Sistemas de ecuaciones: ejercicios de la PAU de Matemáticas CCSS de Andalucía resueltos

Planteamiento Llamamos $x$ al precio en euros de una entrada Estándar, $y$ al de una Premium y $z$ al de una VIP. En la clausura se vendieron $12+4=16$ entradas que no eran Premium, así que las Premium fueron $16+4=20$.

1. Sesión inaugural (20 Estándar, 5 Premium y 20 VIP):

   $20x+5y+20z=1\,800$

2. Sesión nocturna (10 Estándar, 5 Premium y 10 VIP):

   $10x+5y+10z=1\,000$

3. Clausura (4 Estándar, 20 Premium y 12 VIP):

   $4x+20y+12z=1\,560$

4. Restamos la segunda ecuación a la primera y dividimos entre 10:

   $10x+10z=800\ \Longrightarrow\ x+z=80$

5. Sustituimos $x+z=80$ en la segunda ecuación, escrita como $10(x+z)+5y=1\,000$:

   $800+5y=1\,000\ \Longrightarrow\ y=40$

6. Dividimos la tercera ecuación entre 4 y sustituimos $y=40$:

   $x+5y+3z=390\ \Longrightarrow\ x+3z=190$

7. Restamos $x+z=80$ a $x+3z=190$:

   $2z=110\ \Longrightarrow\ z=55$$x=80-55=25$

8. Comprobación en la primera ecuación:

   $20\cdot 25+5\cdot 40+20\cdot 55$${}= 500+200+1\,100$${}= 1\,800$

9. Recaudación total de las tres sesiones:

   $1\,800+1\,000+1\,560=4\,360$

Planteamiento Sumamos las entradas vendidas de cada tipo en las tres sesiones y multiplicamos por su precio.

1. Estándar: $20+10+4=34$ entradas a $25$ €.

   $34\cdot 25=850$

2. Premium: $5+5+20=30$ entradas a $40$ €.

   $30\cdot 40=1\,200$

3. VIP: $20+10+12=42$ entradas a $55$ €.

   $42\cdot 55=2\,310$

4. Comprobación: las tres cantidades suman la recaudación total del apartado a.

   $850+1\,200+2\,310=4\,360$

Planteamiento Llamamos $x$, $y$ y $z$ a la potencia efectiva, en vatios, de una placa de los modelos A, B y C. Cada prueba da una ecuación lineal; el sistema se escribe $A\cdot X=B$.

1. Las tres pruebas, en forma matricial:

   $\begin{pmatrix}2&1&3\\ 1&3&2\\ 3&2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}2\,960\\ 2\,990\\ 2\,870\end{pmatrix}$

2. Determinante de la matriz del sistema, desarrollando por la primera fila:

   $|A|$${}= 2(3-4)-1(1-6)$${}+3(2-9)$${}= -2+5-21$${}= -18$

3. Como $|A|\neq 0$, $\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=3$, igual al número de incógnitas: el sistema es compatible determinado y tiene una única solución. La matriz $A$ tiene inversa y $X=A^{-1}B$. Matriz adjunta traspuesta:

   $\operatorname{Adj}(A)^t$${}= \begin{pmatrix}-1&5&-7\\ 5&-7&-1\\ -7&-1&5\end{pmatrix}$

4. Inversa:

   $A^{-1}$${}= \frac{1}{-18}\begin{pmatrix}-1&5&-7\\ 5&-7&-1\\ -7&-1&5\end{pmatrix}$

5. Producto $A^{-1}B$, fila a fila:

   $X$${}= \frac{1}{-18}\begin{pmatrix}-2\,960+14\,950-20\,090\\ 14\,800-20\,930-2\,870\\ -20\,720-2\,990+14\,350\end{pmatrix}$

6. Sumando cada fila y dividiendo:

   $X$${}= \frac{1}{-18}\begin{pmatrix}-8\,100\\ -9\,000\\ -9\,360\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}450\\ 500\\ 520\end{pmatrix}$

7. Comprobación en las tres pruebas:

   $2\cdot 450+500+3\cdot 520=2\,960$$450+1\,500+1\,040=2\,990$$1\,350+1\,000+520=2\,870$

Planteamiento Primero calculamos el cuadrado de la matriz y el producto; después dividimos entre 2.

1. Cuadrado de la matriz:

   $\begin{pmatrix}1&1\\ 0&-1\end{pmatrix}^2$${}= \begin{pmatrix}1&1\\ 0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\ 0&-1\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\end{pmatrix}$${}= I$

2. Al ser la identidad, el producto deja igual la columna:

   $2X$${}= I\cdot\begin{pmatrix}4\\ 1\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}4\\ 1\end{pmatrix}$

3. Multiplicamos los dos miembros por $\frac{1}{2}$:

   $X$${}= \frac{1}{2}\begin{pmatrix}4\\ 1\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}2\\ \frac{1}{2}\end{pmatrix}$