Inferencia estadística: ejercicios de la PAU de Matemáticas CCSS de Andalucía resueltos

Planteamiento En el muestreo aleatorio simple que se usa en Bachillerato las muestras se toman con reemplazamiento: un mismo elemento puede salir más de una vez. Entonces la media muestral $\bar X$ tiene media $\mu$ y varianza $\frac{\sigma^2}{n}$, donde $\mu$ y $\sigma^2$ son la media y la varianza de la población y $n=3$.

1. Media de la población, con $N=5$ elementos:

   $\mu=\frac{-5-2+13+18+20}{5}=\frac{44}{5}=8{,}8$

2. Media de los cuadrados:

   $\frac{25+4+169+324+400}{5}$${}= \frac{922}{5}$${}= 184{,}4$

3. Varianza de la población:

   $\sigma^2$${}= 184{,}4-8{,}8^2$${}= 184{,}4-77{,}44$${}= 106{,}96$

4. Media de la distribución de la media muestral:

   $E(\bar X)=\mu=8{,}8$

5. Varianza de la media muestral, con $n=3$:

   $\operatorname{Var}(\bar X)$${}= \frac{\sigma^2}{n}$${}= \frac{106{,}96}{3}$${}= \frac{2\,674}{75}$${}\approx 35{,}65$

6. Si las muestras se tomaran sin reemplazamiento (las 10 muestras de tres elementos distintos), la media sería la misma y la varianza llevaría el factor de corrección $\frac{N-n}{N-1}=\frac{2}{4}$:

   $\frac{106{,}96}{3}\cdot\frac{2}{4}=\frac{1\,337}{75}\approx 17{,}83$

Planteamiento $P(A/B)$ es la probabilidad de $A$ condicionada a $B$. $B-A$ es «ocurre $B$ y no ocurre $A$», es decir, $B\cap A^c$; y $A^c-B=A^c\cap B^c$.

1. Probabilidad de $B$:

   $P(B)=1-P(B^c)=1-0{,}8=0{,}2$

2. Intersección, de la definición de probabilidad condicionada:

   $P(A\cap B)$${}= P(A/B)\cdot P(B)$${}= 0{,}6\cdot 0{,}2$${}= 0{,}12$

3. Diferencia:

   $P(B-A)$${}= P(B)-P(A\cap B)$${}= 0{,}2-0{,}12$${}= 0{,}08$

4. Unión:

   $P(A\cup B)=0{,}75+0{,}2-0{,}12=0{,}83$

5. Por las leyes de De Morgan, $A^c\cap B^c=(A\cup B)^c$:

   $P(A^c-B)$${}= 1-P(A\cup B)$${}= 1-0{,}83$${}= 0{,}17$

Planteamiento La población es normal y su desviación típica es conocida, así que el intervalo para la media es $\left(\bar x-z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n},\ \bar x+z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n}\right)$.

1. Datos del enunciado:

   $\sigma=\sqrt{225}=15$$n=49$$\bar x=325$

2. Confianza del 97 %, es decir, $\alpha=0{,}03$. Buscamos en la tabla el valor de $z$ con

   $P(Z\le z_{\alpha/2})$${}= 1-\frac{0{,}03}{2}$${}= 0{,}985$

3. La tabla da exactamente $0{,}9850$ para $z=2{,}17$:

   $z_{\alpha/2}=2{,}17$

4. Error típico de la media:

   $\frac{\sigma}{\sqrt n}=\frac{15}{\sqrt{49}}=\frac{15}{7}$

5. Margen de error:

   $E=2{,}17\cdot\frac{15}{7}=\frac{32{,}55}{7}=4{,}65$

6. Extremos del intervalo:

   $325-4{,}65=320{,}35$$325+4{,}65=329{,}65$

Planteamiento Con una confianza del 97 %, la media de la población está dentro del intervalo del apartado a.

1. Comparamos 310 con el extremo inferior del intervalo:

   $310<320{,}35$

Planteamiento La amplitud del intervalo es el doble del margen de error, así que una amplitud menor que 4 km equivale a $E<2$.

1. Confianza del 99 %: buscamos en la tabla

   $P(Z\le z_{\alpha/2})$${}= 1-\frac{0{,}01}{2}$${}= 0{,}995$

2. $0{,}995$ queda justo en medio de $0{,}9949$ ($z=2{,}57$) y $0{,}9951$ ($z=2{,}58$); tomamos el valor intermedio:

   $z_{\alpha/2}=2{,}575$

3. Condición sobre el margen de error:

   $2{,}575\cdot\frac{15}{\sqrt n}<2\ \Longrightarrow\ \sqrt n>\frac{2{,}575\cdot 15}{2}$

4. Elevamos al cuadrado:

   $n$${}> \left(\frac{2{,}575\cdot 15}{2}\right)^2$${}\approx 372{,}97$

5. El número de viajes es entero:

   $n\ge 373$

6. Si se toma $z_{\alpha/2}=2{,}58$, el valor de la tabla que deja por debajo al menos $0{,}995$:

   $n$${}> \left(\frac{2{,}58\cdot 15}{2}\right)^2$${}\approx 374{,}42$${}\Longrightarrow n$${}\ge 375$

Planteamiento La población es normal con desviación típica conocida: el intervalo es $\left(\bar x-E,\ \bar x+E\right)$ con $E=z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n}$, que es el error máximo de estimación.

1. Confianza del 97,5 %, es decir, $\alpha=0{,}025$. Buscamos en la tabla

   $P(Z\le z_{\alpha/2})$${}= 1-\frac{0{,}025}{2}$${}= 0{,}9875$

2. La tabla da exactamente $0{,}9875$ para $z=2{,}24$:

   $z_{\alpha/2}=2{,}24$

3. Error típico de la media, con $\sigma=0{,}08$ y $n=16$:

   $\frac{\sigma}{\sqrt n}=\frac{0{,}08}{\sqrt{16}}=0{,}02$

4. Error máximo de estimación:

   $E=2{,}24\cdot 0{,}02=0{,}0448$

5. Extremos del intervalo, con $\bar x=1{,}458$:

   $1{,}458-0{,}0448=1{,}4132$$1{,}458+0{,}0448=1{,}5028$

Planteamiento La media muestral de una población normal sigue una normal con la misma media y desviación típica $\frac{\sigma}{\sqrt n}$, aquí con $n=7$.

1. Distribución de la media muestral:

   $\bar X\sim N\left(1{,}44;\ \frac{0{,}08}{\sqrt 7}\right)$

2. Desviación típica de $\bar X$:

   $\frac{0{,}08}{\sqrt 7}\approx 0{,}03024$

3. Tipificamos el extremo inferior, con la desviación típica sin redondear, y redondeamos $z$ a dos decimales para usar la tabla:

   $z_1$${}= \frac{1{,}383-1{,}44}{0{,}08/\sqrt 7}$${}\approx -1{,}89$

4. Y el extremo superior:

   $z_2$${}= \frac{1{,}4523-1{,}44}{0{,}08/\sqrt 7}$${}\approx 0{,}41$

5. En la tabla, $P(Z\le 0{,}41)=0{,}6591$ y $P(Z\le 1{,}89)=0{,}9706$; por la simetría de la normal:

   $P(-1{,}89\le Z\le 0{,}41)$${}= 0{,}6591-(1-0{,}9706)$${}= 0{,}6297$

6. Sin redondear los valores de $z$, con una calculadora, sale un poco menos; la diferencia viene solo del redondeo a dos decimales que pide la tabla.

   $P(1{,}383<\bar X<1{,}4523)\approx 0{,}6282$

Planteamiento El intervalo para la media es $\left(\bar{x}-E,\ \bar{x}+E\right)$, centrado en la media muestral. Así que $\bar{x}$ es el punto medio de sus extremos.

1. Punto medio:

   $\bar{x}=\frac{10{,}794+13{,}206}{2}=\frac{24}{2}=12$

2. El error es la mitad de la amplitud:

   $E=\frac{13{,}206-10{,}794}{2}=1{,}206$

Planteamiento La amplitud del intervalo es $2E=2\,z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Con el nivel de confianza fijo, $z_{\alpha/2}$ y $\sigma$ no cambian y $n$ solo aparece en el denominador.

1. Amplitud en función de $n$:

   $\text{amplitud}=2\,z_{\alpha/2}\,\frac{5}{\sqrt{n}}$

2. Por ejemplo, con el $z_{\alpha/2}=2{,}17$ del 97 %, al pasar de $n=81$ a $n=324$ (cuatro veces más) la amplitud se reduce a la mitad:

   $2\cdot 2{,}17\cdot\frac{5}{9}$${}\approx 2{,}41$${}\longrightarrow 2\cdot 2{,}17\cdot\frac{5}{18}$${}\approx 1{,}21$

Planteamiento Con $n$ y $\sigma$ fijos, la amplitud $2\,z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ es proporcional a $z_{\alpha/2}$, y $z_{\alpha/2}$ es mayor cuanto mayor es el nivel de confianza.

1. Valor crítico con el 97 %: buscamos en la tabla $1-\frac{\alpha}{2}=0{,}985$, que aparece en $z=2{,}17$.

   $z_{\alpha/2}=2{,}17$

2. Con un nivel menor, por ejemplo el 90 %, buscamos $0{,}95$, que está entre $0{,}9495$ ($z=1{,}64$) y $0{,}9505$ ($z=1{,}65$):

   $z_{\alpha/2}=1{,}645<2{,}17$

Planteamiento El intervalo $\left(12-E,\ 12+E\right)$ contiene a $\mu=10{,}2$ si el error llega al menos a la distancia entre las dos medias. Como $E$ disminuye al aumentar $n$, eso da un tamaño máximo.

1. Distancia entre la media muestral y la poblacional:

   $12-10{,}2=1{,}8$

2. Con el 97 %, del apartado c, $z_{\alpha/2}=2{,}17$. Condición:

   $E=2{,}17\cdot\frac{5}{\sqrt{n}}\ge 1{,}8$

3. Despejamos $\sqrt{n}$:

   $\sqrt{n}$${}\le \frac{2{,}17\cdot 5}{1{,}8}$${}= \frac{10{,}85}{1{,}8}$${}\approx 6{,}028$

4. Elevamos al cuadrado:

   $n\le 6{,}028^2\approx 36{,}33$

5. Comprobación con $n=36$ y con $n=37$:

   $2{,}17\cdot\frac{5}{6}\approx 1{,}808\ge 1{,}8$$2{,}17\cdot\frac{5}{\sqrt{37}}\approx 1{,}784<1{,}8$

Planteamiento Sea $X$ el desajuste de un tren, $X\sim N(0;\ 2{,}2)$. Un desajuste de un minuto como máximo, por adelanto o por retraso, es $-1\le X\le 1$. Tipificamos con $Z=\frac{X-0}{2{,}2}$.

1. Tipificamos los dos extremos ($\frac{1}{2{,}2}=0{,}4545\ldots$, que redondeamos a $0{,}45$ para usar la tabla):

   $P(-1\le X\le 1)$${}= P\left(-0{,}45\le Z\le 0{,}45\right)$

2. Por la simetría de la normal:

   $P(-0{,}45\le Z\le 0{,}45)$${}= 2\,P(Z\le 0{,}45)-1$

3. En la tabla, $P(Z\le 0{,}45)=0{,}6736$:

   $2\cdot 0{,}6736-1=0{,}3472$

Planteamiento La desviación típica de la población es conocida, $\sigma=2{,}2$, así que el intervalo para la media es $\left(\bar{x}-z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \bar{x}+z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$ con $n=15$.

1. Media de la muestra (la suma de los 15 datos es 9):

   $\bar{x}=\frac{9}{15}=0{,}6$

2. Valor crítico del 96 %: $1-\frac{\alpha}{2}=0{,}98$. En la tabla, $0{,}98$ queda entre $0{,}9798$ ($z=2{,}05$) y $0{,}9803$ ($z=2{,}06$); tomamos el valor intermedio:

   $z_{\alpha/2}=2{,}055$

3. Error típico de la media:

   $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{2{,}2}{\sqrt{15}}\approx 0{,}5680$

4. Error máximo (margen):

   $E=2{,}055\cdot 0{,}5680\approx 1{,}1673$

5. Intervalo:

   $\left(0{,}6-1{,}1673;\ 0{,}6+1{,}1673\right)$${}= \left(-0{,}5673;\ 1{,}7673\right)$

Planteamiento Queremos que el error $E=z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ sea como máximo $1{,}1$ con el 98 % de confianza, y despejamos $n$.

1. Valor crítico del 98 %: $1-\frac{\alpha}{2}=0{,}99$, y en la tabla $0{,}9901$ corresponde a $z=2{,}33$:

   $z_{\alpha/2}=2{,}33$

2. Condición sobre el error:

   $2{,}33\cdot\frac{2{,}2}{\sqrt{n}}\le 1{,}1$

3. Despejamos:

   $\sqrt{n}$${}\ge \frac{2{,}33\cdot 2{,}2}{1{,}1}$${}= 4{,}66$${}\Longrightarrow n$${}\ge 4{,}66^2$${}\approx 21{,}72$

4. Como $n$ es entero, redondeamos hacia arriba. Comprobación con $n=21$ y $n=22$:

   $2{,}33\cdot\frac{2{,}2}{\sqrt{21}}\approx 1{,}119>1{,}1$$2{,}33\cdot\frac{2{,}2}{\sqrt{22}}\approx 1{,}093\le 1{,}1$

Planteamiento El intervalo para una proporción es $\left(\hat{p}-E,\ \hat{p}+E\right)$, centrado en la proporción muestral.

1. Punto medio del intervalo:

   $\hat{p}$${}= \frac{0{,}5616+0{,}7184}{2}$${}= \frac{1{,}28}{2}$${}= 0{,}64$

Planteamiento El error máximo es la mitad de la amplitud del intervalo.

1. Semiamplitud:

   $E$${}= \frac{0{,}7184-0{,}5616}{2}$${}= \frac{0{,}1568}{2}$${}= 0{,}0784$

Planteamiento El error es $E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$; conocemos $E$, $\hat{p}$ y el nivel de confianza, y despejamos $n$.

1. Valor crítico del 95 %: $1-\frac{\alpha}{2}=0{,}975$, que en la tabla corresponde a $z=1{,}96$.

   $z_{\alpha/2}=1{,}96$

2. Planteamos la ecuación:

   $1{,}96\sqrt{\frac{0{,}64\cdot 0{,}36}{n}}=0{,}0784$

3. Dividimos entre $1{,}96$:

   $\sqrt{\frac{0{,}2304}{n}}=\frac{0{,}0784}{1{,}96}=0{,}04$

4. Elevamos al cuadrado y despejamos:

   $\frac{0{,}2304}{n}$${}= 0{,}0016$${}\Longrightarrow n=\frac{0{,}2304}{0{,}0016}$${}= 144$

Planteamiento La amplitud es $2E=2\,z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$, y $n$ está en el denominador de la raíz.

1. Con el mismo nivel de confianza y la misma $\hat{p}$, si $n$ se multiplica por 4 la amplitud se divide entre 2. Por ejemplo, de $n=144$ a $n=576$:

   $2\cdot 0{,}0784$${}= 0{,}1568$${}\longrightarrow 2\cdot 1{,}96\sqrt{\frac{0{,}2304}{576}}$${}= 0{,}0784$

Planteamiento Si $X\sim N(\mu;\ \sigma)$, la media de las muestras de tamaño $n$ sigue $\bar{X}\sim N\left(\mu;\ \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$.

1. Desviación típica de la media muestral:

   $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{1{,}5}{\sqrt{25}}=\frac{1{,}5}{5}=0{,}3$

2. Distribución de la media muestral:

   $\bar{X}\sim N(10{,}5;\ 0{,}3)$

3. Tipificamos $10$:

   $z=\frac{10-10{,}5}{0{,}3}=-\frac{5}{3}\approx -1{,}67$

4. Por simetría, $P(Z>-1{,}67)=P(Z\le 1{,}67)$, que en la tabla es $0{,}9525$:

   $P(\bar{X}>10)$${}= P(Z>-1{,}67)$${}= 0{,}9525$

Planteamiento Con la misma distribución $\bar{X}\sim N(10{,}5;\ 0{,}3)$, calculamos $P(8<\bar{X}<11)$ tipificando los dos extremos.

1. Tipificamos $11$:

   $z=\frac{11-10{,}5}{0{,}3}=\frac{5}{3}\approx 1{,}67$

2. Tipificamos $8$:

   $z=\frac{8-10{,}5}{0{,}3}=-\frac{25}{3}\approx -8{,}33$

3. La tabla llega hasta $z=4$; para $z=8{,}33$ la probabilidad acumulada es prácticamente 1, así que $P(Z\le -8{,}33)\approx 0$:

   $P(8<\bar{X}<11)$${}= P(Z\le 1{,}67)$${}-P(Z\le -8{,}33)$${}\approx 0{,}9525-0$${}= 0{,}9525$

Planteamiento Con afijación proporcional, cada estrato aporta a la muestra la misma fracción de sus individuos. En cada muestreo esa fracción (fracción de muestreo) es la misma para los cuatro estratos.

1. Primera muestra: de los 500 individuos de $E_1$ se han elegido 25, así que la fracción es

   $\frac{25}{500}=\frac{1}{20}$

2. Con esa fracción, los 30 elegidos de $E_2$ son la vigésima parte de $E_2$:

   $N_2=30\cdot 20=600$

3. Segunda muestra: de los 400 individuos de $E_3$ se han elegido 80, así que la fracción es

   $\frac{80}{400}=\frac{1}{5}$

4. Los 100 elegidos de $E_4$ son la quinta parte de $E_4$:

   $N_4=100\cdot 5=500$

5. La población tiene $500+600+400+500=2\,000$ individuos. En la primera muestra faltan $E_3$ y $E_4$, con la fracción $\frac{1}{20}$:

   $\frac{400}{20}=20$$\frac{500}{20}=25$

6. En la segunda muestra faltan $E_1$ y $E_2$, con la fracción $\frac{1}{5}$:

   $\frac{500}{5}=100$$\frac{600}{5}=120$

Planteamiento En el muestreo aleatorio simple que se usa en Bachillerato las muestras se toman con reemplazamiento: hay $5\cdot 5=25$ muestras posibles, y la media muestral cumple $E(\bar X)=\mu$ y $\operatorname{Var}(\bar X)=\dfrac{\sigma^2}{n}$, con $n=2$.

1. Media de la población:

   $\mu=\frac{-3-1+2+5+7}{5}=\frac{10}{5}=2$

2. Varianza de la población, con las desviaciones al cuadrado $25$, $9$, $0$, $9$ y $25$:

   $\sigma^2=\frac{25+9+0+9+25}{5}=\frac{68}{5}=13{,}6$

3. Media de la distribución de las medias muestrales:

   $E(\bar X)=\mu=2$

4. Varianza de la distribución de las medias muestrales:

   $\operatorname{Var}(\bar X)=\frac{\sigma^2}{2}=\frac{13{,}6}{2}=6{,}8$

5. Lo mismo sale escribiendo las 25 muestras: sus 25 medias suman $50$ y sus cuadrados suman $270$, así que

   $E(\bar X)=\frac{50}{25}=2$$\operatorname{Var}(\bar X)=\frac{270}{25}-4$

6. y la última resta da

   $\frac{270}{25}-4=10{,}8-4=6{,}8$

7. Ojo: si las muestras se tomaran sin reemplazamiento, serían las $10$ parejas de elementos distintos; la media seguiría siendo $2$, pero la varianza cambia:

   $\operatorname{Var}(\bar X)=\frac{\sigma^2}{n}\cdot\frac{N-n}{N-1}=6{,}8\cdot\frac{3}{4}=5{,}1$

Planteamiento El intervalo para una proporción es $\left(\hat p-E,\ \hat p+E\right)$, con $E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}$.

1. Proporción muestral:

   $\hat p=\frac{1\,825}{2\,500}=0{,}73$$1-\hat p=0{,}27$

2. Valor crítico del 95 %: buscamos en la tabla $1-\frac{\alpha}{2}=0{,}975$, que aparece en $z=1{,}96$.

   $z_{\alpha/2}=1{,}96$

3. Error típico de la proporción:

   $\sqrt{\frac{0{,}73\cdot 0{,}27}{2\,500}}$${}= \sqrt{0{,}00007884}$${}\approx 0{,}008879$

4. Error máximo, redondeado a cuatro decimales:

   $E=1{,}96\cdot 0{,}008879\approx 0{,}0174$

5. Extremos del intervalo:

   $0{,}73-0{,}0174=0{,}7126$$0{,}73+0{,}0174=0{,}7474$

Planteamiento Imponemos que el error $E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}$ sea menor que $0{,}01$ y despejamos $n$.

1. Valor crítico del 97 %: buscamos $1-\frac{\alpha}{2}=0{,}985$, que aparece en $z=2{,}17$.

   $z_{\alpha/2}=2{,}17$

2. Condición:

   $2{,}17\sqrt{\frac{0{,}73\cdot 0{,}27}{n}}<0{,}01$

3. Elevamos al cuadrado y despejamos ($2{,}17^2=4{,}7089$ y $0{,}73\cdot 0{,}27=0{,}1971$):

   $n$${}> \frac{4{,}7089\cdot 0{,}1971}{0{,}01^2}$${}\approx 9\,281{,}2$

4. El tamaño tiene que ser un número entero mayor que $9\,281{,}2$; con $n=9\,281$ el error todavía no baja del $1\ \%$, y con el siguiente entero sí.

   $n_{\min}=9\,282$

Planteamiento La amplitud del intervalo es $2E=2\,z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}$, y $n$ está en el denominador.

1. Por ejemplo, con el 95 % y la misma proporción, si la muestra baja de $2\,500$ a $625$ habitantes (la cuarta parte), la amplitud se duplica:

   $2\cdot 1{,}96\sqrt{\frac{0{,}1971}{2\,500}}$${}\approx 0{,}0348$${}\longrightarrow 2\cdot 1{,}96\sqrt{\frac{0{,}1971}{625}}$${}\approx 0{,}0696$

Planteamiento Llamamos $X$ a la altura en cm, $X\sim N(145,\ 22)$. Tipificamos con $Z=\dfrac{X-145}{22}\sim N(0,1)$ y usamos la tabla.

1. Tipificamos los dos extremos y redondeamos a centésimas, como da la tabla:

   $\frac{135-145}{22}\approx -0{,}45$$\frac{155-145}{22}\approx 0{,}45$

2. El intervalo es simétrico respecto de la media:

   $P(-0{,}45<Z<0{,}45)$${}= 2P(Z<0{,}45)-1$

3. En la tabla, $P(Z<0{,}45)=0{,}6736$:

   $2\cdot 0{,}6736-1=0{,}3472$

Planteamiento Buscamos la altura $a$ que deja por encima el 50 % de las plantas: $P(X\ge a)=0{,}5$.

1. En una distribución normal la media es también la mediana: deja la mitad de la probabilidad a cada lado.

   $P(X\ge 145)=P(Z\ge 0)=0{,}5$

Planteamiento La media de una muestra de tamaño $n=16$ de una población normal sigue una normal con la misma media y desviación típica $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$.

1. Distribución de la media muestral:

   $\bar X$${}\sim N\!\left(145;\ \frac{22}{\sqrt{16}}\right)$${}= N(145;\ 5{,}5)$

2. Tipificamos los dos extremos y redondeamos a centésimas:

   $\frac{140-145}{5{,}5}\approx -0{,}91$$\frac{151-145}{5{,}5}\approx 1{,}09$

3. Escribimos la probabilidad con la tabla, que da valores de $P(Z<z)$ para $z\ge 0$:

   $P(-0{,}91<Z<1{,}09)$${}= P(Z<1{,}09)$${}-\bigl(1-P(Z<0{,}91)\bigr)$

4. En la tabla, $P(Z<1{,}09)=0{,}8621$ y $P(Z<0{,}91)=0{,}8186$:

   $0{,}8621-(1-0{,}8186)$${}= 0{,}8621-0{,}1814$${}= 0{,}6807$

Planteamiento El intervalo para una proporción es $\left(\hat p-E,\ \hat p+E\right)$, con $E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}$.

1. Proporción muestral:

   $\hat p=\frac{12}{300}=0{,}04$$1-\hat p=0{,}96$

2. Valor crítico del 97 %: buscamos en la tabla $1-\frac{\alpha}{2}=0{,}985$, que aparece en $z=2{,}17$.

   $z_{\alpha/2}=2{,}17$

3. Error típico de la proporción:

   $\sqrt{\frac{0{,}04\cdot 0{,}96}{300}}$${}= \sqrt{0{,}000128}$${}\approx 0{,}011314$

4. Error máximo, redondeado a cuatro decimales:

   $E=2{,}17\cdot 0{,}011314\approx 0{,}0246$

5. Extremos del intervalo:

   $0{,}04-0{,}0246=0{,}0154$$0{,}04+0{,}0246=0{,}0646$

Planteamiento «Difiera a lo sumo en un 2 %» significa que el error sea como mucho $E=0{,}02$. Despejamos $n$ de $E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}$.

1. Valor crítico del 95 %: buscamos $1-\frac{\alpha}{2}=0{,}975$, que aparece en $z=1{,}96$.

   $z_{\alpha/2}=1{,}96$

2. Condición:

   $1{,}96\sqrt{\frac{0{,}04\cdot 0{,}96}{n}}\le 0{,}02$

3. Elevamos al cuadrado y despejamos ($1{,}96^2=3{,}8416$ y $0{,}04\cdot 0{,}96=0{,}0384$):

   $n$${}\ge \frac{3{,}8416\cdot 0{,}0384}{0{,}02^2}$${}\approx 368{,}79$

4. El tamaño tiene que ser un número entero. Comprobación con $n=369$ y con $n=368$:

   $1{,}96\sqrt{\frac{0{,}0384}{369}}$${}\approx 0{,}01999$${}\le 0{,}02$$1{,}96\sqrt{\frac{0{,}0384}{368}}\approx 0{,}02002$