Estructuras y esfuerzos: ejercicios de la PAU de Tecnología de Andalucía resueltos

Planteamiento La viga se apoya en sus extremos A ($x=0$) y B ($x=3$ m), con una carga de 2 kN en $x=1$ m y otra en $x=2$ m. Primero calculamos las reacciones con las ecuaciones de equilibrio; después, el momento flector en cada tramo: cortamos la viga en $x$ y sumamos los momentos de las fuerzas que quedan a la izquierda del corte (positivo si la viga se curva con la concavidad hacia arriba).

1. Equilibrio de momentos respecto al apoyo A:

   $R_B\cdot 3-2\cdot 1-2\cdot 2=0$

2. Despejamos la reacción en B:

   $R_B=\frac{2\cdot 1+2\cdot 2}{3}=2\ \mathrm{kN}$

3. Equilibrio de fuerzas verticales:

   $R_A=2+2-R_B=2\ \mathrm{kN}$

4. Tramo $0\le x\le 1$ m: a la izquierda del corte solo está $R_A$.

   $M(x)=R_A\,x=2x\ \mathrm{kN\cdot m}$

5. Tramo $1\le x\le 2$ m: se añade la primera carga, que gira en sentido contrario.

   $M(x)=2x-2\,(x-1)=2\ \mathrm{kN\cdot m}$

6. Tramo $2\le x\le 3$ m: se añade la segunda carga.

   $M(x)$${}= 2x-2\,(x-1)-2\,(x-2)$${}= 6-2x\ \mathrm{kN\cdot m}$

7. Valores en los puntos clave:

   $M(0)=0$$M(1)=M(2)=2\ \mathrm{kN\cdot m}$$M(3)=0$

8. El diagrama es un trapecio: el momento sube en línea recta de 0 a $2\ \mathrm{kN\cdot m}$ en el primer metro, se mantiene en $2\ \mathrm{kN\cdot m}$ entre las dos cargas (ahí el esfuerzo cortante es nulo) y baja en línea recta hasta 0 en el apoyo B. El máximo, $2\ \mathrm{kN\cdot m}$, está en todo el tramo central.

ResultadoReacciones $R_A=R_B=2$ kN. Momento flector: $M=2x\ \mathrm{kN\cdot m}$ de 0 a 1 m, $M=2\ \mathrm{kN\cdot m}$ (el máximo, constante) de 1 a 2 m y $M=6-2x\ \mathrm{kN\cdot m}$ de 2 a 3 m, con $M(0)=M(3)=0\ \mathrm{kN\cdot m}$ en los apoyos. Diagrama en la figura.