Materiales: propiedades, ensayos y tratamientos: ejercicios de la PAU de Tecnología de Andalucía resueltos

Planteamiento La designación 160 HB 5 650 20 quiere decir: dureza Brinell 160, bola de $D=5$ mm, carga $F=650$ kp aplicada durante 20 s. La dureza Brinell es la carga entre la superficie del casquete esférico que deja la bola, $S=\pi D f$, donde $f$ es la profundidad de la huella.

1. Dureza Brinell:

   $\mathrm{HB}=\frac{F}{S}=\frac{F}{\pi D f}$

2. Despejamos la superficie de la huella:

   $S=\frac{F}{\mathrm{HB}}=\frac{650}{160}=4{,}0625\ \mathrm{mm^2}$

3. Despejamos la profundidad de $S=\pi D f$:

   $f$${}= \frac{S}{\pi D}=\frac{4{,}0625}{\pi\cdot 5}$${}\approx 0{,}25863\ \mathrm{mm}$

4. Por la geometría de la esfera, la profundidad y el diámetro $d$ de la huella están relacionados así:

   $f=\frac{D-\sqrt{D^2-d^2}}{2}$

5. Despejamos la raíz:

   $\sqrt{D^2-d^2}$${}= D-2f$${}= 5-2\cdot 0{,}25863$${}\approx 4{,}4827\ \mathrm{mm}$

6. Elevamos al cuadrado y despejamos $d$:

   $d$${}= \sqrt{D^2-(D-2f)^2}$${}= \sqrt{5^2-4{,}4827^2}$${}\approx 2{,}21\ \mathrm{mm}$

Planteamiento Templado, el acero tiene el doble de dureza: $\mathrm{HB}'=2\cdot 160=320$. Con la misma bola y una huella igual, la superficie del casquete es la del apartado a), $S=4{,}0625\ \mathrm{mm^2}$.

1. Despejamos la carga de la definición de dureza:

   $F'=\mathrm{HB}'\cdot S$

2. Sustituimos:

   $F'=320\cdot 4{,}0625=1\,300\ \mathrm{kp}$

3. En newtons ($1\ \mathrm{kp}=9{,}81\ \mathrm{N}$):

   $F'$${}= 1\,300\cdot 9{,}81$${}= 12\,753\ \mathrm{N}$${}\approx 12{,}75\ \mathrm{kN}$

4. Con la misma huella, la carga crece en la misma proporción que la dureza:

   $\frac{F'}{F}=\frac{\mathrm{HB}'}{\mathrm{HB}}=\frac{320}{160}=2$

Planteamiento La resiliencia es la energía que absorbe la probeta al romperse dividida entre su sección resistente, la que queda bajo la entalla. Esa energía es la energía potencial que pierde el péndulo entre la altura de partida, $h_0=1{,}2$ m, y la que alcanza después del impacto, $h_1=0{,}30$ m.

1. Energía absorbida por la probeta (tomamos $g=9{,}81\ \mathrm{m/s^2}$):

   $E$${}= m\,g\,(h_0-h_1)$${}= 8\cdot 9{,}81\cdot(1{,}2-0{,}30)$${}\approx 70{,}63\ \mathrm{J}$

2. Sección resistente: el lado de 12 mm por lo que queda bajo la entalla, $12-3=9$ mm:

   $S_0=12\cdot 9=108\ \mathrm{mm^2}$

3. Resiliencia:

   $\rho$${}= \frac{E}{S_0}$${}= \frac{70{,}63}{108}$${}\approx 0{,}654\ \mathrm{J/mm^2}$

4. En unidades del SI ($1\ \mathrm{mm^2}=10^{-6}\ \mathrm{m^2}$):

   $\rho$${}\approx 0{,}654\cdot 10^{6}$${}= 6{,}54\cdot 10^{5}\ \mathrm{J/m^2}$

Planteamiento La resiliencia es una propiedad del material: la segunda probeta tiene la misma, pero menos sección bajo la entalla. Absorbe menos energía y el péndulo sube más.

1. Sección resistente con la entalla de 5 mm:

   $S_0'=12\cdot(12-5)=84\ \mathrm{mm^2}$

2. Energía que absorbe, con la resiliencia del apartado a):

   $E'=\rho\,S_0'=0{,}654\cdot 84\approx 54{,}94\ \mathrm{J}$

3. Balance de energía del péndulo, que sube hasta una altura $h_2$:

   $m\,g\,h_0-m\,g\,h_2=E'$

4. Despejamos la altura final:

   $h_2$${}= h_0-\frac{E'}{m\,g}$${}= 1{,}2-\frac{54{,}94}{8\cdot 9{,}81}$${}\approx 0{,}50\ \mathrm{m}$

5. El resultado no depende de $g$: la energía absorbida es proporcional a la sección, y la altura que pierde el péndulo también.

   $h_0-h_2$${}= (h_0-h_1)\,\frac{S_0'}{S_0}$${}= 0{,}9\cdot\frac{84}{108}$${}= 0{,}7\ \mathrm{m}$

Planteamiento En el ensayo Brinell la carga se elige con el coeficiente del ensayo $K$: $F=K\,D^2$. La gráfica da $K$ para cada diámetro de huella y cada tiempo. Con la carga, la dureza es la carga entre la superficie del casquete esférico de la huella.

1. Lectura de la gráfica: en la recta de 20 s (triángulos), para $d=2{,}40$ mm:

   $K=4{,}5\ \mathrm{kp/mm^2}$

2. Carga del ensayo, con $D=10$ mm:

   $F=K\,D^2=4{,}5\cdot 10^2=450\ \mathrm{kp}$

3. Profundidad de la huella:

   $f$${}= \frac{D-\sqrt{D^2-d^2}}{2}$${}= \frac{10-\sqrt{10^2-2{,}40^2}}{2}$${}\approx 0{,}14614\ \mathrm{mm}$

4. Superficie del casquete:

   $S$${}= \pi D f$${}= \pi\cdot 10\cdot 0{,}14614$${}\approx 4{,}591\ \mathrm{mm^2}$

5. Dureza Brinell:

   $\mathrm{HB}$${}= \frac{F}{S}=\frac{450}{4{,}591}$${}\approx 98\ \mathrm{kp/mm^2}$

6. Expresión normalizada: el valor de la dureza, las letras HB, el diámetro de la bola en mm, la carga en kp y el tiempo en s: 98 HB 10 450 20.

Planteamiento La dureza Vickers es la carga entre la superficie de la huella piramidal: $\mathrm{HV}=1{,}8544\,F/d^2$, con $F$ en kp y la diagonal media $d$ en mm. El $1{,}8544$ sale de la geometría de la pirámide de diamante, cuyas caras opuestas forman $136^\circ$: es $2\operatorname{sen}68^\circ$. Tomamos $\mathrm{HV}\approx\mathrm{HB}\approx 98$.

1. Dureza Vickers:

   $\mathrm{HV}=\frac{1{,}8544\,F}{d^2}$

2. Despejamos la diagonal:

   $d=\sqrt{\frac{1{,}8544\,F}{\mathrm{HV}}}$

3. Sustituimos, con $F=300$ kp:

   $d=\sqrt{\frac{1{,}8544\cdot 300}{98}}\approx 2{,}38\ \mathrm{mm}$

4. Expresión normalizada: el valor de la dureza, las letras HV y la carga en kp. El tiempo solo se añade detrás de la carga si no es el normal, de 10 a 15 s.

Planteamiento En la zona elástica, el tramo recto del diagrama que va del origen al punto A, la tensión es proporcional a la deformación (ley de Hooke). El módulo de elasticidad es la pendiente de ese tramo y se calcula con las coordenadas de A.

1. Leemos el punto A en el diagrama. En el eje vertical hay cuatro divisiones de 0 a 100 MPa, así que cada una vale 25 MPa, y A está a la altura de la sexta:

   $\sigma_A=6\cdot 25=150\ \mathrm{MPa}$

2. En el eje horizontal hay cuatro divisiones de 0 a $0{,}005$, así que cada una vale $0{,}005/4=0{,}00125$, y A está sobre la segunda:

   $\varepsilon_A=2\cdot 0{,}00125=0{,}0025$

3. Ley de Hooke, despejando el módulo de elasticidad:

   $\sigma=E\,\varepsilon\ \Rightarrow\ E=\dfrac{\sigma_A}{\varepsilon_A}$

4. Sustituimos (la deformación unitaria no tiene unidades):

   $E$${}= \dfrac{150\ \mathrm{MPa}}{0{,}0025}$${}= 60\,000\ \mathrm{MPa}$${}= 6\cdot 10^{10}\ \mathrm{Pa}$

Planteamiento Calculamos la tensión que produce la carga. Si no pasa del límite elástico, la probeta se deforma según la ley de Hooke y el alargamiento es la deformación unitaria por la longitud inicial.

1. Sección de la probeta, con el radio $r=12{,}5\ \mathrm{mm}=0{,}0125\ \mathrm{m}$:

   $S_0$${}= \pi r^2$${}= \pi\cdot 0{,}0125^2$${}\approx 4{,}909\cdot 10^{-4}\ \mathrm{m^2}$

2. Tensión que produce la carga:

   $\sigma$${}= \dfrac{F}{S_0}$${}= \dfrac{20\,000\ \mathrm{N}}{4{,}909\cdot 10^{-4}\ \mathrm{m^2}}$${}\approx 4{,}074\cdot 10^{7}\ \mathrm{Pa}$${}= 40{,}74\ \mathrm{MPa}$

3. Es menor que el límite elástico ($40{,}74\ \mathrm{MPa}<150\ \mathrm{MPa}$): la probeta trabaja en la zona elástica. Despejamos la deformación unitaria de la ley de Hooke, con el módulo del apartado a:

   $\varepsilon$${}= \dfrac{\sigma}{E}$${}= \dfrac{40{,}74\ \mathrm{MPa}}{60\,000\ \mathrm{MPa}}$${}\approx 6{,}79\cdot 10^{-4}$

4. De $\varepsilon=\Delta L/L_0$ despejamos el alargamiento, con $L_0=75\ \mathrm{mm}=0{,}075\ \mathrm{m}$:

   $\Delta L$${}= \varepsilon\,L_0$${}= 6{,}79\cdot 10^{-4}\cdot 0{,}075\ \mathrm{m}$${}\approx 5{,}09\cdot 10^{-5}\ \mathrm{m}$

Planteamiento Sin deformación permanente quiere decir sin pasar del límite elástico. La carga máxima es la que produce en la sección de la probeta la tensión del punto A.

1. Despejamos la carga de $\sigma=F/S_0$:

   $F_{\text{máx}}=\sigma_A\,S_0$

2. Sustituimos $\sigma_A=150\ \mathrm{MPa}=1{,}5\cdot 10^{8}\ \mathrm{Pa}$ y la sección del apartado b:

   $F_{\text{máx}}$${}= 1{,}5\cdot 10^{8}\ \mathrm{Pa}\cdot 4{,}909\cdot 10^{-4}\ \mathrm{m^2}$${}\approx 7{,}36\cdot 10^{4}\ \mathrm{N}$

Planteamiento La dureza Brinell es la carga, en kp, dividida entre el área del casquete esférico que deja la bola, en $\mathrm{mm^2}$. La expresión normalizada da el valor seguido de HB y de las condiciones del ensayo: diámetro de la bola, carga y tiempo.

1. Área del casquete esférico de la huella, con $D$ el diámetro de la bola y $d$ el de la huella:

   $S=\dfrac{\pi D}{2}\left(D-\sqrt{D^2-d^2}\right)$

2. Sustituimos $D=5\ \mathrm{mm}$ y $d=2{,}5\ \mathrm{mm}$ en la raíz:

   $\sqrt{D^2-d^2}$${}= \sqrt{25-6{,}25}$${}= \sqrt{18{,}75}$${}\approx 4{,}3301\ \mathrm{mm}$

3. Área de la huella:

   $S$${}= \dfrac{\pi\cdot 5}{2}\cdot(5-4{,}3301)$${}\approx 7{,}854\cdot 0{,}6699$${}\approx 5{,}261\ \mathrm{mm^2}$

4. Dureza Brinell:

   $\mathrm{HB}$${}= \dfrac{F}{S}$${}= \dfrac{725\ \mathrm{kp}}{5{,}261\ \mathrm{mm^2}}$${}\approx 137{,}8\ \mathrm{kp/mm^2}$

5. El ensayo es correcto: la constante de ensayo es $K$${}= F/D^2$${}= 725/25$${}= 29\ \mathrm{kp/mm^2}$, prácticamente la de 30 que se usa con los aceros, y la huella mide la mitad del diámetro de la bola, dentro del margen habitual ($0{,}24\,D\le d\le 0{,}6\,D$).

   $\dfrac{d}{D}=\dfrac{2{,}5}{5}=0{,}5$

6. En la expresión normalizada, el valor se redondea a un número entero y detrás de HB se escriben el diámetro de la bola en mm, la carga en kp y la duración en s:

   $138\ \mathrm{HB}\ 5/725/20$

Planteamiento La dureza Vickers es la carga, en kp, dividida entre el área lateral de la huella piramidal, en $\mathrm{mm^2}$. Para una pirámide de base cuadrada con $136^\circ$ entre caras opuestas, esa área es $d^2/(2\,\mathrm{sen}\,68^\circ)$${}= d^2/1{,}8544$, con $d$ la diagonal media de la huella.

1. Diagonal media de la huella:

   $d$${}= \dfrac{d_1+d_2}{2}$${}= \dfrac{1{,}25+1{,}23}{2}$${}= 1{,}24\ \mathrm{mm}$

2. Dureza Vickers:

   $\mathrm{HV}=\dfrac{F}{S}=\dfrac{1{,}8544\,F}{d^2}$

3. Sustituimos $F=120\ \mathrm{kp}$ y $d=1{,}24\ \mathrm{mm}$:

   $\mathrm{HV}$${}= \dfrac{1{,}8544\cdot 120}{1{,}24^2}$${}= \dfrac{222{,}5}{1{,}5376}$${}\approx 144{,}7\ \mathrm{kp/mm^2}$

4. En la expresión normalizada, el valor redondeado va seguido de HV, la carga en kp y el tiempo en s:

   $145\ \mathrm{HV}\ 120/10$

5. Cuando la carga se mantiene el tiempo normal del ensayo (de 10 a 15 s), la norma permite no escribir el tiempo: $145\ \mathrm{HV}\ 120$.

Planteamiento La dureza Brinell es la carga, en kp, dividida entre el área del casquete esférico de la huella, en $\mathrm{mm^2}$. Calculamos esa área, despejamos la carga y la pasamos a newtons con $1\ \mathrm{kp}=9{,}8\ \mathrm{N}$.

1. Área del casquete esférico, con $D=5\ \mathrm{mm}$ y $d=2\ \mathrm{mm}$:

   $S$${}= \dfrac{\pi D}{2}\left(D-\sqrt{D^2-d^2}\right)$${}= \dfrac{\pi\cdot 5}{2}\left(5-\sqrt{21}\right)$

2. Con $\pi\cdot 5/2\approx 7{,}854$ y $5-\sqrt{21}\approx 0{,}41742$:

   $S$${}\approx 7{,}854\cdot 0{,}41742$${}\approx 3{,}2784\ \mathrm{mm^2}$

3. Despejamos la carga de $\mathrm{HB}=F/S$:

   $F$${}= \mathrm{HB}\cdot S$${}= 80\ \mathrm{kp/mm^2}\cdot 3{,}2784\ \mathrm{mm^2}$${}\approx 262{,}3\ \mathrm{kp}$

4. En newtons, con $1\ \mathrm{kp}=9{,}8\ \mathrm{N}$:

   $F\approx 80\cdot 3{,}2784\cdot 9{,}8\ \mathrm{N}\approx 2\,570\ \mathrm{N}$

5. Ojo: con $1\ \mathrm{kp}=9{,}81\ \mathrm{N}$ sale $2\,573\ \mathrm{N}$; redondeado a tres cifras, el resultado es el mismo.

Planteamiento La constante de ensayo relaciona la carga con el diámetro de la bola, $K=F/D^2$, con $F$ en kp y $D$ en mm. Se elige según el material: 30 para aceros y fundiciones, 10 para el cobre y sus aleaciones, 5 para el aluminio y los metales blandos…

1. Despejamos de $F=K\,D^2$:

   $K=\dfrac{F}{D^2}$

2. Sustituimos la carga del apartado a, $F\approx 262{,}3\ \mathrm{kp}$, y $D=5\ \mathrm{mm}$:

   $K$${}= \dfrac{262{,}3\ \mathrm{kp}}{25\ \mathrm{mm^2}}$${}\approx 10{,}5\ \mathrm{kp/mm^2}$

3. El valor normalizado más próximo es $K=10$, el que se usa con el cobre, los latones, los bronces y otros metales de dureza media, coherente con una dureza de 80 HB.

Planteamiento La expresión normalizada escribe el valor de la dureza, el símbolo HB y las condiciones del ensayo: el diámetro de la bola en mm, la carga en kp y la duración en s.

1. Dureza 80, bola de 5 mm, carga de unos 262 kp (apartado a) y 30 s:

   $80\ \mathrm{HB}\ 5/262/30$

2. Si se redondeara la carga al valor normalizado $K\,D^2=10\cdot 5^2=250$ kp, la expresión sería $80\ \mathrm{HB}\ 5/250/30$, pero con esa carga la dureza no sale 80 (sale $76{,}3$).

Planteamiento La resiliencia es la energía que absorbe la probeta al romperse dividida entre su sección en la entalla. El martillo pierde esa energía: la que le queda, su energía potencial inicial menos la absorbida, lo eleva hasta la altura final.

1. Sección de la probeta en la entalla: el lado de 10 mm por lo que queda del otro lado después de la entalla de 2 mm:

   $S_0$${}= 10\ \mathrm{mm}\cdot(10-2)\ \mathrm{mm}$${}= 80\ \mathrm{mm^2}$${}= 0{,}8\ \mathrm{cm^2}$

2. Energía absorbida en la rotura, despejada de la resiliencia $\rho=E_{\text{abs}}/S_0$:

   $E_{\text{abs}}$${}= \rho\,S_0$${}= 220\ \mathrm{J/cm^2}\cdot 0{,}8\ \mathrm{cm^2}$${}= 176\ \mathrm{J}$

3. Energía potencial inicial del martillo, con $h=150\ \mathrm{cm}=1{,}5\ \mathrm{m}$ y $g=9{,}8\ \mathrm{m/s^2}$:

   $E_p=m\,g\,h=35\cdot 9{,}8\cdot 1{,}5=514{,}5\ \mathrm{J}$

4. Conservación de la energía: la que queda después del golpe eleva el martillo hasta la altura $h'$. Despejamos $h'$:

   $m\,g\,h'$${}= m\,g\,h-E_{\text{abs}}$${}\Rightarrow h'=h-\dfrac{E_{\text{abs}}}{m\,g}$

5. Sustituimos:

   $h'$${}= 1{,}5-\dfrac{176}{35\cdot 9{,}8}$${}= 1{,}5-\dfrac{176}{343}$${}\approx 1{,}5-0{,}513$${}= 0{,}987\ \mathrm{m}$

Planteamiento La probeta es la misma, así que al romperse absorbe la misma energía, 176 J. La energía sobrante es la potencial inicial del nuevo martillo menos esa energía.

1. Energía potencial inicial del martillo de 20 kg:

   $E_p=m\,g\,h=20\cdot 9{,}8\cdot 1{,}75=343\ \mathrm{J}$

2. Es mayor que los 176 J que absorbe la probeta, así que la rompe. Energía sobrante tras el impacto:

   $E_{\text{sobrante}}$${}= E_p-E_{\text{abs}}$${}= 343\ \mathrm{J}-176\ \mathrm{J}$${}= 167\ \mathrm{J}$

3. Esa energía elevaría el martillo, después del golpe, hasta la altura:

   $h'$${}= \dfrac{E_{\text{sobrante}}}{m\,g}$${}= \dfrac{167}{20\cdot 9{,}8}$${}\approx 0{,}852\ \mathrm{m}$

Planteamiento La dureza Vickers es la carga $F$ dividida entre el área lateral de la huella que deja una pirámide de diamante de base cuadrada con $136^\circ$ entre caras opuestas. Esa área vale $d^2/1{,}8544$, con $d$ la diagonal media de la huella, así que $HV=1{,}8544\,F/d^2$, con $F$ en kp y $d$ en mm.

1. Diagonal media de la huella: el enunciado da una sola diagonal, así que la media es esa.

   $d=0{,}773\ \mathrm{mm}$

2. Fórmula de la dureza Vickers (la constante sale de la geometría de la pirámide, $2\operatorname{sen}68^\circ\approx 1{,}8544$):

   $HV=\dfrac{F}{S}=\dfrac{1{,}8544\,F}{d^2}$

3. Sustituimos $F=120$ kp y $d=0{,}773$ mm:

   $HV$${}= \dfrac{1{,}8544\cdot 120}{0{,}773^2}$${}= \dfrac{222{,}5}{0{,}5975}$${}\approx 372\ \mathrm{kp/mm^2}$

4. En el SI, con $1\ \mathrm{kp}=9{,}8\ \mathrm{N}$ y $1\ \mathrm{mm^2}=10^{-6}\ \mathrm{m^2}$:

   $372\ \mathrm{kp/mm^2}\cdot 9{,}8\ \mathrm{N/kp}$${}\approx 3\,646\ \mathrm{N/mm^2}$${}\approx 3{,}65\cdot 10^{9}\ \mathrm{Pa}$

5. Expresión normalizada: el valor de la dureza, las letras HV y la carga en kp. El tiempo de aplicación solo se añade cuando no es el normal, de 10 a 15 s; el enunciado no lo da.

   $372\ \mathrm{HV}\ 120$

Planteamiento Es el mismo material, así que la dureza no cambia: despejamos la carga de la fórmula de Vickers con la nueva diagonal y la pasamos a newtons.

1. Despejamos $F$ de $HV=1{,}8544\,F/d^2$:

   $F=\dfrac{HV\cdot d^2}{1{,}8544}$

2. Sustituimos $HV=372\ \mathrm{kp/mm^2}$ y $d=0{,}1$ mm:

   $F=\dfrac{372\cdot 0{,}1^2}{1{,}8544}\approx 2{,}01\ \mathrm{kp}$

3. Sin redondear la dureza sale lo mismo, porque a igual dureza la carga va con el cuadrado de la diagonal:

   $F$${}= 120\cdot\left(\dfrac{0{,}1}{0{,}773}\right)^2$${}\approx 2{,}01\ \mathrm{kp}$

4. Pasamos a newtons con $1\ \mathrm{kp}=9{,}8\ \mathrm{N}$:

   $F\approx 2{,}01\cdot 9{,}8\approx 19{,}7\ \mathrm{N}$

Planteamiento Las dos son formas de plasticidad, la capacidad de un material de deformarse de forma permanente sin romperse. Se distinguen por el tipo de esfuerzo y por la forma que se consigue.

1. Maleabilidad: capacidad de un material para deformarse plásticamente bajo esfuerzos de compresión (martilleo, laminación) y extenderse en láminas o chapas finas sin romperse. Son muy maleables el oro, el aluminio y el cobre: con ellos se hacen el pan de oro o el papel de aluminio.

2. Ductilidad: capacidad de un material para deformarse plásticamente bajo esfuerzos de tracción y estirarse en hilos o alambres sin romperse. Son dúctiles el cobre de los cables eléctricos o el acero de bajo carbono; en el ensayo de tracción se mide por el alargamiento a la rotura.

Planteamiento La tensión (esfuerzo unitario) es la fuerza dividida entre la sección inicial de la probeta, $\sigma=F/S_0$. Primero calculamos esa sección, que es un círculo de $13{,}8$ mm de diámetro.

1. Sección inicial, con $d_0=13{,}8$ mm:

   $S_0$${}= \dfrac{\pi d_0^2}{4}$${}= \dfrac{\pi\cdot 13{,}8^2}{4}$${}\approx 149{,}6\ \mathrm{mm^2}$

2. En metros cuadrados ($1\ \mathrm{mm^2}=10^{-6}\ \mathrm{m^2}$):

   $S_0\approx 1{,}496\cdot 10^{-4}\ \mathrm{m^2}$

3. Tensión, con $F=20\,000$ N:

   $\sigma$${}= \dfrac{F}{S_0}$${}= \dfrac{20\,000}{1{,}496\cdot 10^{-4}}$${}\approx 1{,}34\cdot 10^{8}\ \mathrm{Pa}$

4. Es lo mismo que $20\,000\ \mathrm{N}$ entre $149{,}6\ \mathrm{mm^2}$:

   $\sigma\approx 133{,}7\ \mathrm{N/mm^2}=133{,}7\ \mathrm{MPa}$

Planteamiento El alargamiento es lo que se estira la probeta, $\Delta L=L-L_0$. La deformación unitaria es ese alargamiento por unidad de longitud inicial, $\varepsilon=\Delta L/L_0$, y no tiene unidades.

1. Alargamiento:

   $\Delta L=L-L_0=105-100=5\ \mathrm{mm}$

2. En el SI:

   $\Delta L=5\cdot 10^{-3}\ \mathrm{m}$

3. Deformación unitaria:

   $\varepsilon=\dfrac{\Delta L}{L_0}=\dfrac{5}{100}=0{,}05$

4. En porcentaje, la probeta se ha alargado un $5\ \%$ de su longitud inicial.

   $\varepsilon\cdot 100=5\ \%$

Planteamiento Un tratamiento térmico es un proceso en el que el metal, siempre en estado sólido, se calienta hasta una temperatura determinada, se mantiene a esa temperatura un tiempo y se enfría a una velocidad controlada.

1. Qué consiguen: cambian la estructura interna del metal (sus constituyentes y el tamaño de grano) sin cambiar su composición química y, con ella, sus propiedades mecánicas: dureza, resistencia, tenacidad, ductilidad o tensiones internas.

2. Las variables que se controlan son tres: la temperatura de calentamiento, el tiempo de permanencia y la velocidad de enfriamiento (en agua, en aceite, al aire o dentro del horno).

3. Ejemplo 1, el temple: se calienta el acero por encima de su temperatura crítica y se enfría muy deprisa, en agua o en aceite. Aumentan su dureza y su resistencia, pero queda frágil.

4. Ejemplo 2, el recocido: se calienta y se enfría muy despacio, normalmente dentro del horno. Ablanda el metal, elimina tensiones internas y mejora su ductilidad y su mecanizado. Otros tratamientos son el revenido, que se hace después del temple para reducir su fragilidad, y el normalizado.

Planteamiento La dureza Brinell es la carga dividida entre el área del casquete esférico que deja la bola en el material: $HB=F/S$, con $S=\pi D f$, donde $D$ es el diámetro de la bola y $f$ la profundidad de la huella, que sale de $D$ y del diámetro de la huella, $d$.

1. Profundidad de la huella, con $D=5$ mm y $d=2$ mm:

   $f$${}= \dfrac{D-\sqrt{D^2-d^2}}{2}$${}= \dfrac{5-\sqrt{5^2-2^2}}{2}$${}\approx 0{,}2087\ \mathrm{mm}$

2. Área del casquete:

   $S$${}= \pi D f$${}= \pi\cdot 5\cdot 0{,}2087$${}\approx 3{,}278\ \mathrm{mm^2}$

3. Dureza Brinell, con $F=250$ kp:

   $HB$${}= \dfrac{F}{S}$${}= \dfrac{250}{3{,}278}$${}\approx 76{,}3\ \mathrm{kp/mm^2}$

4. En el SI, con $1\ \mathrm{kp}=9{,}8\ \mathrm{N}$:

   $76{,}3\ \mathrm{kp/mm^2}\cdot 9{,}8\ \mathrm{N/kp}$${}\approx 748\ \mathrm{N/mm^2}$${}\approx 7{,}48\cdot 10^{8}\ \mathrm{Pa}$

5. Expresión normalizada: la dureza (redondeada a $76$), las letras HB y, detrás, el diámetro de la bola en mm, la carga en kp y el tiempo en s; también se escribe $76\ \mathrm{HB}\ 5/250/15$:

   $76\ \mathrm{HB}\ 5\ 250\ 15$

Planteamiento Para que la dureza salga igual con otra bola, el ensayo tiene que ser semejante: se mantiene la constante del ensayo, $K=F/D^2$, y la huella guarda la misma proporción con la bola, $d/D$.

1. Constante del ensayo con la bola de 5 mm:

   $K$${}= \dfrac{F}{D^2}$${}= \dfrac{250}{5^2}$${}= 10\ \mathrm{kp/mm^2}$

2. Carga con la bola de 10 mm, despejando de $K=F'/(D')^2$:

   $F'$${}= K\,(D')^2$${}= 10\cdot 10^2$${}= 1\,000\ \mathrm{kp}$

3. En newtons:

   $F'=1\,000\cdot 9{,}8=9\,800\ \mathrm{N}$

4. Diámetro de la huella: la misma proporción con la bola; como la bola es el doble, la huella también:

   $\dfrac{d'}{D'}$${}= \dfrac{d}{D}$${}\Longrightarrow d'=10\cdot\dfrac{2}{5}$${}= 4\ \mathrm{mm}$

5. Comprobación con la fórmula de Brinell, primero la profundidad de la nueva huella:

   $f'$${}= \dfrac{10-\sqrt{10^2-4^2}}{2}$${}\approx 0{,}4174\ \mathrm{mm}$

6. y la dureza, que es la misma:

   $HB$${}= \dfrac{1\,000}{\pi\cdot 10\cdot 0{,}4174}$${}\approx 76{,}3\ \mathrm{kp/mm^2}$

Planteamiento El diagrama representa la tensión $\sigma$ frente a la deformación unitaria $\varepsilon$ de una probeta que se estira hasta romperse. Cada punto marca el final de una zona del ensayo.

1. P, límite de proporcionalidad: hasta este punto la tensión es proporcional a la deformación (tramo recto, ley de Hooke):

   $\sigma=E\,\varepsilon$

2. E, límite elástico: la mayor tensión con la que el material recupera su forma al quitar la carga. Entre P y E la deformación todavía es elástica, aunque ya no proporcional; a partir de E es plástica, permanente.

3. F, límite de fluencia: el material empieza a alargarse mucho sin que aumente la carga, con oscilaciones (el tramo en zigzag del diagrama).

4. R, resistencia a la tracción (algunos libros la llaman carga de rotura): la tensión máxima que soporta el material. A partir de R la probeta se estrecha en una zona (estricción) y la tensión que marca el diagrama baja.

5. U, rotura (fractura) de la probeta: la probeta se rompe y el ensayo termina.

Planteamiento La energía que absorbe la probeta al romperse es la energía potencial que pierde el péndulo entre la altura desde la que cae y la altura a la que sube después del choque: $E=m\,g\,(h-h')$, con $g=9{,}8\ \mathrm{m/s^2}$.

1. Diferencia de alturas, con $h=1$ m y $h'=65$ cm $=0{,}65$ m:

   $h-h'=1-0{,}65=0{,}35\ \mathrm{m}$

2. Energía disipada en la rotura:

   $E$${}= m\,g\,(h-h')$${}= 20\cdot 9{,}8\cdot 0{,}35$${}= 68{,}6\ \mathrm{J}$

Planteamiento La resiliencia es la energía absorbida por unidad de sección de la probeta en la zona de la entalla: $\rho=E/S$. Con ella sacamos la sección que queda bajo la entalla y, de ahí, cuánto se ha recortado el lado.

1. Despejamos la sección resistente:

   $S$${}= \dfrac{E}{\rho}$${}= \dfrac{68{,}6\ \mathrm{J}}{85{,}75\ \mathrm{J/cm^2}}$${}= 0{,}8\ \mathrm{cm^2}$

2. En milímetros cuadrados ($1\ \mathrm{cm^2}=100\ \mathrm{mm^2}$):

   $S=80\ \mathrm{mm^2}$

3. La sección bajo la entalla es un rectángulo con el ancho de la probeta, $10$ mm, que no cambia, y el lado que queda, $a$:

   $a$${}= \dfrac{S}{10\ \mathrm{mm}}$${}= \dfrac{80\ \mathrm{mm^2}}{10\ \mathrm{mm}}$${}= 8\ \mathrm{mm}$

4. La profundidad de la entalla es lo que falta hasta los $10$ mm del lado:

   $p=10-8=2\ \mathrm{mm}$

Planteamiento El ensayo Vickers es un ensayo de dureza por penetración: mide la resistencia que opone un material a ser penetrado por otro más duro. El esquema está en la figura.

1. El penetrador es una pirámide de diamante de base cuadrada, con un ángulo de $136^\circ$ entre caras opuestas. Se aprieta contra la superficie pulida de la pieza con una carga $F$, normalmente de 1 a 120 kp, durante 10 a 15 s.

2. Al retirar la carga queda una huella cuadrada. Con un microscopio se miden sus dos diagonales y se calcula la diagonal media:

   $d=\dfrac{d_1+d_2}{2}$

3. La dureza es la carga entre el área de la huella, con $F$ en kp y $d$ en mm:

   $HV=\dfrac{1{,}8544\,F}{d^2}$

4. Como la forma de la pirámide no depende de la carga, el resultado casi no depende de ella, y como la huella es muy pequeña sirve para materiales muy duros y para piezas delgadas o con tratamientos superficiales.