Sistemas de control: ejercicios de la PAU de Tecnología de Andalucía resueltos

Planteamiento Es un control en lazo cerrado manual: la persona mide (lee la escala), compara con la consigna, decide y actúa sobre la válvula. La realimentación es su lectura del nivel. Recorremos el lazo bloque a bloque.

1. Entrada o referencia: el nivel de consigna, $h^*$, que la persona quiere mantener.

2. Comparador: la persona compara el nivel que lee en la escala, $h_m$, con la consigna. La diferencia es el error:

   $e=h^*-h_m$

3. Controlador: la persona, que decide cuánto abrir o cerrar la válvula según el error.

4. Actuador: la válvula de entrada, que la persona mueve con la mano; de ella sale el caudal de entrada, $q_e$.

5. Perturbación: el caudal que sale hacia el riego, $q_s$, que varía con el tiempo. Entra en un sumador antes del depósito, restando, porque vacía el depósito:

   $q=q_e-q_s$

6. Planta o proceso: el depósito, cuyo nivel sube o baja según la diferencia entre el caudal que entra y el que sale. Su salida es el nivel real, $h$.

7. Realimentación: la escala graduada, leída por la persona, mide $h$ y devuelve $h_m$ al comparador, donde entra restando.

Planteamiento Cada elemento del diagrama del apartado b.1 corresponde a una parte concreta del sistema.

1. Referencia (consigna): el nivel de agua que se quiere mantener, marcado en la escala graduada.

2. Salida: el nivel real del agua en el depósito.

3. Controlador: la persona, que compara lo que lee con la consigna y decide cuánto abrir o cerrar la válvula.

4. Planta: el depósito de riego, el proceso cuyo nivel se controla.

5. Perturbación: el caudal que sale hacia los puntos de riego, que varía con el tiempo.

6. Aunque no se pide, conviene situar los otros dos: el actuador es la válvula de entrada, y el captador o sensor, la escala graduada que lee la persona.

Planteamiento Escribimos la señal en cada punto del diagrama respetando los signos de los dos comparadores. En el primero, $\theta^*$ entra sumando y la realimentación $H\theta$, restando. En el segundo, $v$ entra sumando y la salida de $G_1$, restando (es lo que marca la figura).

1. Primer comparador:

   $e=\theta^*-H\,\theta$

2. Segundo comparador y bloque $G_2$:

   $\theta=G_2\,(v-G_1\,e)$

3. Sin viento ($v=0$), sustituimos $e$:

   $\theta=-G_1G_2\,(\theta^*-H\,\theta)$

4. Agrupamos los términos en $\theta$:

   $\theta\,(1-G_1G_2H)$${}= -G_1G_2\,\theta^*$

5. Despejamos la relación:

   $\frac{\theta}{\theta^*}=\frac{-G_1G_2}{1-G_1G_2H}$

6. Ojo con los signos: la salida de $G_1$ entra restando en el segundo comparador, y por eso salen el signo menos del numerador y el $1-G_1G_2H$ del denominador. Si entrara sumando, como en la mayoría de los diagramas, el resultado sería el habitual:

   $\frac{\theta}{\theta^*}=\frac{G_1G_2}{1+G_1G_2H}$

Planteamiento Ahora la entrada es el viento y la consigna es nula. Partimos de las mismas ecuaciones de los dos comparadores.

1. Con $\theta^*=0$, el primer comparador da:

   $e=-H\,\theta$

2. Segundo comparador y bloque $G_2$:

   $\theta$${}= G_2\,(v-G_1\,e)$${}= G_2\,(v+G_1H\,\theta)$

3. Agrupamos los términos en $\theta$:

   $\theta\,(1-G_1G_2H)=G_2\,v$

4. Despejamos la relación:

   $\frac{\theta}{v}=\frac{G_2}{1-G_1G_2H}$

5. Las dos relaciones tienen el mismo denominador, el del lazo. Si la salida de $G_1$ entrara sumando, quedaría:

   $\frac{\theta}{v}=\frac{G_2}{1+G_1G_2H}$

Planteamiento Escribimos la señal en cada punto del diagrama: el transductor $G_3$ está fuera del lazo, y el lazo tiene realimentación negativa a través de $H$.

1. Transductor de entrada:

   $r_1=G_3\,r$

2. Comparador (la realimentación entra restando):

   $e=r_1-H\,c$

3. Cadena directa, controlador y motor en serie:

   $c=G_1G_2\,e$

4. Sustituimos $e$ y $r_1$:

   $c=G_1G_2\,(G_3\,r-H\,c)$

5. Agrupamos los términos en $c$:

   $c\,(1+G_1G_2H)$${}= G_1G_2G_3\,r$

6. Despejamos la relación:

   $\frac{c}{r}=\frac{G_1G_2G_3}{1+G_1G_2H}$

Planteamiento La ganancia de un bloque tiene las unidades de su salida entre las de su entrada. Seguimos las unidades a lo largo del lazo.

1. La consigna $r$ está en rpm, y $G_3=0{,}01$ V/rpm la convierte en tensión:

   $[r_1]=\mathrm{rpm}\cdot\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{rpm}}=\mathrm{V}$

2. En el comparador solo se pueden restar magnitudes de la misma clase: la señal que llega de $H$ también es una tensión ($H$ va en V/rpm), y el error $e$ es una tensión.

   $[e]=\mathrm{V}$

3. El motor, $G_2=100$ rpm/V, da la velocidad $c$ en rpm a partir de su entrada $m$; para eso $m$ tiene que ser una tensión:

   $[m]=\frac{[c]}{[G_2]}=\frac{\mathrm{rpm}}{\mathrm{rpm/V}}=\mathrm{V}$

4. Unidades del controlador, salida entre entrada:

   $[G_1]=\frac{[m]}{[e]}=\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{V}}$

Planteamiento Reducimos el diagrama paso a paso: primero el bloque $G_1$ con la rama que lo puentea (en paralelo), después el lazo interno de $H_1$ y, por último, el lazo exterior, que lleva realimentación unitaria negativa.

1. Paralelo: la señal pasa por $G_1$ y, a la vez, por la rama de abajo, sin bloque (ganancia 1); el segundo comparador las suma, porque las dos entran con signo +:

   $G_a=G_1+1$

2. Lazo interno: $G_2$ con la realimentación negativa $H_1$:

   $G_b=\frac{G_2}{1+G_2H_1}$

3. Los dos bloques quedan en serie:

   $G_aG_b=\frac{(1+G_1)\,G_2}{1+G_2H_1}$

4. Lazo exterior, con realimentación unitaria negativa de $S$ al primer comparador:

   $\frac{S}{R}=\frac{G_aG_b}{1+G_aG_b}$

5. Sustituimos y multiplicamos el numerador y el denominador por $1+G_2H_1$:

   $\frac{S}{R}=\frac{(1+G_1)\,G_2}{1+G_2H_1+(1+G_1)\,G_2}$

6. Desarrollando el denominador:

   $\frac{S}{R}=\frac{G_2\,(1+G_1)}{1+G_2+G_1G_2+G_2H_1}$

Planteamiento Un sensor inductivo detecta objetos metálicos sin tocarlos. Aprovecha que en un metal situado dentro de un campo magnético variable se inducen corrientes que le quitan energía al campo.

1. Principio de funcionamiento: una bobina con núcleo de ferrita, alimentada por un oscilador, crea un campo magnético alterno de alta frecuencia delante de la cara activa del sensor.

2. Cuando un objeto metálico entra en ese campo, en él se inducen corrientes de Foucault (corrientes parásitas) que absorben energía del oscilador: la amplitud de la oscilación disminuye.

3. Un circuito de disparo compara esa amplitud con un umbral. Cuando baja de él, la etapa de salida conmuta (un transistor o un contacto) y da la señal de objeto detectado; al retirarse el metal, la oscilación se recupera y la salida vuelve a su estado.

4. Características: solo detectan metales, sin contacto y a distancias cortas, de unos milímetros a pocos centímetros. No tienen piezas móviles, así que apenas se desgastan, y funcionan con polvo, aceite o suciedad.

5. Aplicaciones principales: detectar la presencia o la posición de piezas metálicas en cintas transportadoras y máquinas herramienta, hacer de finales de carrera sin contacto, detectar la posición del vástago de los cilindros neumáticos, contar piezas metálicas y medir la velocidad de giro de ejes o ruedas dentadas contando los dientes que pasan.

Planteamiento Cada puerta AND tiene cuatro entradas, tomadas de las líneas $A$, $B$, $C$, $D$ o de sus negadas (las salidas de los inversores), así que su salida vale 1 en una sola combinación: es un mintérmino. La puerta OR suma los seis mintérminos, de modo que $S=1$ exactamente en esas seis combinaciones.

1. Leemos las entradas de cada puerta AND, de arriba abajo (los puntos negros marcan las conexiones):

   $\overline{A}\cdot\overline{B}\cdot C\cdot D$$\overline{A}\cdot B\cdot C\cdot D$$A\cdot\overline{B}\cdot\overline{C}\cdot D$$A\cdot\overline{B}\cdot C\cdot D$$A\cdot B\cdot\overline{C}\cdot D$$A\cdot B\cdot C\cdot D$

2. La función lógica es la suma de los seis productos (forma canónica como suma de mintérminos):

   $S$${}= \overline{A}\cdot\overline{B}\cdot C\cdot D$${}+\overline{A}\cdot B\cdot C\cdot D$${}+A\cdot\overline{B}\cdot\overline{C}\cdot D$${}+A\cdot\overline{B}\cdot C\cdot D$${}+A\cdot B\cdot\overline{C}\cdot D$${}+A\cdot B\cdot C\cdot D$

3. Con $A$ como bit de más peso, esos mintérminos son las combinaciones 0011, 0111, 1001, 1011, 1101 y 1111, es decir, los números 3, 7, 9, 11, 13 y 15:

   $S=\sum m(3,\ 7,\ 9,\ 11,\ 13,\ 15)$

4. Tabla de verdad, con $S=1$ en esas seis filas:

   $A$	$B$	$C$	$D$	$S$
   0	0	0	0	0
   0	0	0	1	0
   0	0	1	0	0
   0	0	1	1	1
   0	1	0	0	0
   0	1	0	1	0
   0	1	1	0	0
   0	1	1	1	1
   1	0	0	0	0
   1	0	0	1	1
   1	0	1	0	0
   1	0	1	1	1
   1	1	0	0	0
   1	1	0	1	1
   1	1	1	0	0
   1	1	1	1	1

Planteamiento Pasamos los seis unos al mapa de Karnaugh de cuatro variables y los agrupamos en los bloques más grandes posibles de casillas adyacentes (de 2, 4 u 8 casillas).

1. Mapa de Karnaugh, con las filas $AB$ y las columnas $CD$ en código Gray:

   $AB\backslash CD$	00	01	11	10
   00	0	0	1	0
   01	0	0	1	0
   11	0	1	1	0
   10	0	1	1	0

2. Grupo 1: la columna $CD=11$ entera (los mintérminos 3, 7, 15 y 11). En ella cambian $A$ y $B$ y se mantienen $C=1$ y $D=1$:

   $C\cdot D$

3. Grupo 2: el cuadrado de las filas $AB=11$ y $AB=10$ con las columnas $CD=01$ y $CD=11$ (los mintérminos 13, 15, 9 y 11). Cambian $B$ y $C$ y se mantienen $A=1$ y $D=1$:

   $A\cdot D$

4. Los dos grupos cubren los seis unos. Función simplificada, y sacando factor común:

   $S=A\cdot D+C\cdot D=D\cdot(A+C)$

5. Implementación con puertas lógicas: una puerta AND de dos entradas para $A\cdot D$, otra para $C\cdot D$ y una OR de dos entradas que suma sus salidas. Con la forma $D\cdot(A+C)$ bastan dos puertas: una OR de $A$ y $C$ y una AND de su salida con $D$. Ninguna de las dos necesita inversores.

Planteamiento Escribimos la función que da el circuito, puerta a puerta, y la simplificamos con el álgebra de Boole. El circuito que se pide es el de la función simplificada.

1. Puertas de la izquierda: la OR recibe $A$ y $B$, y la AND recibe $B$ y $C$:

   $P_1=A+B$$P_2=B\cdot C$

2. La NAND recibe $P_1$ y $P_2$, y el inversor niega $P_2$:

   $P_3=\overline{(A+B)\cdot B\cdot C}$$P_4=\overline{B\cdot C}$

3. La NOR de salida recibe $P_3$ y $P_4$. Función sin simplificar:

   $S$${}= \overline{P_3+P_4}$${}= \overline{\overline{(A+B)\cdot B\cdot C}+\overline{B\cdot C}}$

4. Por De Morgan, la negación de una suma es el producto de las negaciones, y la doble negación se anula:

   $S$${}= (A+B)\cdot B\cdot C\cdot B\cdot C$${}= (A+B)\cdot B\cdot C$

5. Absorción: $(A+B)\cdot B=B$, porque si $B=1$ el paréntesis vale 1 y si $B=0$ el producto es 0. Función simplificada:

   $S=B\cdot C$

6. Comprobación con la tabla de verdad: $S=1$ solo cuando $B=1$ y $C=1$, valga lo que valga $A$.

   $A$	$B$	$C$	$S$
   0	0	0	0
   0	0	1	0
   0	1	0	0
   0	1	1	1
   1	0	0	0
   1	0	1	0
   1	1	0	0
   1	1	1	1

7. Circuito equivalente: una sola puerta AND de dos entradas, con $B$ y $C$. La entrada $A$ no influye en la salida.

Planteamiento En el lazo cerrado, el error es la diferencia entre la entrada y la salida realimentada, $E=X-Y$, y la salida es el error multiplicado por las dos ganancias en serie. Con esas dos ecuaciones se despeja $E$ en función de $X$.

1. Ecuaciones del lazo (realimentación unitaria y negativa; los bloques en serie multiplican sus ganancias):

   $E=X-Y$$Y=G_1\,G_2\,E$

2. Sustituimos $Y$ en la primera ecuación y despejamos $E$:

   $E$${}= X-G_1G_2\,E$${}\Rightarrow E\,(1+G_1G_2)$${}= X$${}\Rightarrow E=\dfrac{X}{1+G_1G_2}$

3. Condición pedida, con $X=1$ y $G_2=50$:

   $E=\dfrac{1}{1+50\,G_1}<0{,}1$

4. Con $G_1>0$ el denominador es positivo y puede pasar multiplicando. Despejamos $G_1$:

   $1$${}< 0{,}1\,(1+50\,G_1)$${}\Rightarrow 10$${}< 1+50\,G_1$${}\Rightarrow G_1$${}> \dfrac{9}{50}$${}= 0{,}18$

5. Comprobación: con $G_1=0{,}18$ el error vale justo $1/(1+9)=0{,}1$, y con una ganancia mayor el error baja; por ejemplo, con $G_1=1$ es $E=1/51\approx 0{,}02$.

Planteamiento Escribimos la salida de cada puerta y evaluamos $F$ en las ocho combinaciones de $A$, $B$ y $C$.

1. La NAND de arriba recibe $A$ y $B$; el inversor niega $C$, y la OR recibe $B$ (por la derivación del punto negro) y $\overline{C}$:

   $P_1=\overline{A\cdot B}$$P_2=B+\overline{C}$

2. La NAND de salida recibe $P_1$ y $P_2$:

   $F$${}= \overline{P_1\cdot P_2}$${}= \overline{\overline{A\cdot B}\cdot(B+\overline{C})}$

3. Por De Morgan, $\overline{X\cdot Y}=\overline{X}+\overline{Y}$ y $\overline{B+\overline{C}}=\overline{B}\cdot C$:

   $F=A\cdot B+\overline{B+\overline{C}}=A\cdot B+\overline{B}\cdot C$

4. Tabla de verdad, con las salidas de las dos puertas intermedias:

   $A$	$B$	$C$	$\overline{A\cdot B}$	$B+\overline{C}$	$F$
   0	0	0	1	1	0
   0	0	1	1	0	1
   0	1	0	1	1	0
   0	1	1	1	1	0
   1	0	0	1	1	0
   1	0	1	1	0	1
   1	1	0	0	1	1
   1	1	1	0	1	1

Planteamiento Pasamos los cuatro unos al mapa de Karnaugh de tres variables y los agrupamos. Para usar solo puertas NAND, negamos dos veces la suma de productos y aplicamos De Morgan.

1. Mapa de Karnaugh, con la fila $A$ y las columnas $BC$ en código Gray:

   $A\backslash BC$	00	01	11	10
   0	0	1	0	0
   1	0	1	1	1

2. Grupo 1: la columna $BC=01$ (los mintérminos 1 y 5). Cambia $A$ y se mantienen $B=0$ y $C=1$:

   $\overline{B}\cdot C$

3. Grupo 2: las casillas $BC=11$ y $BC=10$ de la fila $A=1$ (los mintérminos 7 y 6). Cambia $C$ y se mantienen $A=1$ y $B=1$:

   $A\cdot B$

4. Los dos grupos cubren los cuatro unos (un tercer grupo con los mintérminos 5 y 7 sobraría). Función simplificada:

   $F=A\cdot B+\overline{B}\cdot C$

5. Para implementarla con NAND, la negamos dos veces y aplicamos De Morgan a la negación interior:

   $F$${}= \overline{\overline{A\cdot B+\overline{B}\cdot C}}$${}= \overline{\overline{A\cdot B}\cdot\overline{\overline{B}\cdot C}}$

6. Circuito con cuatro puertas NAND de dos entradas: una NAND con sus dos entradas unidas a $B$ da $\overline{B}$; otra NAND de $A$ y $B$ da $\overline{A\cdot B}$; una tercera NAND de $\overline{B}$ y $C$ da $\overline{\overline{B}\cdot C}$, y la NAND final de esas dos salidas da $F$.

Planteamiento Seguimos la señal de entrada $E$ por sus tres caminos y aplicamos las reglas de los bloques: los bloques en serie multiplican la señal, y en un sumador las señales se suman con su signo.

1. Primer sumador: le llega $G_1\,E$ con signo $+$ y la propia entrada $E$, por la derivación de abajo, con signo $-$:

   $X_1=G_1\,E-E=(G_1-1)\,E$

2. El bloque $G_2$ multiplica esa señal:

   $X_2=G_2\,(G_1-1)\,E$

3. Segundo sumador: le llegan $X_2$ y, por el camino de abajo, $G_3\,E$, las dos con signo $+$:

   $C=G_2\,(G_1-1)\,E+G_3\,E$

4. Dividimos entre $E$:

   $\dfrac{C}{E}$${}= G_2\,(G_1-1)+G_3$${}= G_1G_2-G_2+G_3$

Planteamiento Cada interruptor es una variable que vale 1 cuando está activado, y $S=1$ significa puerta abierta. Recorremos las 16 combinaciones de $A$, $B$, $C$ y $D$ y aplicamos las dos condiciones: $A=1$ con al menos otro interruptor a 1, o $A=0$ con $B$, $C$ y $D$ a 1.

1. Tabla de verdad:

   $A$	$B$	$C$	$D$	$S$
   0	0	0	0	0
   0	0	0	1	0
   0	0	1	0	0
   0	0	1	1	0
   0	1	0	0	0
   0	1	0	1	0
   0	1	1	0	0
   0	1	1	1	1
   1	0	0	0	0
   1	0	0	1	1
   1	0	1	0	1
   1	0	1	1	1
   1	1	0	0	1
   1	1	0	1	1
   1	1	1	0	1
   1	1	1	1	1

2. La puerta se abre en 8 combinaciones: la $0111$ y las que van de $1001$ a $1111$, es decir, los mintérminos 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14 y 15 (con $A$ como cifra de más peso):

   $S=\textstyle\sum m(7,\ 9,\ 10,\ 11,\ 12,\ 13,\ 14,\ 15)$

3. Forma canónica como suma de productos, un producto por cada fila con $S=1$; los cuatro primeros son:

   $S$${}= \overline{A}\cdot B\cdot C\cdot D$${}+A\cdot\overline{B}\cdot\overline{C}\cdot D$${}+A\cdot\overline{B}\cdot C\cdot\overline{D}$${}+A\cdot\overline{B}\cdot C\cdot D\,$

4. y los otros cuatro:

   $+\,A\cdot B\cdot\overline{C}\cdot\overline{D}$${}+A\cdot B\cdot\overline{C}\cdot D$${}+A\cdot B\cdot C\cdot\overline{D}$${}+A\cdot B\cdot C\cdot D$

5. Escrita directamente a partir de las dos condiciones del enunciado, sin desarrollar:

   $S=A\cdot(B+C+D)+\overline{A}\cdot B\cdot C\cdot D$

Planteamiento Llevamos los unos de la tabla a un mapa de Karnaugh de cuatro variables (filas $AB$ y columnas $CD$, las dos en código Gray) y los agrupamos en grupos de 2 o de 4 casillas adyacentes, lo más grandes posible.

1. Mapa de Karnaugh:

   $AB\backslash CD$	00	01	11	10
   00	0	0	0	0
   01	0	0	1	0
   11	1	1	1	1
   10	0	1	1	1

2. La fila $AB=11$ entera es un grupo de 4: en él solo se mantienen $A=1$ y $B=1$, así que da $A\cdot B$.

3. El cuadrado de las filas $11$ y $10$ con las columnas $01$ y $11$ es otro grupo de 4: en él se mantienen $A=1$ y $D=1$, y da $A\cdot D$. El de las filas $11$ y $10$ con las columnas $11$ y $10$ da $A\cdot C$.

4. Queda el uno de la casilla $AB=01$, $CD=11$: con su vecino de la fila $11$ forma una pareja en la que se mantienen $B$, $C$ y $D$, y da $B\cdot C\cdot D$.

5. Función simplificada, la suma de los cuatro grupos:

   $S=A\cdot B+A\cdot C+A\cdot D+B\cdot C\cdot D$

6. Sacando factor común $A$ en los tres primeros se ve lo que dice el enunciado, $A$ y al menos otro interruptor:

   $S=A\cdot(B+C+D)+B\cdot C\cdot D$

7. Implementación (circuito en la figura): tres puertas AND de dos entradas ($A\cdot B$, $A\cdot C$ y $A\cdot D$), una AND de tres entradas ($B\cdot C\cdot D$) y una OR de cuatro entradas que las suma. Con la forma factorizada bastan una OR de tres entradas para $B+C+D$, una AND de dos entradas con $A$, la AND de tres entradas y una OR de dos entradas a la salida.

Planteamiento Un sensor capacitivo detecta objetos sin tocarlos porque su presencia cambia la capacidad de un condensador formado por el propio sensor.

1. Principio: la cara activa del sensor tiene un electrodo (o dos placas) que forma un condensador con lo que tiene delante. Su capacidad depende de la permitividad $\varepsilon$ del medio, del área $S$ de las placas y de su distancia $d$:

   $C=\varepsilon\,\dfrac{S}{d}$

2. Cuando un objeto se acerca, cambia la permitividad del espacio que hay delante del sensor y, con ella, la capacidad. Un circuito oscilador detecta ese cambio y un comparador hace conmutar la salida del sensor. La distancia de detección se suele ajustar con un potenciómetro.

3. Como reaccionan a cualquier material, metálico o no (plástico, madera, vidrio, papel, líquidos, granos), sus aplicaciones típicas son: detectar el nivel de líquidos o de sólidos en depósitos y tolvas, incluso a través de una pared de plástico o de vidrio; detectar y contar piezas no metálicas en cintas transportadoras; detectar la presencia de objetos en máquinas; y las pantallas y los pulsadores táctiles.

Planteamiento $A$ vale 1 cuando hay dos o más señales de avería a 1. Recorremos las 16 combinaciones de $M_1$, $M_2$, $M_3$ y $M_4$ y contamos cuántos unos tiene cada una.

1. Tabla de verdad, con el número de averías de cada fila:

   $M_1$	$M_2$	$M_3$	$M_4$	Averías	$A$
   0	0	0	0	0	0
   0	0	0	1	1	0
   0	0	1	0	1	0
   0	0	1	1	2	1
   0	1	0	0	1	0
   0	1	0	1	2	1
   0	1	1	0	2	1
   0	1	1	1	3	1
   1	0	0	0	1	0
   1	0	0	1	2	1
   1	0	1	0	2	1
   1	0	1	1	3	1
   1	1	0	0	2	1
   1	1	0	1	3	1
   1	1	1	0	3	1
   1	1	1	1	4	1

2. $A=1$ en las 11 combinaciones con dos, tres o cuatro unos: los mintérminos 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14 y 15 (con $M_1$ como cifra de más peso):

   $A$${}= \textstyle\sum m(3,\ 5,\ 6,\ 7,\ 9,\ 10,\ 11,\ 12,\ 13,\ 14,\ 15)$

3. Forma canónica como suma de productos, un producto por cada fila con $A=1$; los cuatro primeros son:

   $A$${}= \overline{M_1}\cdot\overline{M_2}\cdot M_3\cdot M_4$${}+\overline{M_1}\cdot M_2\cdot\overline{M_3}\cdot M_4$${}+\overline{M_1}\cdot M_2\cdot M_3\cdot\overline{M_4}$${}+\overline{M_1}\cdot M_2\cdot M_3\cdot M_4\,$

4. los cuatro siguientes:

   $+\,M_1\cdot\overline{M_2}\cdot\overline{M_3}\cdot M_4$${}+M_1\cdot\overline{M_2}\cdot M_3\cdot\overline{M_4}$${}+M_1\cdot\overline{M_2}\cdot M_3\cdot M_4$${}+M_1\cdot M_2\cdot\overline{M_3}\cdot\overline{M_4}\,$

5. y los tres últimos:

   $+\,M_1\cdot M_2\cdot\overline{M_3}\cdot M_4$${}+M_1\cdot M_2\cdot M_3\cdot\overline{M_4}$${}+M_1\cdot M_2\cdot M_3\cdot M_4$

Planteamiento Llevamos los unos a un mapa de Karnaugh de cuatro variables (filas $M_1M_2$ y columnas $M_3M_4$, en código Gray) y los cubrimos con los grupos más grandes posibles.

1. Mapa de Karnaugh:

   $M_1M_2\backslash M_3M_4$	00	01	11	10
   00	0	0	1	0
   01	0	1	1	1
   11	1	1	1	1
   10	0	1	1	1

2. No hay grupos de 8, y cada uno se cubre con grupos de 4. La fila $M_1M_2=11$ da $M_1\cdot M_2$ y la columna $M_3M_4=11$ da $M_3\cdot M_4$.

3. Los cuatro cuadrados de $2\times 2$ casillas dan las otras parejas: filas $01$ y $11$ con columnas $01$ y $11$, $M_2\cdot M_4$; filas $01$ y $11$ con columnas $11$ y $10$, $M_2\cdot M_3$; filas $11$ y $10$ con columnas $01$ y $11$, $M_1\cdot M_4$; y filas $11$ y $10$ con columnas $11$ y $10$, $M_1\cdot M_3$.

4. Función simplificada: un producto por cada pareja de motores, porque basta que fallen dos cualesquiera:

   $A$${}= M_1\cdot M_2$${}+M_1\cdot M_3$${}+M_1\cdot M_4$${}+M_2\cdot M_3$${}+M_2\cdot M_4$${}+M_3\cdot M_4$

5. Implementación (circuito en la figura): seis puertas AND de dos entradas, una por pareja de motores, y una puerta OR de seis entradas que las suma y da $A$.

Planteamiento La diferencia está en si el sistema mide su salida y la usa para corregirse (realimentación) o no. Los dos diagramas de bloques están en la figura.

1. Lazo abierto: la salida no influye en la acción de control. El regulador actúa solo según la entrada (la consigna) y no comprueba si la salida es la deseada, así que no corrige las perturbaciones. Es sencillo y barato, pero poco preciso. Ejemplos: una tostadora con temporizador o una lavadora que sigue su programa.

2. Lazo cerrado o realimentado: un captador (sensor) mide la salida y la lleva a un comparador, que la resta de la consigna; con esa diferencia, la señal de error, el regulador actúa sobre el sistema hasta anularla. Corrige las perturbaciones y es más preciso, pero más complejo y caro, y puede volverse inestable. Ejemplo: la calefacción con termostato.

3. Diagrama de lazo abierto: la entrada pasa por el regulador, el actuador y el proceso hasta la salida, en línea. Diagrama de lazo cerrado: la entrada llega a un comparador, que la resta de la salida medida; la señal de error pasa por el regulador, el actuador y el proceso hasta la salida, y desde la salida el captador cierra el lazo de vuelta al comparador.

Planteamiento Evaluamos la función en las 8 combinaciones de $A$, $B$ y $C$: $F=1$ en una fila si al menos uno de los cinco productos vale 1 en ella.

1. Filas que pone a 1 cada producto: $\overline{A}\cdot B$, las de $A=0$ y $B=1$ ($010$ y $011$); $\overline{B}\cdot\overline{C}$, las de $B=0$ y $C=0$ ($000$ y $100$); y cada producto de tres variables, una sola fila ($101$, $110$ y $111$).

2. Tabla de verdad:

   $A$	$B$	$C$	$F$
   0	0	0	1
   0	0	1	0
   0	1	0	1
   0	1	1	1
   1	0	0	1
   1	0	1	1
   1	1	0	1
   1	1	1	1

3. $F$ vale 1 en todas las filas menos en la $001$. Forma canónica como suma de mintérminos:

   $F=\textstyle\sum m(0,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7)$

4. Escrita producto a producto, los cuatro primeros:

   $F$${}= \overline{A}\cdot\overline{B}\cdot\overline{C}$${}+\overline{A}\cdot B\cdot\overline{C}+\overline{A}\cdot B\cdot C$${}+A\cdot\overline{B}\cdot\overline{C}\,$

5. y los tres últimos:

   $+\,A\cdot\overline{B}\cdot C+A\cdot B\cdot\overline{C}+A\cdot B\cdot C$

6. Como solo hay un cero, la otra forma canónica, el producto de maxtérminos, tiene un único factor, el de la fila $001$:

   $F=\textstyle\prod M(1)=A+B+\overline{C}$

Planteamiento Llevamos los unos a un mapa de Karnaugh de tres variables (filas $A$ y columnas $BC$ en código Gray), los agrupamos y, después, pasamos la función a puertas NAND con las leyes de De Morgan.

1. Mapa de Karnaugh:

   $A\backslash BC$	00	01	11	10
   0	1	0	1	1
   1	1	1	1	1

2. Grupos de 4 casillas: la fila $A=1$ entera da $A$; las columnas $BC=11$ y $BC=10$ dan $B$; y las columnas $BC=00$ y $BC=10$, que son adyacentes porque el mapa se cierra por los lados, dan $\overline{C}$.

3. Función simplificada:

   $F=A+B+\overline{C}$

4. Para hacerla solo con puertas NAND la negamos dos veces y aplicamos De Morgan a la negación de dentro:

   $F=\overline{\overline{A+B+\overline{C}}}=\overline{\overline{A}\cdot\overline{B}\cdot C}$

5. Es una NAND de tres entradas, con entradas $\overline{A}$, $\overline{B}$ y $C$. Las negaciones también se hacen con NAND, uniendo sus dos entradas:

   $\overline{A}=\overline{A\cdot A}$$\overline{B}=\overline{B\cdot B}$

6. Circuito (en la figura): dos puertas NAND usadas como inversores, una con $A$ en sus dos entradas y otra con $B$, y una NAND de tres entradas que recibe $\overline{A}$, $\overline{B}$ y $C$ y da $F$. En total, tres puertas NAND.

Planteamiento Un RTD (detector de temperatura por resistencia) es un transductor cuya resistencia eléctrica cambia con la temperatura. Es un hilo o una película fina de un metal puro, normalmente platino (también níquel o cobre).

1. Principio: en un metal la resistencia aumenta con la temperatura (coeficiente de temperatura positivo), y lo hace de forma casi lineal:

   $R_T=R_0\,(1+\alpha\,\Delta T)$

2. $R_0$ es la resistencia a $0\ ^\circ\mathrm{C}$ y $\alpha$ el coeficiente de temperatura del metal, unos $3{,}85\cdot 10^{-3}\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}$ en el platino. Midiendo la resistencia, por ejemplo con un puente de Wheatstone, se conoce la temperatura.

3. Características: son muy precisos, estables y lineales; el más usado es el Pt100, de platino, con $100\ \Omega$ a $0\ ^\circ\mathrm{C}$; miden aproximadamente entre $-200$ y $850\ ^\circ\mathrm{C}$; responden más despacio que un termopar y son más caros; necesitan una pequeña corriente de medida, que los calienta un poco (autocalentamiento), y se conectan con 2, 3 o 4 hilos para compensar la resistencia de los cables.