Matrices: ejercicios de la PAU de Matemáticas CCSS de Andalucía resueltos

Planteamiento Una matriz cuadrada de orden 3 tiene rango 3 si y solo si su determinante no es cero.

1. Desarrollamos el determinante por la primera fila:

   $|A|$${}= 2\begin{vmatrix}m&2\\m&1\end{vmatrix}$${}-m\begin{vmatrix}-1&2\\0&1\end{vmatrix}$${}+0$

2. Calculamos los dos menores:

   $|A|$${}= 2(m-2m)-m\cdot(-1)$${}= -2m+m$${}= -m$

3. El determinante solo se anula si

   $-m=0\ \Longleftrightarrow\ m=0$

Planteamiento Pasamos los términos con $X$ a la izquierda y sacamos factor común por la izquierda: $A^tX-2X=B^2$, es decir, $(A^t-2I)X=B^2$. Si $M=A^t-2I$ tiene inversa, $X=M^{-1}B^2$.

1. Con $m=1$, la traspuesta de $A$ es

   $A^t$${}= \begin{pmatrix}2&-1&0\\1&1&1\\0&2&1\end{pmatrix}$

2. Restamos $2I$:

   $M$${}= A^t-2I$${}= \begin{pmatrix}0&-1&0\\1&-1&1\\0&2&-1\end{pmatrix}$

3. Determinante, desarrollando por la primera columna:

   $|M|$${}= -1\cdot\begin{vmatrix}-1&0\\2&-1\end{vmatrix}$${}= -1\cdot 1$${}= -1$

4. Como $|M|\neq 0$, $M$ tiene inversa. Matriz adjunta (de los cofactores):

   $\operatorname{Adj}(M)$${}= \begin{pmatrix}-1&1&2\\-1&0&0\\-1&0&1\end{pmatrix}$

5. Inversa, $M^{-1}=\frac{1}{|M|}\operatorname{Adj}(M)^t$:

   $M^{-1}$${}= \begin{pmatrix}1&1&1\\-1&0&0\\-2&0&-1\end{pmatrix}$

6. Cuadrado de $B$, el producto $B\cdot B$:

   $B^2$${}= \begin{pmatrix}3&0&4\\1&1&2\\2&0&3\end{pmatrix}$

7. Multiplicamos:

   $X$${}= M^{-1}B^2$${}= \begin{pmatrix}6&1&9\\-3&0&-4\\-8&0&-11\end{pmatrix}$

Planteamiento Dos matrices solo pueden ser iguales si tienen la misma dimensión. Miramos la dimensión de cada lado.

1. $C^t$ es $1\times 3$ y $A$ es $3\times 3$:

   $C^t\cdot A\ \text{ es de dimensión }\ 1\times 3$

2. $B$ es $3\times 3$; para poder multiplicar $B\cdot D$, $D$ tiene que tener 3 filas, $3\times k$:

   $B\cdot D\ \text{ es de dimensión }\ 3\times k$

3. Una matriz de 3 filas nunca es igual a una de 1 fila:

   $3\neq 1$

Planteamiento Ponemos en una matriz $M$ lo que ha hecho cada vendedor (una fila por zona; columnas: horas, demostraciones y viajes) y en una matriz columna $P$ lo que se paga por cada cosa. El producto $M\cdot P$ da el importe bruto de cada vendedor; después se aplica a cada uno su retención.

1. El vendedor de la zona B trabajó el doble de horas que el de la A, $2\cdot 40=80$ horas. Las matrices del planteamiento son:

   $M$${}= \begin{pmatrix}40&10&5\\ 80&15&8\\ 100&25&10\end{pmatrix}$$P$${}= \begin{pmatrix}75\\ 300\\ 250\end{pmatrix}$

2. Importe bruto de cada vendedor, fila por columna:

   $M\cdot P$${}= \begin{pmatrix}40\cdot 75+10\cdot 300+5\cdot 250\\ 80\cdot 75+15\cdot 300+8\cdot 250\\ 100\cdot 75+25\cdot 300+10\cdot 250\end{pmatrix}$

3. Sumando cada fila:

   $M\cdot P$${}= \begin{pmatrix}3\,000+3\,000+1\,250\\ 6\,000+4\,500+2\,000\\ 7\,500+7\,500+2\,500\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}7\,250\\ 12\,500\\ 17\,500\end{pmatrix}$

4. El vendedor de la zona A cobra menos de $10\,000$ €, así que se le retiene el 15 % y cobra el $85\ \%$; los de las zonas B y C superan los $10\,000$ €, se les retiene el 18 % y cobran el $82\ \%$. Lo escribimos con una matriz diagonal $R$:

   $R$${}= \begin{pmatrix}0{,}85&0&0\\ 0&0{,}82&0\\ 0&0&0{,}82\end{pmatrix}$

5. Cantidad final que cobra cada vendedor:

   $R\cdot(M\cdot P)$${}= \begin{pmatrix}0{,}85\cdot 7\,250\\ 0{,}82\cdot 12\,500\\ 0{,}82\cdot 17\,500\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}6\,162{,}5\\ 10\,250\\ 14\,350\end{pmatrix}$

Planteamiento Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante no es cero. Calculamos $|A|$ en función de $a$.

1. Desarrollamos por la primera fila:

   $|A|$${}= -2\begin{vmatrix}a-1&2\\ 0&3\end{vmatrix}$${}-2\begin{vmatrix}3&2\\ 4&3\end{vmatrix}$${}+1\cdot\begin{vmatrix}3&a-1\\ 4&0\end{vmatrix}$

2. Calculamos los tres determinantes de orden 2:

   $|A|$${}= -2\cdot 3(a-1)$${}-2\cdot(9-8)$${}+\bigl(0-4(a-1)\bigr)$

3. Agrupamos los términos en $a-1$:

   $|A|=-10(a-1)-2=-10a+8$

4. El determinante se anula cuando

   $-10a+8=0\ \Longrightarrow\ a=\frac{4}{5}$

Planteamiento Llamamos $x$, $y$ y $z$ a la potencia efectiva, en vatios, de una placa de los modelos A, B y C. Cada prueba da una ecuación lineal; el sistema se escribe $A\cdot X=B$.

1. Las tres pruebas, en forma matricial:

   $\begin{pmatrix}2&1&3\\ 1&3&2\\ 3&2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}2\,960\\ 2\,990\\ 2\,870\end{pmatrix}$

2. Determinante de la matriz del sistema, desarrollando por la primera fila:

   $|A|$${}= 2(3-4)-1(1-6)$${}+3(2-9)$${}= -2+5-21$${}= -18$

3. Como $|A|\neq 0$, $\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=3$, igual al número de incógnitas: el sistema es compatible determinado y tiene una única solución. La matriz $A$ tiene inversa y $X=A^{-1}B$. Matriz adjunta traspuesta:

   $\operatorname{Adj}(A)^t$${}= \begin{pmatrix}-1&5&-7\\ 5&-7&-1\\ -7&-1&5\end{pmatrix}$

4. Inversa:

   $A^{-1}$${}= \frac{1}{-18}\begin{pmatrix}-1&5&-7\\ 5&-7&-1\\ -7&-1&5\end{pmatrix}$

5. Producto $A^{-1}B$, fila a fila:

   $X$${}= \frac{1}{-18}\begin{pmatrix}-2\,960+14\,950-20\,090\\ 14\,800-20\,930-2\,870\\ -20\,720-2\,990+14\,350\end{pmatrix}$

6. Sumando cada fila y dividiendo:

   $X$${}= \frac{1}{-18}\begin{pmatrix}-8\,100\\ -9\,000\\ -9\,360\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}450\\ 500\\ 520\end{pmatrix}$

7. Comprobación en las tres pruebas:

   $2\cdot 450+500+3\cdot 520=2\,960$$450+1\,500+1\,040=2\,990$$1\,350+1\,000+520=2\,870$

Planteamiento Primero calculamos el cuadrado de la matriz y el producto; después dividimos entre 2.

1. Cuadrado de la matriz:

   $\begin{pmatrix}1&1\\ 0&-1\end{pmatrix}^2$${}= \begin{pmatrix}1&1\\ 0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\ 0&-1\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\end{pmatrix}$${}= I$

2. Al ser la identidad, el producto deja igual la columna:

   $2X$${}= I\cdot\begin{pmatrix}4\\ 1\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}4\\ 1\end{pmatrix}$

3. Multiplicamos los dos miembros por $\frac{1}{2}$:

   $X$${}= \frac{1}{2}\begin{pmatrix}4\\ 1\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}2\\ \frac{1}{2}\end{pmatrix}$

Planteamiento Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no es cero. Calculamos $|A|$ en función de $a$.

1. Desarrollamos por la primera columna, que tiene un cero:

   $|A|$${}= 1\cdot\begin{vmatrix}a-1&1\\ 2&a\end{vmatrix}$${}-(a-3)\begin{vmatrix}1&-2\\ 2&a\end{vmatrix}$

2. Calculamos los dos determinantes de orden 2:

   $|A|$${}= (a^2-a-2)$${}-(a-3)(a+4)$

3. Desarrollamos $(a-3)(a+4)=a^2+a-12$ y restamos:

   $|A|$${}= a^2-a-2-a^2-a+12$${}= -2a+10$

4. El determinante se anula cuando

   $-2a+10=0\ \Longrightarrow\ a=5$

Planteamiento Despejamos $X$ antes de operar: pasamos $B$ al otro miembro y multiplicamos por la derecha por $A^{-1}$, que existe porque $a=1\neq 5$.

1. Despejamos (el orden importa: $A^{-1}$ va a la derecha porque $A$ multiplica a $X$ por la derecha):

   $X\cdot A$${}= C\cdot A+B$${}\Longrightarrow X=(C\cdot A+B)\cdot A^{-1}$${}= C+B\cdot A^{-1}$

2. Con $a=1$ la matriz es la de abajo y, por el apartado a, su determinante es $-2\cdot 1+10=8$:

   $A$${}= \begin{pmatrix}1&1&-2\\ -2&0&1\\ 0&2&1\end{pmatrix}$$|A|=8$

3. Matriz de los adjuntos de $A$ (el adjunto de cada elemento es su menor con el signo de su posición):

   $\operatorname{Adj}(A)$${}= \begin{pmatrix}-2&2&-4\\ -5&1&-2\\ 1&3&2\end{pmatrix}$

4. La inversa es la traspuesta de la adjunta dividida entre $|A|$:

   $A^{-1}$${}= \frac{1}{8}\begin{pmatrix}-2&-5&1\\ 2&1&3\\ -4&-2&2\end{pmatrix}$

5. Producto $B\cdot A^{-1}$, fila por columnas: por ejemplo, el primer elemento es $\frac{1}{8}\bigl((-1)(-2)+3\cdot 2+2\cdot(-4)\bigr)=0$.

   $B\cdot A^{-1}$${}= \frac{1}{8}\begin{pmatrix}0&4&12\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}0&\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\end{pmatrix}$

6. Sumamos $C$:

   $X$${}= \begin{pmatrix}-2&1&4\end{pmatrix}$${}+\begin{pmatrix}0&\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}-2&\frac{3}{2}&\frac{11}{2}\end{pmatrix}$

7. Comprobación: $X\cdot A-B$ y $C\cdot A$ dan la misma matriz fila.

   $X\cdot A-B$${}= \begin{pmatrix}-5&9&11\end{pmatrix}$${}-\begin{pmatrix}-1&3&2\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}-4&6&9\end{pmatrix}$${}= C\cdot A$

Planteamiento Dos matrices se pueden multiplicar si el número de columnas de la primera coincide con el de filas de la segunda, y dos matrices se pueden sumar si tienen la misma dimensión.

1. $B$ es $1\times 3$ y $A$ es $3\times 3$, así que el primer sumando es una matriz fila:

   $B\cdot A:\ (1\times 3)\cdot(3\times 3)\ \longrightarrow\ 1\times 3$

2. $C^t$ es la traspuesta de $C$, una columna $3\times 1$; multiplicada por $B$, que es $1\times 3$, da una matriz cuadrada:

   $C^t\cdot B:\ (3\times 1)\cdot(1\times 3)\ \longrightarrow\ 3\times 3$

3. Para que exista $D\cdot(C^t\cdot B)$, $D$ tiene que tener 3 columnas; si $D$ es $m\times 3$, el producto es $m\times 3$:

   $D\cdot C^t\cdot B:\ (m\times 3)\cdot(3\times 3)$${}\longrightarrow m\times 3$

4. Para sumarlo con $B\cdot A$, que es $1\times 3$, hace falta $m=1$.

   $m\times 3=1\times 3\ \Longrightarrow\ m=1$

Planteamiento Primero despejamos $X$ y después calculamos. Para despejar hace falta que $A$ (y por tanto $A^2$) tenga inversa.

1. Determinante de $A$, por la regla de Sarrus:

   $|A|=-1-8+0-0-0-0=-9\neq 0$

2. Como $|A^2|=|A|^2=81\neq 0$, $A^2$ es invertible. Pasamos $A^4$ al otro miembro:

   $A^2\cdot X=A-A^4$

3. Multiplicamos por la izquierda por $(A^2)^{-1}=A^{-2}$ y simplificamos las potencias, $A^{-2}A=A^{-1}$ y $A^{-2}A^4=A^2$:

   $X=A^{-2}(A-A^4)=A^{-1}-A^2$

4. Matriz de los adjuntos de $A$:

   $\operatorname{Adj}(A)$${}= \begin{pmatrix}-1&-4&-2\\ -2&1&-4\\ 4&-2&-1\end{pmatrix}$

5. La inversa es la traspuesta de la adjunta dividida entre $|A|=-9$:

   $A^{-1}$${}= \frac{1}{9}\begin{pmatrix}1&2&-4\\ 4&-1&2\\ 2&4&1\end{pmatrix}$

6. Comprobación de la inversa: $A\cdot A^{-1}$ da la identidad (por ejemplo, la primera fila de $A$ por la primera columna es $\frac{1}{9}(1+8+0)=1$).

   $A\cdot A^{-1}=I$

7. Cuadrado de $A$, fila por columna:

   $A^2$${}= \begin{pmatrix}1&0&4\\ -4&1&0\\ -4&-4&1\end{pmatrix}$

8. Restamos, escribiendo $A^2$ con denominador 9 (cada elemento por 9):

   $X$${}= \frac{1}{9}\begin{pmatrix}1-9&2-0&-4-36\\ 4+36&-1-9&2-0\\ 2+36&4+36&1-9\end{pmatrix}$

9. Operamos:

   $X$${}= \frac{1}{9}\begin{pmatrix}-8&2&-40\\ 40&-10&2\\ 38&40&-8\end{pmatrix}$

Planteamiento Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no es cero. Calculamos los dos determinantes en función de $a$.

1. Determinante de $A$, desarrollando por la primera columna (solo tiene un elemento que puede no ser cero):

   $|A|$${}= a\cdot\begin{vmatrix}a&2\\ 1&1\end{vmatrix}$${}= a(a-2)$

2. Se anula si $a=0$ o $a=2$.

   $a(a-2)=0\ \Longrightarrow\ a=0$$\text{o}\ \ a=2$

3. Determinante de $B$:

   $|B|=2\cdot(-1)-(-1)\cdot a=a-2$

4. Se anula si $a=2$. Las dos matrices tienen inversa a la vez cuando no se anula ninguno de los dos determinantes.

   $a\neq 0$$\text{y}\ \quad a\neq 2$

Planteamiento Con $a=1$ las dos matrices tienen inversa (apartado a). Multiplicamos $A\cdot X\cdot B=C$ por $A^{-1}$ por la izquierda y por $B^{-1}$ por la derecha: $X=A^{-1}\cdot C\cdot B^{-1}$. Como $A$ es $3\times 3$, $C$ es $3\times 2$ y $B$ es $2\times 2$, la matriz $X$ es $3\times 2$.

1. Matrices con $a=1$:

   $A$${}= \begin{pmatrix}1&1&0\\ 0&1&2\\ 0&1&1\end{pmatrix}$$B$${}= \begin{pmatrix}2&-1\\ 1&-1\end{pmatrix}$

2. Determinante de $A$ (apartado a con $a=1$):

   $|A|=1\cdot(1-2)=-1$

3. Determinante de $B$:

   $|B|=1-2=-1$

4. Matriz adjunta traspuesta de $A$:

   $\operatorname{Adj}(A)^t$${}= \begin{pmatrix}-1&-1&2\\ 0&1&-2\\ 0&-1&1\end{pmatrix}$

5. Inversa de $A$, dividiendo entre $|A|=-1$:

   $A^{-1}$${}= \begin{pmatrix}1&1&-2\\ 0&-1&2\\ 0&1&-1\end{pmatrix}$

6. Inversa de $B$: se cambian los elementos de la diagonal, se cambia el signo de los otros dos y se divide entre $|B|=-1$.

   $B^{-1}$${}= \frac{1}{-1}\begin{pmatrix}-1&1\\ -1&2\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}1&-1\\ 1&-2\end{pmatrix}$

7. Primer producto, $A^{-1}\cdot C$; por ejemplo, el primer elemento es $1\cdot 2+1\cdot 1-2\cdot 2=-1$:

   $A^{-1}C$${}= \begin{pmatrix}-1&-2\\ 3&1\\ -1&-1\end{pmatrix}$

8. Segundo producto, por $B^{-1}$; primera fila: $\left(-1-2,\ 1+4\right)=(-3,\ 5)$.

   $X$${}= \begin{pmatrix}-1&-2\\ 3&1\\ -1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\ 1&-2\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}-3&5\\ 4&-5\\ -2&3\end{pmatrix}$

9. Comprobación del primer factor del producto:

   $A\cdot X$${}= \begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\\ 2&-2\end{pmatrix}$

10. Y al multiplicar por $B$ sale $C$: por ejemplo, la tercera fila es $(2\cdot 2-2\cdot 1,\ -2+2)=(2,\ 0)$.

    $(A\cdot X)\cdot B$${}= \begin{pmatrix}2&-1\\ 1&-1\\ 2&0\end{pmatrix}$${}= C$

Planteamiento Calculamos $M=\frac{1}{2}\left(A^2-4A+5I_3\right)$ y comprobamos que $A\cdot M=I_3$: eso es lo que significa que $M$ sea la inversa de $A$ (para matrices cuadradas basta un producto).

1. $A$ tiene inversa: es triangular inferior y su determinante es el producto de la diagonal.

   $|A|=1\cdot 2\cdot 1=2\neq 0$

2. Cuadrado de $A$; la tercera fila es $\left(0,\ (-1)\cdot 2+1\cdot(-1),\ 1\right)$${}= (0,\ -3,\ 1)$:

   $A^2$${}= A\cdot A$${}= \begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&4&0\\ 0&-3&1\end{pmatrix}$

3. Combinación pedida, elemento a elemento:

   $A^2-4A+5I_3$${}= \begin{pmatrix}1-4+5&0&0\\ 0&4-8+5&0\\ 0&-3+4&1-4+5\end{pmatrix}$

4. Es decir:

   $A^2-4A+5I_3$${}= \begin{pmatrix}2&0&0\\ 0&1&0\\ 0&1&2\end{pmatrix}$

5. Multiplicamos por $\frac{1}{2}$:

   $M$${}= \frac{1}{2}\begin{pmatrix}2&0&0\\ 0&1&0\\ 0&1&2\end{pmatrix}$${}= \begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&\frac{1}{2}&0\\ 0&\frac{1}{2}&1\end{pmatrix}$

6. Producto $A\cdot M$; la tercera fila es $\left(0,\ -\frac{1}{2}+\frac{1}{2},\ 1\right)=(0,\ 0,\ 1)$:

   $A\cdot M$${}= \begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\end{pmatrix}$${}= I_3$