.

1. Módulo de la fuerza, con $k|Q|e=7{,}2\cdot 10^{-15}\ \mathrm{N\,m^2}$ y $r=158{,}2\ \mathrm{m}$ del apartado i (sin redondear):

   $F$${}= \frac{k|Q|e}{r^2}$${}= \frac{7{,}2\cdot 10^{-15}}{158{,}2^2}$${}\approx 2{,}88\cdot 10^{-19}\ \mathrm{N}$

2. Carácter: el producto de las dos cargas, $-e$ y $-5\ \mu\mathrm{C}$, es positivo, así que se repelen; sobre el electrón, la fuerza apunta alejándose de la carga fija.

   $Q\cdot(-e)>0\ \Rightarrow\ \text{repulsiva}$

Planteamiento Si parten del reposo, el trabajo del campo eléctrico, $|q|\,\Delta V$, se convierte en energía cinética. El protón y el electrón tienen la misma carga en valor absoluto, $e$, así que ganan la misma energía (cada uno acelerado en su sentido).

1. Energía cinética adquirida, suponiendo que parten del reposo:

   $E_c$${}= e\,\Delta V$${}= 1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 0{,}075$${}= 1{,}2\cdot 10^{-20}\ \mathrm{J}$

2. Es la misma para las dos partículas, porque no depende de la masa:

   $E_{c,p}=E_{c,e}=1{,}2\cdot 10^{-20}\ \mathrm{J}$

Planteamiento La longitud de onda de De Broglie es $\lambda=h/p$, y la cantidad de movimiento se obtiene de la energía cinética: $p=\sqrt{2mE_c}$. Con la misma energía, la partícula más pesada tiene más cantidad de movimiento y menor longitud de onda.

1. Relación entre $\lambda$ y $E_c$:

   $\lambda=\frac{h}{p}=\frac{h}{\sqrt{2mE_c}}$

2. Electrón, con $E_c$ del apartado i:

   $\lambda_e$${}= \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}}{\sqrt{2\cdot 9{,}1\cdot 10^{-31}\cdot 1{,}2\cdot 10^{-20}}}$${}\approx 4{,}49\cdot 10^{-9}\ \mathrm{m}$

3. Protón:

   $\lambda_p$${}= \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}}{\sqrt{2\cdot 1{,}67\cdot 10^{-27}\cdot 1{,}2\cdot 10^{-20}}}$${}\approx 1{,}05\cdot 10^{-10}\ \mathrm{m}$

4. Con la misma energía, $\lambda$ es inversamente proporcional a $\sqrt{m}$:

   $\frac{\lambda_e}{\lambda_p}=\sqrt{\frac{m_p}{m_e}}\approx 42{,}8$

Planteamiento Sobre una carga en un campo eléctrico actúa la fuerza $\vec F=q\vec E$. El protón tiene carga positiva, así que la fuerza tiene el mismo sentido que el campo.

1. Fuerza eléctrica sobre el protón, de carga $+e$:

   $\vec F=e\vec E$

2. Parte del reposo y la fuerza es constante, así que se mueve en línea recta en el sentido del campo, con aceleración constante:

   $\vec a=\frac{e\vec E}{m_p}$

3. Las líneas de campo van de los potenciales altos a los bajos, así que el protón se dirige hacia potenciales menores.

   $V_f<V_0$

ResultadoSe mueve en línea recta en el sentido del campo eléctrico (hacia potenciales menores), con movimiento uniformemente acelerado.

Planteamiento La fuerza eléctrica es conservativa: la energía mecánica del protón se conserva, y la energía potencial que pierde la gana como energía cinética.

1. Trabajo del campo cuando el protón avanza una distancia $x$ en el sentido del campo; es positivo:

   $W=eEx>0$

2. Variación de la energía potencial:

   $\Delta E_p=-W=-eEx<0$

3. Variación de la energía cinética (teorema de la energía cinética):

   $\Delta E_c=W=eEx>0$

4. La suma no cambia:

   $\Delta E_c+\Delta E_p=0$

Planteamiento Principio de superposición: el campo en $C$ es la suma vectorial de los campos que crea cada carga. Como las cargas son positivas, cada campo apunta alejándose de su carga, en la dirección que va de la carga a $C$.

1. Vector de $A$ a $C$ y distancia:

   $\vec r_{AC}=(2-2,\ 3-0)=(0,\ 3)\ \mathrm{m}$$r_{AC}=3\ \mathrm{m}$

2. Campo de $q_1$ en $C$, en el sentido de $\vec j$:

   $\vec E_1$${}= \frac{kq_1}{r_{AC}^2}\,\vec j$${}= \frac{9\cdot 10^9\cdot 2\cdot 10^{-6}}{3^2}\,\vec j$${}= 2\,000\,\vec j\ \mathrm{N/C}$

3. Vector de $B$ a $C$ y distancia:

   $\vec r_{BC}=(2-0,\ 3-3)=(2,\ 0)\ \mathrm{m}$$r_{BC}=2\ \mathrm{m}$

4. Campo de $q_2$ en $C$, en el sentido de $\vec i$:

   $\vec E_2$${}= \frac{kq_2}{r_{BC}^2}\,\vec i$${}= \frac{9\cdot 10^9\cdot 2\cdot 10^{-6}}{2^2}\,\vec i$${}= 4\,500\,\vec i\ \mathrm{N/C}$

5. Campo total:

   $\vec E$${}= \vec E_1+\vec E_2$${}= \left(4\,500\,\vec i+2\,000\,\vec j\right)\ \mathrm{N/C}$

6. Módulo:

   $|\vec E|$${}= \sqrt{4\,500^2+2\,000^2}$${}\approx 4\,924\ \mathrm{N/C}$

Resultado$\vec E$${}= \left(4\,500\,\vec i+2\,000\,\vec j\right)\ \mathrm{N/C}$, de módulo $|\vec E|\approx 4{,}92\cdot 10^{3}\ \mathrm{N/C}$.

Planteamiento El potencial es una magnitud escalar: el del punto medio es la suma de los potenciales que crea cada carga, y las dos están a la misma distancia de él.

1. Punto medio del segmento $AB$:

   $M=\left(\frac{2+0}{2};\ \frac{0+3}{2}\right)=(1;\ 1{,}5)\ \mathrm{m}$

2. Distancia de cada carga a $M$, la mitad de la distancia $AB$:

   $r$${}= \frac{\sqrt{2^2+3^2}}{2}$${}= \frac{\sqrt{13}}{2}$${}\approx 1{,}803\ \mathrm{m}$

3. Potencial total, suma de los dos (iguales):

   $V_M$${}= 2\cdot\frac{kq}{r}=2\cdot\frac{9\cdot 10^9\cdot 2\cdot 10^{-6}}{1{,}803}$${}\approx 2{,}00\cdot 10^{4}\ \mathrm{V}$

Planteamiento De la longitud de onda de De Broglie, $\lambda=\dfrac{h}{mv}$, se despeja la velocidad; con ella, la energía cinética.

1. Velocidad:

   $v$${}= \frac{h}{m\lambda}=\frac{6{,}63\cdot 10^{-34}}{6{,}64\cdot 10^{-27}\cdot 3\cdot 10^{-11}}$${}\approx 3{,}33\cdot 10^{3}\ \mathrm{m\,s^{-1}}$

2. Energía cinética, con $v=3{,}328\cdot 10^{3}\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ del paso anterior (sin redondear):

   $E_c$${}= \frac{1}{2}mv^2$${}= \frac{1}{2}\cdot 6{,}64\cdot 10^{-27}\cdot\left(3{,}328\cdot 10^{3}\right)^2$${}\approx 3{,}68\cdot 10^{-20}\ \mathrm{J}$

Planteamiento Si parte del reposo, la energía cinética se la da el campo eléctrico: $E_c=q\,\Delta V$. El núcleo de helio (partícula alfa) tiene dos protones, así que su carga es $q=2e$.

1. Carga del núcleo de helio:

   $q$${}= 2e=2\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}$${}= 3{,}2\cdot 10^{-19}\ \mathrm{C}$

2. Diferencia de potencial, con $E_c$ del apartado i:

   $\Delta V$${}= \frac{E_c}{q}$${}= \frac{3{,}678\cdot 10^{-20}}{3{,}2\cdot 10^{-19}}$${}\approx 0{,}115\ \mathrm{V}$

Planteamiento El potencial es escalar: en cada punto se suman los potenciales $V=K\dfrac{q}{r}$ de las dos cargas, cada uno con su signo.

1. Las dos cargas están a la misma distancia de C(6,0), $r_{AC}=r_{BC}$:

   $r_{AC}=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}=7{,}21\ \mathrm{m}$

2. Potencial en C: las dos cargas son opuestas y están a la misma distancia.

   $V_C$${}= K\,\dfrac{10^{-6}}{\sqrt{52}}$${}+K\,\dfrac{-10^{-6}}{\sqrt{52}}=0$

3. Distancias desde D(0,8):

   $r_{AD}=8-(-4)=12\ \mathrm{m}$$r_{BD}=8-4=4\ \mathrm{m}$

4. Potencial en D:

   $V_D$${}= 9\cdot 10^{9}\left(\dfrac{10^{-6}}{12}-\dfrac{10^{-6}}{4}\right)$${}= 750-2\,250$${}= -1\,500\ \mathrm{V}$

Planteamiento El trabajo del campo eléctrico al llevar una carga $q$ de C a D es $W=-\Delta E_p=q\,(V_C-V_D)$.

1. Sustituimos:

   $W_{C\to D}$${}= q\,(V_C-V_D)$${}= 4\cdot 10^{-4}\,\bigl(0-(-1\,500)\bigr)$${}= 0{,}6\ \mathrm{J}$

2. Variación de la energía potencial de la carga:

   $\Delta E_p=-W_{C\to D}=-0{,}6\ \mathrm{J}$

Planteamiento La longitud de onda de De Broglie es $\lambda=\dfrac{h}{p}$, y a partir de la energía cinética (sin efectos relativistas, porque estas energías son muy pequeñas frente a $mc^2$) el momento es $p=\sqrt{2mE_c}$.

1. Relación entre momento y energía cinética:

   $E_c=\dfrac{p^2}{2m}\ \Longrightarrow\ \lambda=\dfrac{h}{\sqrt{2mE_c}}$

2. Protón:

   $\lambda_p$${}= \dfrac{6{,}63\cdot 10^{-34}}{\sqrt{2\cdot 1{,}7\cdot 10^{-27}\cdot 7{,}2\cdot 10^{-16}}}$${}= 4{,}24\cdot 10^{-13}\ \mathrm{m}$

3. Electrón:

   $\lambda_e$${}= \dfrac{6{,}63\cdot 10^{-34}}{\sqrt{2\cdot 9{,}1\cdot 10^{-31}\cdot 7{,}2\cdot 10^{-16}}}$${}= 1{,}83\cdot 10^{-11}\ \mathrm{m}$

Planteamiento Para detener una partícula, el campo eléctrico tiene que quitarle toda su energía cinética: $W=-q\,\Delta V=-E_c$, es decir, $q\,\Delta V=E_c$, con $\Delta V$ la diferencia de potencial entre el punto final y el inicial.

1. Valor absoluto de la diferencia de potencial, el mismo para las dos partículas porque tienen la misma carga en valor absoluto:

   $|\Delta V|$${}= \dfrac{E_c}{e}$${}= \dfrac{7{,}2\cdot 10^{-16}}{1{,}6\cdot 10^{-19}}$${}= 4\,500\ \mathrm{V}$

2. Protón, de carga $+e$: $\Delta V=\dfrac{E_c}{e}>0$, tiene que avanzar hacia potenciales mayores.

   $\Delta V_p$${}= V_{\text{final}}$${}-V_{\text{inicial}}$${}= +4\,500\ \mathrm{V}$

3. Electrón, de carga $-e$: $\Delta V=\dfrac{E_c}{-e}<0$, tiene que avanzar hacia potenciales menores.

   $\Delta V_e$${}= V_{\text{final}}$${}-V_{\text{inicial}}$${}= -4\,500\ \mathrm{V}$

Planteamiento Campo de una carga puntual: $\vec E=K\dfrac{q}{r^2}\,\vec u_r$, hacia fuera si la carga es positiva y hacia ella si es negativa. Se suman los dos campos.

1. Campo de $q_1$ en B: está a 4 m y apunta hacia $+\vec\imath$.

   $\vec E_1$${}= 9\cdot 10^{9}\cdot\dfrac{2\cdot 10^{-9}}{4^2}\,\vec\imath$${}= 1{,}125\,\vec\imath\ \mathrm{N\,C^{-1}}$

2. Campo de $q_2$ en B: está a 2 m y, como es negativa, apunta hacia ella, $-\vec\imath$.

   $\vec E_2$${}= -9\cdot 10^{9}\cdot\dfrac{4\cdot 10^{-9}}{2^2}\,\vec\imath$${}= -9\,\vec\imath\ \mathrm{N\,C^{-1}}$

3. Campo total:

   $\vec E_B$${}= (1{,}125-9)\,\vec\imath$${}= -7{,}875\,\vec\imath\ \mathrm{N\,C^{-1}}$

Resultado$\vec E_B\approx -7{,}88\,\vec\imath\ \mathrm{N\,C^{-1}}$: apunta hacia la carga negativa, en el sentido negativo del eje X (figura).

Planteamiento El trabajo del campo es $W_{B\to C}=q_3\,(V_B-V_C)$, con el potencial de las dos cargas en cada punto.

1. Potencial en B:

   $V_B$${}= 9\cdot 10^{9}\left(\dfrac{2\cdot 10^{-9}}{4}+\dfrac{-4\cdot 10^{-9}}{2}\right)$${}= 4{,}5-18$${}= -13{,}5\ \mathrm{V}$

2. Distancias desde C(0,4): a $q_1$ hay 4 m, y a $q_2$:

   $r_{AC}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=4{,}47\ \mathrm{m}$

3. Potencial en C:

   $V_C$${}= 9\cdot 10^{9}\left(\dfrac{2\cdot 10^{-9}}{4}+\dfrac{-4\cdot 10^{-9}}{\sqrt{20}}\right)$${}= 4{,}5-8{,}05$${}= -3{,}55\ \mathrm{V}$

4. Trabajo del campo:

   $W_{B\to C}$${}= q_3\,(V_B-V_C)$${}= 1\cdot 10^{-9}\,\bigl(-13{,}5-(-3{,}55)\bigr)$${}= -9{,}95\cdot 10^{-9}\ \mathrm{J}$

Planteamiento Una superficie equipotencial es el lugar geométrico de los puntos del espacio en los que el potencial eléctrico tiene el mismo valor.

1. Potencial creado por una carga puntual $Q$ a una distancia $r$:

   $V=\dfrac{KQ}{r}$

2. El potencial solo depende de la distancia a la carga: $V$ constante equivale a $r$ constante.

   $V=V_0\ \Leftrightarrow\ r=\dfrac{KQ}{V_0}$

3. Los puntos a la misma distancia de la carga forman una esfera. Las líneas de campo, radiales, cortan perpendicularmente a esas esferas.

   $\vec E\perp\text{superficie equipotencial}$

Planteamiento El trabajo de la fuerza eléctrica, que es conservativa, solo depende del potencial de los puntos inicial y final.

1. Trabajo de la fuerza eléctrica entre dos puntos A y B:

   $W_{A\to B}=-\Delta E_p=q\,(V_A-V_B)$

2. Sobre una superficie equipotencial los dos puntos tienen el mismo potencial:

   $V_A=V_B\ \Rightarrow\ W_{A\to B}=0$

3. Se ve también punto a punto: la fuerza eléctrica $q\vec E$ es perpendicular a la superficie y, por tanto, a cada desplazamiento sobre ella.

   $dW=q\,\vec E\cdot d\vec r=0$

Planteamiento Las tres cargas son negativas: las dos fuerzas sobre la carga de P son de repulsión. Se calcula cada una con la ley de Coulomb y se suman como vectores.

1. Distancias de A y de B a P:

   $r_{AP}=r_{BP}=\sqrt{3^2+4^2}=5\ \mathrm{m}$

2. P está a la misma distancia de A y de B, en el punto medio del segmento AB. Módulo de cada fuerza:

   $F$${}= K\dfrac{|q_1q_3|}{r^2}$${}= 9\cdot 10^{9}\cdot\dfrac{1{,}2\cdot 10^{-6}\cdot 1{,}5\cdot 10^{-6}}{5^2}$${}= 6{,}48\cdot 10^{-4}\ \mathrm{N}$

3. La fuerza de A empuja la carga de P en el sentido de A hacia P, el del vector unitario $(3\,\vec\imath-4\,\vec\jmath)/5$:

   $\vec F_A$${}= 6{,}48\cdot 10^{-4}\,(0{,}6\,\vec\imath-0{,}8\,\vec\jmath)\ \mathrm{N}$

4. La de B, en el sentido de B hacia P, el del unitario $(-3\,\vec\imath+4\,\vec\jmath)/5$:

   $\vec F_B$${}= 6{,}48\cdot 10^{-4}\,(-0{,}6\,\vec\imath+0{,}8\,\vec\jmath)\ \mathrm{N}$

5. Suma: las dos fuerzas tienen el mismo módulo y sentidos opuestos.

   $\vec F=\vec F_A+\vec F_B=\vec 0$

Resultado$\vec F=\vec 0$: las fuerzas de A y de B valen $6{,}48\cdot 10^{-4}$ N cada una y, como P es el punto medio de AB, tienen la misma dirección y sentidos opuestos (esquema en la figura).

Planteamiento El trabajo del campo eléctrico es menos la variación de la energía potencial de la carga, que en el infinito es nula.

1. Potencial en P creado por las dos cargas de A y B:

   $V_P$${}= K\left(\dfrac{q_1}{r_{AP}}+\dfrac{q_2}{r_{BP}}\right)$${}= 9\cdot 10^{9}\cdot\dfrac{2\cdot(-1{,}2\cdot 10^{-6})}{5}$${}= -4\,320\ \mathrm{V}$

2. Trabajo del campo desde el infinito ($V_\infty=0$) hasta P:

   $W_{\infty\to P}$${}= q_3\,(V_\infty-V_P)$${}= -1{,}5\cdot 10^{-6}\cdot(0+4\,320)$

3. Resultado:

   $W_{\infty\to P}\approx-6{,}48\cdot 10^{-3}\ \mathrm{J}$

4. El signo negativo tiene sentido: las cargas se repelen, así que el campo se opone al acercamiento y un agente externo tiene que aportar esa energía.

   $\Delta E_p=-W=6{,}48\cdot 10^{-3}\ \mathrm{J}>0$

Planteamiento Sobre el electrón (carga $q=-e$) actúan la fuerza eléctrica $q\vec E$ y la fuerza magnética $q\,\vec v\times\vec B$ (fuerza de Lorentz). Para que siga en línea recta con la misma velocidad, la fuerza total tiene que ser nula.

1. Fuerza de Lorentz total:

   $\vec F$${}= q\left(\vec E+\vec v\times\vec B\right)$${}= \vec 0$${}\Rightarrow \vec E=-\vec v\times\vec B$

2. Las dos fuerzas tienen que tener la misma dirección y sentidos opuestos. La velocidad tiene que ser perpendicular a los dos campos: así $\vec v\times\vec B$ es paralelo a $\vec E$.

   $\vec v\perp\vec E$$\vec v\perp\vec B$

3. Igualando los módulos ($\operatorname{sen}90^\circ=1$):

   $|q|E=|q|\,v\,B\ \Rightarrow\ v=\dfrac{E}{B}$

4. El sentido de la velocidad es el de $\vec E\times\vec B$. La condición no depende de la carga ni de la masa: el signo de la carga cambia el sentido de las dos fuerzas a la vez.

   $\vec v=\dfrac{\vec E\times\vec B}{B^2}$

Planteamiento El campo ejerce sobre una carga $q$ la fuerza $\vec F=q\vec E$. Si $q<0$, la fuerza tiene sentido contrario al campo y, por tanto, contrario a la velocidad: frena la carga, que se detiene tras recorrer $d$. Despreciamos el peso.

1. Tomamos el eje $x$ en el sentido del campo, $\vec E=E\,\vec i$ con $E>0$. Fuerza sobre la carga:

   $\vec F=q\,E\,\vec i$$q<0$

2. El desplazamiento es $d\,\vec i$, en el sentido del campo. Trabajo del campo:

   $W=\vec F\cdot\Delta\vec r=q\,E\,d<0$

Planteamiento Usamos el teorema de la energía cinética ($W=\Delta E_c$), la relación entre el trabajo de una fuerza conservativa y la energía potencial ($W=-\Delta E_p$) y que la energía mecánica se conserva, porque solo actúa la fuerza eléctrica, que es conservativa.

1. La carga pasa de tener velocidad $v$ a estar en reposo:

   $\Delta E_c=0-\dfrac{1}{2}mv^2=W<0$

2. La fuerza eléctrica es conservativa:

   $\Delta E_p=-W=-qEd>0$

3. Lo mismo con el potencial: la carga avanza en el sentido del campo, hacia potenciales menores ($\Delta V=-Ed<0$), y como es negativa su energía potencial aumenta:

   $\Delta E_p=q\,\Delta V=q\,(-Ed)>0$

4. La energía mecánica es la suma de las dos:

   $\Delta E_m=\Delta E_c+\Delta E_p=W-W=0$

Planteamiento El campo en C es la suma vectorial de los campos de las dos cargas, $\vec E=K\dfrac{q}{r^2}\,\vec u_r$, con $\vec u_r$ el vector unitario que va de la carga al punto. La carga positiva crea un campo que se aleja de ella; la negativa, uno que apunta hacia ella.

1. Distancias: C está a 1 m de A (sobre el eje $x$) y a 1 m de B (justo debajo de él).

   $r_{AC}=1\ \mathrm{m}$$r_{BC}=1\ \mathrm{m}$

2. Campo de $q_A=2\cdot 10^{-3}$ C: se aleja de A, en el sentido $+x$.

   $\vec E_A$${}= 9\cdot 10^{9}\,\dfrac{2\cdot 10^{-3}}{1^2}\,\vec i$${}= 1{,}8\cdot 10^{7}\,\vec i\ \mathrm{N\,C^{-1}}$

3. Campo de $q_B=-3\cdot 10^{-3}$ C: apunta hacia B, que está encima de C, en el sentido $+y$.

   $\vec E_B$${}= 9\cdot 10^{9}\,\dfrac{3\cdot 10^{-3}}{1^2}\,\vec j$${}= 2{,}7\cdot 10^{7}\,\vec j\ \mathrm{N\,C^{-1}}$

4. Campo total:

   $\vec E_C$${}= \left(1{,}8\,\vec i+2{,}7\,\vec j\right)\cdot 10^{7}\ \mathrm{N\,C^{-1}}$

5. Módulo:

   $|\vec E_C|$${}= \sqrt{1{,}8^2+2{,}7^2}\cdot 10^{7}$${}\approx 3{,}24\cdot 10^{7}\ \mathrm{N\,C^{-1}}$

6. Ángulo con el eje $x$ positivo:

   $\alpha=\arctan\dfrac{2{,}7}{1{,}8}\approx 56{,}3^\circ$

Resultado$\vec E_C$${}= (1{,}8\,\vec i+2{,}7\,\vec j)\cdot 10^{7}\ \mathrm{N\,C^{-1}}$, de módulo $3{,}24\cdot 10^{7}\ \mathrm{N\,C^{-1}}$, a $56{,}3^\circ$ sobre el eje $x$ positivo (figura).

Planteamiento El trabajo necesario es el que hace un agente externo para llevar la carga $q$ de C a D sin cambiar su energía cinética: $W=q\,(V_D-V_C)$. El potencial de cada carga es $V=K\dfrac{q}{r}$, y los potenciales se suman como escalares.

1. Potencial en C, con $r_{AC}=r_{BC}=1\ \mathrm{m}$:

   $V_C$${}= 9\cdot 10^{9}\left(\dfrac{2\cdot 10^{-3}}{1}+\dfrac{-3\cdot 10^{-3}}{1}\right)$${}= -9\cdot 10^{6}\ \mathrm{V}$

2. D también está a 1 m de A (sobre el eje $y$) y a 1 m de B (a su izquierda), así que su potencial es el mismo:

   $r_{AD}$${}= r_{BD}$${}= 1\ \mathrm{m}$${}\Longrightarrow V_D$${}= -9\cdot 10^{6}\ \mathrm{V}$

3. Trabajo para trasladar $q=10^{-3}$ C:

   $W=q\,(V_D-V_C)=10^{-3}\cdot 0=0$