Circuitos de corriente alterna: ejercicios de la PAU de Tecnología de Andalucía resueltos

Planteamiento El generador da $V=230$ V eficaces a $f=50$ Hz. Los tres componentes están en serie, así que la impedancia total es la suma de las tres: $Z=R+j\,(X_L-X_C)$.

1. Valor máximo de la tensión:

   $V_0=\sqrt{2}\,V=\sqrt{2}\cdot 230\approx 325{,}3\ \mathrm{V}$

2. Pulsación:

   $\omega$${}= 2\pi f$${}= 2\pi\cdot 50$${}= 100\pi$${}\approx 314{,}16\ \mathrm{rad/s}$

3. Expresión de la tensión, tomándola como origen de fases:

   $v(t)=325{,}3\,\operatorname{sen}(100\pi\,t)\ \mathrm{V}$

4. Reactancia de la bobina ($L=0{,}1$ H):

   $X_L=\omega L=314{,}16\cdot 0{,}1\approx 31{,}416\ \Omega$

5. Reactancia del condensador ($C=50\cdot 10^{-6}$ F):

   $X_C$${}= \frac{1}{\omega C}=\frac{1}{314{,}16\cdot 50\cdot 10^{-6}}$${}\approx 63{,}662\ \Omega$

6. Impedancia total en forma binómica:

   $Z$${}= 50$${}+j\,(31{,}416-63{,}662)$${}= 50-32{,}246j\ \Omega$

7. Módulo:

   $|Z|$${}= \sqrt{R^2+X^2}$${}= \sqrt{50^2+32{,}246^2}$${}\approx 59{,}496\ \Omega$

8. Argumento:

   $\varphi=\arctan\frac{X}{R}=\arctan\frac{-32{,}246}{50}\approx -32{,}82^\circ$

9. Como $X_C>X_L$, la reactancia total es negativa: la impedancia es capacitiva, y la intensidad irá adelantada respecto a la tensión.

10. Triángulo de impedancias: un cateto horizontal $R=50\ \Omega$, un cateto vertical hacia abajo $X=X_L-X_C\approx -32{,}25\ \Omega$ (hacia abajo por ser capacitiva) y la hipotenusa $|Z|\approx 59{,}50\ \Omega$, que forma $32{,}82^\circ$ con $R$.

Resultado$v(t)=325{,}3\,\operatorname{sen}(100\pi\,t)$ V. $Z$${}\approx 50-32{,}25j\ \Omega$${}= 59{,}50\angle -32{,}82^\circ\ \Omega$: impedancia capacitiva, porque $X_C>X_L$. Triángulo de impedancias en la figura.

Planteamiento En un circuito serie la intensidad es la misma en los tres componentes, $I=V/|Z|$. La caída de tensión en cada uno es la intensidad por su resistencia o su reactancia.

1. Intensidad eficaz:

   $I=\frac{V}{|Z|}=\frac{230}{59{,}496}\approx 3{,}8658\ \mathrm{A}$

2. Como fasor, adelantada $32{,}82^\circ$ respecto a la tensión del generador (circuito capacitivo):

   $\vec I$${}= \frac{230\angle 0^\circ}{59{,}50\angle -32{,}82^\circ}$${}\approx 3{,}87\angle 32{,}82^\circ\ \mathrm{A}$

3. Tensión en la resistencia, en fase con la intensidad:

   $V_R=I\,R=3{,}8658\cdot 50\approx 193{,}3\ \mathrm{V}$

4. Tensión en la bobina, adelantada $90^\circ$ respecto a la intensidad:

   $V_L$${}= I\,X_L$${}= 3{,}8658\cdot 31{,}416$${}\approx 121{,}4\ \mathrm{V}$

5. Tensión en el condensador, retrasada $90^\circ$ respecto a la intensidad:

   $V_C$${}= I\,X_C$${}= 3{,}8658\cdot 63{,}662$${}\approx 246{,}1\ \mathrm{V}$

6. Ojo: la tensión del condensador es mayor que la del generador. No es un error: las tensiones de la bobina y del condensador están en oposición y en parte se anulan. Sumadas como fasores dan los 230 V:

   $\sqrt{V_R^2+(V_L-V_C)^2}$${}= \sqrt{193{,}3^2+(121{,}4-246{,}1)^2}$${}\approx 230\ \mathrm{V}$

Planteamiento Con la tensión y la intensidad eficaces y el desfase $\varphi\approx -32{,}82^\circ$: $S=VI$, $P=VI\cos\varphi$ y $Q=VI\operatorname{sen}\varphi$.

1. Potencia aparente:

   $S=V\,I=230\cdot 3{,}8658\approx 889{,}1\ \mathrm{VA}$

2. Potencia activa (la consume la resistencia):

   $P$${}= V I\cos\varphi$${}= 889{,}1\cdot\cos(-32{,}82^\circ)$${}\approx 747{,}2\ \mathrm{W}$

3. Potencia reactiva:

   $Q$${}= V I\operatorname{sen}\varphi$${}= 889{,}1\cdot\operatorname{sen}(-32{,}82^\circ)$${}\approx -481{,}9\ \mathrm{VAr}$

4. Comprobación con la resistencia: $P=I^2R=3{,}8658^2\cdot 50\approx 747{,}2$ W. Y con el triángulo de potencias:

   $S$${}= \sqrt{P^2+Q^2}$${}= \sqrt{747{,}2^2+481{,}9^2}$${}\approx 889{,}1\ \mathrm{VA}$

Planteamiento Los tres componentes están en serie con el generador ($V=230$ V eficaces, $f=50$ Hz), así que la impedancia total es $Z=R+j\,(X_L-X_C)$.

1. Pulsación:

   $\omega=2\pi f=100\pi\approx 314{,}16\ \mathrm{rad/s}$

2. Reactancia de la bobina ($L=0{,}15$ H):

   $X_L$${}= \omega L=314{,}16\cdot 0{,}15$${}\approx 47{,}124\ \Omega$

3. Reactancia del condensador ($C=20\cdot 10^{-6}$ F):

   $X_C$${}= \frac{1}{\omega C}=\frac{1}{314{,}16\cdot 20\cdot 10^{-6}}$${}\approx 159{,}15\ \Omega$

4. Impedancia total en forma binómica:

   $Z$${}= 50$${}+j\,(47{,}124-159{,}15)$${}\approx 50-112{,}03j\ \Omega$

5. Módulo:

   $|Z|$${}= \sqrt{50^2+112{,}03^2}$${}\approx 122{,}68\ \Omega$

6. Argumento:

   $\varphi=\arctan\frac{-112{,}03}{50}\approx -65{,}95^\circ$

7. Como $X_C>X_L$, la impedancia es capacitiva. Triángulo de impedancias: un cateto horizontal $R=50\ \Omega$, un cateto vertical hacia abajo $X=X_L-X_C\approx -112{,}03\ \Omega$ y la hipotenusa $|Z|\approx 122{,}68\ \Omega$, que forma $65{,}95^\circ$ con $R$.

Resultado$Z$${}\approx 50-112{,}03j\ \Omega$${}= 122{,}68\angle -65{,}95^\circ\ \Omega$, capacitiva porque $X_C>X_L$. Triángulo de impedancias en la figura.

Planteamiento En el circuito serie solo hay una intensidad: la tensión del generador entre el módulo de la impedancia.

1. Intensidad eficaz:

   $I=\frac{V}{|Z|}=\frac{230}{122{,}68}\approx 1{,}8748\ \mathrm{A}$

2. Como fasor, adelantada $65{,}95^\circ$ respecto a la tensión (circuito capacitivo):

   $\vec I$${}= \frac{230\angle 0^\circ}{122{,}68\angle -65{,}95^\circ}$${}\approx 1{,}87\angle 65{,}95^\circ\ \mathrm{A}$

Planteamiento La caída de tensión en cada componente es la intensidad por su resistencia o su reactancia.

1. Resistencia, en fase con la intensidad:

   $V_R=I\,R=1{,}8748\cdot 50\approx 93{,}74\ \mathrm{V}$

2. Bobina, adelantada $90^\circ$ respecto a la intensidad:

   $V_L$${}= I\,X_L$${}= 1{,}8748\cdot 47{,}124$${}\approx 88{,}35\ \mathrm{V}$

3. Condensador, retrasada $90^\circ$ respecto a la intensidad:

   $V_C$${}= I\,X_C$${}= 1{,}8748\cdot 159{,}15$${}\approx 298{,}4\ \mathrm{V}$

4. Ojo: la tensión del condensador supera la del generador. Las de la bobina y el condensador están en oposición; sumadas como fasores, las tres dan los 230 V:

   $\sqrt{V_R^2+(V_L-V_C)^2}$${}= \sqrt{93{,}74^2+(88{,}35-298{,}4)^2}$${}\approx 230\ \mathrm{V}$