Probabilidad y estadística: ejercicios de la PAU de Matemáticas II de Andalucía resueltos

Planteamiento Llamamos $O_1$ y $P_1$ a los sucesos «la moneda sacada de la primera bolsa es de oro» y «es de plata», y $O_2$ a «la moneda sacada de la segunda bolsa es de oro». Se pide $P(O_2\mid P_1)$: sabemos que a la segunda bolsa ha llegado una moneda de plata.

1. Si se pasa una moneda de plata, la segunda bolsa queda con $6$ monedas de oro y $3+1=4$ de plata, $10$ en total. Por la regla de Laplace:

   $P(O_2\mid P_1)=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$

Planteamiento Se pide $P(P_1\mid O_2)$: conocemos el resultado de la segunda extracción y preguntamos por la primera. Se calcula con el teorema de Bayes, y su denominador, $P(O_2)$, con el teorema de la probabilidad total.

1. Probabilidades de la primera extracción ($2$ monedas de oro y $3$ de plata, $5$ en total):

   $P(O_1)=\frac{2}{5}$$P(P_1)=\frac{3}{5}$

2. Si se pasa una moneda de oro, la segunda bolsa queda con $7$ de oro y $3$ de plata:

   $P(O_2\mid O_1)=\frac{7}{10}$

3. Si se pasa una de plata, es lo calculado en el apartado a:

   $P(O_2\mid P_1)=\frac{6}{10}$

4. Probabilidad total de sacar oro en la segunda extracción:

   $P(O_2)=\frac{2}{5}\cdot\frac{7}{10}+\frac{3}{5}\cdot\frac{6}{10}=\frac{14}{50}+\frac{18}{50}$

5. Sumamos y simplificamos:

   $P(O_2)=\frac{32}{50}=\frac{16}{25}$

6. Teorema de Bayes:

   $P(P_1\mid O_2)$${}= \frac{P(P_1)\cdot P(O_2\mid P_1)}{P(O_2)}$${}= \frac{18/50}{32/50}$

7. Simplificamos:

   $\frac{18}{32}=\frac{9}{16}$

Planteamiento Llamamos $A$, $B$ y $C$ a los sucesos «el coche lo ha fabricado la máquina A», «la B» y «la C», y $D$ a «el coche es defectuoso». Las tres máquinas se reparten toda la producción, así que aplicamos el teorema de la probabilidad total.

1. Parte de la producción de cada máquina:

   $P(A)=0{,}45$$P(B)=0{,}30$$P(C)=0{,}25$

2. Probabilidad de que un coche de cada máquina sea defectuoso:

   $P(D\mid A)=0{,}03$$P(D\mid B)=0{,}04$$P(D\mid C)=0{,}05$

3. Probabilidad total:

   $P(D)$${}= 0{,}45\cdot 0{,}03$${}+0{,}30\cdot 0{,}04$${}+0{,}25\cdot 0{,}05$${}= 0{,}0135+0{,}012+0{,}0125$

4. Sumamos:

   $P(D)=0{,}038$

Planteamiento Hay que comparar $P(A\mid D)$, $P(B\mid D)$ y $P(C\mid D)$, que se calculan con el teorema de Bayes. Las tres tienen el mismo denominador, $P(D)=0{,}038$, del apartado a.

1. Máquina A:

   $P(A\mid D)$${}= \frac{P(A)\cdot P(D\mid A)}{P(D)}$${}= \frac{0{,}0135}{0{,}038}$${}= \frac{27}{76}$${}\approx 0{,}3553$

2. Máquina B (simplificada, $\frac{24}{76}=\frac{6}{19}$):

   $P(B\mid D)$${}= \frac{P(B)\cdot P(D\mid B)}{P(D)}$${}= \frac{0{,}012}{0{,}038}$${}= \frac{24}{76}$${}\approx 0{,}3158$

3. Máquina C:

   $P(C\mid D)$${}= \frac{P(C)\cdot P(D\mid C)}{P(D)}$${}= \frac{0{,}0125}{0{,}038}$${}= \frac{25}{76}$${}\approx 0{,}3289$

4. Comprobación: las tres suman $1$, porque el coche lo ha fabricado una de las tres máquinas.

   $\frac{27+24+25}{76}=\frac{76}{76}=1$

Planteamiento Llamamos $M$ a «es una moto» y $A$ a «ha resultado apto». Usamos la regla de Laplace con los totales de la tabla y la probabilidad de la unión, $P(M\cup A)$${}= P(M)+P(A)-P(M\cap A)$.

1. Total de vehículos (suma de las cuatro casillas):

   $116\,383+160\,667$${}+2\,679+3\,447$${}= 283\,176$

2. Motos (columna «Motos») y aptos (fila «Aptos»):

   $160\,667+3\,447=164\,114$$116\,383+160\,667=277\,050$

3. Motos aptas (casilla común):

   $160\,667$

4. Probabilidad de la unión:

   $P(M\cup A)$${}= \frac{164\,114+277\,050-160\,667}{283\,176}$${}= \frac{280\,497}{283\,176}$

5. Simplificamos dividiendo numerador y denominador entre $57$:

   $\frac{280\,497}{283\,176}=\frac{4\,921}{4\,968}\approx 0{,}9905$

6. Comprobación por el suceso contrario: el único caso que no es «moto o apto» es «coche no apto»:

   $1-\frac{2\,679}{283\,176}=1-\frac{47}{4\,968}=\frac{4\,921}{4\,968}$

Planteamiento Es una probabilidad condicionada: nos quedamos solo con los coches y miramos qué parte no fue apta, $P(\overline{A}\mid C)=\frac{P(\overline{A}\cap C)}{P(C)}$, que con la tabla es un cociente de casos.

1. Coches presentados (columna «Coches»):

   $116\,383+2\,679=119\,062$

2. Coches no aptos: $2\,679$. Probabilidad condicionada:

   $P(\overline{A}\mid C)=\frac{2\,679}{119\,062}\approx 0{,}0225$

Planteamiento La velocidad es $X\sim N(64,\ 4)$. Tipificamos con $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$, que sigue una $N(0,1)$, y leemos la tabla, que da $P(Z\le z)$.

1. Probabilidad pedida:

   $P(X\ge 72)$

2. Tipificamos:

   $z=\frac{72-64}{4}=\frac{8}{4}=2$

3. Valor de la tabla:

   $P(Z\le 2)=0{,}9772$

4. Suceso contrario:

   $P(X\ge 72)$${}= P(Z\ge 2)$${}= 1-0{,}9772$${}= 0{,}0228$

Planteamiento Ahora $Y\sim N(63{,}6,\ \sigma)$ con $\sigma$ desconocida. Pasamos el dato $P(Y>80)=0{,}0505$ a la $N(0,1)$, buscamos en la tabla el valor de $z$ y despejamos $\sigma$.

1. Dato del enunciado:

   $P(Y>80)=0{,}0505$

2. Tipificamos:

   $P\left(Z>\frac{80-63{,}6}{\sigma}\right)$${}= P\left(Z>\frac{16{,}4}{\sigma}\right)$${}= 0{,}0505$

3. Por el suceso contrario:

   $P\left(Z\le\frac{16{,}4}{\sigma}\right)$${}= 1-0{,}0505$${}= 0{,}9495$

4. En la tabla, $0{,}9495$ aparece exactamente en la fila $1{,}6$ y la columna $0{,}04$:

   $P(Z\le 1{,}64)=0{,}9495$

5. Igualamos y despejamos:

   $\frac{16{,}4}{\sigma}=1{,}64\ \Longrightarrow\ \sigma=\frac{16{,}4}{1{,}64}=10$

ResultadoLa desviación típica es $\sigma=10$ km/h.