Integrales: ejercicios de la PAU de Matemáticas CCSS de Andalucía resueltos

Planteamiento Cada trozo es un polinomio, continuo en su intervalo. Solo hay que imponer la continuidad en los puntos de unión, $x=20$ y $x=50$: el límite por la izquierda tiene que coincidir con el valor de la función.

1. En $x=20$:

   $\lim_{x\to 20^-}\frac{x^2}{20}=\frac{400}{20}=20$$f(20)=a+20b$

2. En $x=50$:

   $\lim_{x\to 50^-}(a+bx)=a+50b$$f(50)=36-\frac{2\,500}{100}=11$

3. Las dos condiciones forman el sistema

   $a+20b=20$$a+50b=11$

4. Restamos la primera ecuación a la segunda:

   $30b=-9\ \Longrightarrow\ b=-\frac{3}{10}$

5. Sustituimos en la primera:

   $a$${}= 20-20\cdot\left(-\frac{3}{10}\right)$${}= 20+6$${}= 26$

Planteamiento Con $a=26$ y $b=-\frac{3}{10}$ la función es continua (apartado a). Estudiamos el signo de la derivada en el interior de cada trozo y miramos qué pasa en los puntos de unión y en los extremos del dominio.

1. Primer trozo: la derivada es positiva para $0<x<20$, así que $f$ crece.

   $f'(x)=\frac{x}{10}>0$

2. Segundo trozo: la derivada es negativa, así que $f$ decrece en $(20,50)$.

   $f'(x)=-\frac{3}{10}<0$

3. Tercer trozo: la derivada es negativa para $50<x<60$, así que $f$ decrece.

   $f'(x)=-\frac{x}{50}<0$

4. En $x=20$ las derivadas laterales son distintas y $f$ no es derivable, pero es continua, crece antes y decrece después: hay un máximo relativo.

   $f'(20^-)=2$$f'(20^+)=-\frac{3}{10}$

5. Valor del máximo:

   $f(20)=\frac{400}{20}=20$

6. En $x=50$ la función decrece a los dos lados, así que no hay extremo. En los extremos del dominio:

   $f(0)=0$$f(60)=36-\frac{3\,600}{100}=0$

7. Como $f$ crece desde $x=0$ y decrece hasta $x=60$, en esos dos puntos vale menos que en los puntos cercanos del dominio: son mínimos relativos, y también absolutos porque $f$ nunca es negativa.

   $f(x)\ge 0\ \text{ en } [0,60]$

Planteamiento Dibujamos los tres trozos: un arco de parábola creciente de $(0,\ 0)$ a $(20,\ 20)$, un segmento de recta de $(20,\ 20)$ a $(50,\ 11)$ y un arco de parábola decreciente de $(50,\ 11)$ a $(60,\ 0)$.

1. Primer trozo, parábola con el vértice en el origen; algunos valores:

   $f(0)=0$$f(10)=5$$f(20)=20$

2. Segundo trozo, recta de pendiente $-\frac{3}{10}$:

   $f(20)=26-6=20$$f(50)=26-15=11$

3. Tercer trozo, parábola decreciente:

   $f(50)=11$$f(55)=36-30{,}25=5{,}75$$f(60)=0$

4. Unimos los trozos sin saltos, porque la función es continua, y marcamos el máximo $(20,\ 20)$ y los mínimos $(0,\ 0)$ y $(60,\ 0)$.

   $\operatorname{Dom} f=[0,60]$

ResultadoLa gráfica sube desde $(0,\ 0)$ hasta el máximo $(20,\ 20)$, baja en línea recta hasta $(50,\ 11)$ y termina en $(60,\ 0)$ (figura).

Planteamiento La gráfica queda por encima del eje $OX$ en todo $[0,60]$ y solo lo toca en $x=0$ y en $x=60$. El área es la integral de $f$ entre $0$ y $60$, partida en los tres trozos.

1. Ceros de $f$: $\frac{x^2}{20}=0$ da $x=0$; $26-\frac{3}{10}x=0$ da $x=\frac{260}{3}$, fuera de $[20,50)$; $36-\frac{x^2}{100}=0$ da $x=60$ en $[50,60]$.

   $f(0)=f(60)=0$

2. Primer trozo, con la primitiva $\frac{x^3}{60}$ y la regla de Barrow:

   $\int_0^{20}\frac{x^2}{20}\,dx$${}= \left[\frac{x^3}{60}\right]_0^{20}$${}= \frac{8\,000}{60}-0$${}= \frac{400}{3}$

3. Segundo trozo, con la primitiva $26x-\frac{3x^2}{20}$:

   $\int_{20}^{50}\left(26-\frac{3}{10}x\right)dx$${}= \left[26x-\frac{3x^2}{20}\right]_{20}^{50}$

4. Sustituimos los límites de integración:

   $(1\,300-375)$${}-(520-60)$${}= 925-460$${}= 465$

5. Tercer trozo, con la primitiva $36x-\frac{x^3}{300}$:

   $\int_{50}^{60}\left(36-\frac{x^2}{100}\right)dx$${}= \left[36x-\frac{x^3}{300}\right]_{50}^{60}$

6. Sustituimos los límites de integración:

   $(2\,160-720)$${}-\left(1\,800-\frac{1\,250}{3}\right)$${}= 1\,440-\frac{4\,150}{3}$${}= \frac{170}{3}$

7. Sumamos las tres áreas:

   $\frac{400}{3}+465+\frac{170}{3}$${}= 190+465$${}= 655$

Planteamiento Cada trozo es un polinomio, continuo y derivable. Solo hay que estudiar el punto de unión, $x=4$.

1. Límite por la izquierda, con el primer trozo:

   $\lim_{x\to 4^-}f(x)=-16+16+3=3$

2. Valor en $x=4$ (y límite por la derecha), con el segundo trozo:

   $f(4)=\lim_{x\to 4^+}f(x)=8-5=3$

3. Coinciden, así que $f$ es continua en $x=4$. Derivada de cada trozo:

   $f'(x)$${}= \begin{cases}-2x+4 & \text{si } x<4\\ 2 & \text{si } x>4\end{cases}$

4. Derivadas laterales en $x=4$:

   $f'(4^-)=-8+4=-4$$f'(4^+)=2$

Planteamiento Estudiamos el signo de $f'$ en cada trozo y vemos qué pasa en $x=4$, donde $f$ es continua pero no derivable.

1. Primer trozo: $f'(x)=-2x+4$ se anula en $x=2$; es positiva para $x<2$ y negativa para $2<x<4$.

   $-2x+4=0\ \Longrightarrow\ x=2$

2. Segundo trozo: $f'(x)=2>0$, así que $f$ crece para $x>4$. Valores en los puntos donde cambia la monotonía:

   $f(2)=-4+8+3=7$$f(4)=3$

Planteamiento Entre $x=3$ y $x=5$ la función es positiva (su mínimo en ese intervalo es $f(4)=3$), así que el área es la integral de $f$, partida en $x=4$ porque cambia la expresión.

1. Valores para dibujar la región: la gráfica va de $(3,\ 6)$ a $(4,\ 3)$ por la parábola y de $(4,\ 3)$ a $(5,\ 5)$ por la recta, siempre por encima del eje.

   $f(3)=6$$f(4)=3$$f(5)=5$

2. Primera integral, con la primitiva $-\dfrac{x^3}{3}+2x^2+3x$ y la regla de Barrow:

   $\int_3^4(-x^2+4x+3)\,dx$${}= \left[-\frac{x^3}{3}+2x^2+3x\right]_3^4$

3. Sustituimos los límites: en $4$ vale $-\frac{64}{3}+32+12=\frac{68}{3}$ y en $3$ vale $-9+18+9=18$.

   $\frac{68}{3}-18=\frac{14}{3}$

4. Segunda integral, con la primitiva $x^2-5x$:

   $\int_4^5(2x-5)\,dx$${}= \left[x^2-5x\right]_4^5$${}= 0-(-4)$${}= 4$

5. Sumamos las dos partes:

   $\text{Área}=\frac{14}{3}+4=\frac{26}{3}\approx 8{,}67$

ResultadoEl área de la región es $\dfrac{26}{3}\approx 8{,}67$ unidades cuadradas.

Planteamiento Factorizamos $f$ para los cortes con el eje de abscisas; el signo de $f'$ da la monotonía y los extremos, y el de $f''$, la curvatura.

1. Corte con el eje de ordenadas, $x=0$:

   $f(0)=0\ \Longrightarrow\ (0,\ 0)$

2. Cortes con el eje de abscisas: sacamos factor común $x$ y factorizamos el polinomio de segundo grado.

   $x^3-3x^2+2x$${}= x\left(x^2-3x+2\right)$${}= x(x-1)(x-2)$

3. Se anula en $x=0$, $x=1$ y $x=2$:

   $(0,\ 0)$$(1,\ 0)$$(2,\ 0)$

4. Derivada, igualada a cero:

   $f'(x)=3x^2-6x+2=0$

5. Con la fórmula de la ecuación de segundo grado:

   $x$${}= \frac{6\pm\sqrt{36-24}}{6}$${}= \frac{6\pm 2\sqrt{3}}{6}$${}= 1\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$

6. Es decir, $x_1=1-\frac{\sqrt{3}}{3}\approx 0{,}42$ y $x_2=1+\frac{\sqrt{3}}{3}\approx 1{,}58$. $f'$ es una parábola abierta hacia arriba: positiva fuera de sus raíces y negativa entre ellas. Lo confirman tres valores:

   $f'(0)=2>0$$f'(1)=-1<0$$f'(2)=2>0$

7. Para calcular $f(x_1)$ y $f(x_2)$ cómodamente, escribimos $u=x-1$; entonces $x=u+1$ y $x-2=u-1$:

   $f(x)=(u+1)\,u\,(u-1)=u^3-u$

8. En $x_1$ es $u=-\frac{\sqrt{3}}{3}$, con $u^2=\frac{1}{3}$:

   $f(x_1)$${}= u\left(u^2-1\right)$${}= -\frac{\sqrt{3}}{3}\left(\frac{1}{3}-1\right)$${}= \frac{2\sqrt{3}}{9}$

9. En $x_2$ es $u=\frac{\sqrt{3}}{3}$ y sale lo mismo con el signo cambiado:

   $f(x_2)=-\frac{2\sqrt{3}}{9}\approx -0{,}38$

10. Segunda derivada:

    $f''(x)=6x-6=0\ \Longrightarrow\ x=1$

11. $f''(x)<0$ si $x<1$ y $f''(x)>0$ si $x>1$: la curvatura cambia en $x=1$, donde $f(1)=0$.

Planteamiento Usamos los cortes, los extremos y el punto de inflexión del apartado a, y el comportamiento en los extremos del dominio, que es todo $\mathbb{R}$.

1. Como es un polinomio de grado 3 con coeficiente principal positivo, manda el término $x^3$:

   $\lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty$$\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$

2. Dos puntos más, a cada lado de los cortes:

   $f(-0{,}5)=-1{,}875$$f(2{,}5)=1{,}875$

ResultadoLa gráfica está en la figura: viene de $-\infty$, corta el eje en $(0,\ 0)$, sube hasta el máximo $(0{,}42;\ 0{,}38)$, baja pasando por el punto de inflexión $(1,\ 0)$ hasta el mínimo $(1{,}58;\ -0{,}38)$ y vuelve a subir, cortando el eje en $(2,\ 0)$, hacia $+\infty$. Es simétrica respecto del punto $(1,\ 0)$.

Planteamiento El recinto acotado entre la gráfica y el eje va de $x=0$ a $x=2$ y tiene dos trozos: en $[0,1]$ la función es positiva (allí está el máximo) y en $[1,2]$ es negativa. Integramos en cada trozo y sumamos los valores absolutos.

1. Una primitiva:

   $F(x)$${}= \int\left(x^3-3x^2+2x\right)dx$${}= \frac{x^4}{4}-x^3+x^2$

2. Valores de la primitiva en los límites de integración:

   $F(0)=0$$F(1)=\frac{1}{4}$

3. Y en $x=2$:

   $F(2)=4-8+4=0$

4. Regla de Barrow en $[0,1]$:

   $\int_0^1 f(x)\,dx$${}= F(1)-F(0)$${}= \frac{1}{4}$

5. Regla de Barrow en $[1,2]$:

   $\int_1^2 f(x)\,dx$${}= F(2)-F(1)$${}= -\frac{1}{4}$

6. Área total:

   $\frac{1}{4}+\left|-\frac{1}{4}\right|=\frac{1}{2}$

Planteamiento La variación instantánea es la derivada: $v$ crece donde $v'(t)>0$ y decrece donde $v'(t)<0$.

1. Raíces de $v'$:

   $t^2-5t+6=0$${}\Longrightarrow t=\frac{5\pm\sqrt{25-24}}{2}$

2. Son $t=2$ y $t=3$, así que:

   $v'(t)=(t-2)(t-3)$

3. Signo de $v'$ en cada trozo de $[0,6]$, con un valor de cada uno:

   $v'(1)=2>0$$v'(2{,}5)=-0{,}25<0$$v'(4)=2>0$

Planteamiento La función $v$ es una primitiva de $v'$; la constante de integración sale de $v(0)=10$.

1. Integramos término a término:

   $v(t)$${}= \int\left(t^2-5t+6\right)dt$${}= \frac{t^3}{3}-\frac{5t^2}{2}+6t+K$

2. En $t=0$ todos los términos con $t$ se anulan:

   $v(0)=K=10$

Planteamiento Por cada acción gana lo que vale al venderla menos lo que valía al comprarla, $v(4)-v(2)$; después multiplicamos por las $3\,000$ acciones.

1. Valor a las 2 horas:

   $v(2)$${}= \frac{8}{3}-10+12+10$${}= \frac{44}{3}$${}\approx 14{,}67$

2. Valor a las 4 horas:

   $v(4)$${}= \frac{64}{3}-40+24+10$${}= \frac{46}{3}$${}\approx 15{,}33$

3. Ganancia por acción:

   $v(4)-v(2)=\frac{46}{3}-\frac{44}{3}=\frac{2}{3}$

4. Por las $3\,000$ acciones:

   $3\,000\cdot\frac{2}{3}=2\,000$

Planteamiento La ganancia por acción es $v(t_{\text{venta}})-v(t_{\text{compra}})$, comprando antes de vender. Es máxima si se compra cuando $v$ vale lo mínimo y se vende, después, cuando vale lo máximo. Por el apartado a, los candidatos a extremo absoluto en $[0,6]$ son los extremos del intervalo, $t=0$ y $t=6$, el máximo relativo $t=2$ y el mínimo relativo $t=3$.

1. Valores en los candidatos (con la función del apartado b):

   $v(0)=10$$v(2)=\frac{44}{3}\approx 14{,}67$

2. En el mínimo relativo:

   $v(3)=9-\frac{45}{2}+18+10=\frac{29}{2}=14{,}5$

3. Al final del día:

   $v(6)=72-90+36+10=28$

4. El mínimo absoluto es $v(0)=10$, en la apertura, y el máximo absoluto es $v(6)=28$, al final. Como el mínimo va antes que el máximo, se puede comprar en el primero y vender en el segundo. Ganancia por acción y con las $3\,000$ acciones:

   $28-10=18$$3\,000\cdot 18=54\,000$

Planteamiento $f$ es una parábola abierta hacia arriba con vértice en $(1,\ 0)$, y $g$ es una recta decreciente. La zona deteriorada es la que queda entre las dos gráficas, de un punto de corte al otro.

1. Puntos de corte, $f(x)=g(x)$:

   $x^2-2x+1$${}= 5-2x$${}\Longrightarrow x^2$${}= 4$${}\Longrightarrow x=\pm 2$

2. Ordenadas de los cortes (con $f$ o con $g$, dan lo mismo):

   $f(-2)=9$$f(2)=1$

3. Entre los cortes la recta va por encima; por ejemplo, en $x=0$:

   $g(0)=5>f(0)=1$

4. Para dibujarlas: la parábola pasa por $(0,\ 1)$, $(1,\ 0)$ y $(3,\ 4)$; la recta, por $(0,\ 5)$ y $\left(\frac{5}{2},\ 0\right)$.

ResultadoLa zona deteriorada es la región comprendida entre la recta $g(x)=5-2x$, por arriba, y la parábola $f(x)=(x-1)^2$, por abajo, para $x$ entre $-2$ y $2$. Las dos gráficas se cortan en $(-2,\ 9)$ y $(2,\ 1)$. Está dibujada en la figura.

Planteamiento El área es la integral de $g-f$ entre los puntos de corte. Si se desperdicia la tercera parte del plástico comprado, se aprovechan las dos terceras partes, y eso es lo que tiene que cubrir el área.

1. Diferencia de las dos funciones:

   $g(x)-f(x)$${}= 5-2x$${}-\left(x^2-2x+1\right)$${}= 4-x^2$

2. Área:

   $\int_{-2}^{2}\left(4-x^2\right)dx$${}= \left[4x-\frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2}$

3. Regla de Barrow:

   $\left(8-\frac{8}{3}\right)-\left(-8+\frac{8}{3}\right)$${}= \frac{16}{3}+\frac{16}{3}$${}= \frac{32}{3}$

4. El área quemada mide $\frac{32}{3}\approx 10{,}67\ \mathrm{m}^2$. Si $S$ es el plástico comprado, sus dos terceras partes cubren el área:

   $\frac{2}{3}S=\frac{32}{3}\ \Longrightarrow\ S=16\ \mathrm{m}^2$

5. Coste, a 15 euros el metro cuadrado:

   $16\cdot 15=240$