Geometría en el espacio: ejercicios de la PAU de Matemáticas II de Andalucía resueltos

Planteamiento Los cuatro puntos son coplanarios cuando los vectores $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ y $\overrightarrow{AD}$ están en un mismo plano, es decir, cuando su producto mixto (el determinante que forman) vale cero.

1. Vectores con origen en $A$:

   $\overrightarrow{AB}=(1,\ m-2,\ 1)$$\overrightarrow{AC}=(2,\ 2,\ 2)$$\overrightarrow{AD}=(0,\ -3,\ m)$

2. Producto mixto, desarrollando por la primera fila:

   $\begin{vmatrix}1&m-2&1\\ 2&2&2\\ 0&-3&m\end{vmatrix}$${}= 1\cdot(2m+6)$${}-(m-2)\cdot 2m$${}+1\cdot(-6)$

3. Simplificamos:

   $2m+6-2m^2+4m-6$${}= -2m^2+6m$${}= -2m(m-3)$

4. Igualamos a cero:

   $-2m(m-3)=0\ \Longrightarrow\ m=0$$\text{o}\ \ m=3$

Planteamiento Con $m=1$, el área del triángulo es la mitad del módulo de $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}$, y el volumen del tetraedro es la sexta parte del valor absoluto del producto mixto $[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}]$.

1. Vectores con $m=1$:

   $\overrightarrow{AB}=(1,\ -1,\ 1)$$\overrightarrow{AC}=(2,\ 2,\ 2)$$\overrightarrow{AD}=(0,\ -3,\ 1)$

2. Producto vectorial:

   $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}$${}= \begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 1&-1&1\\ 2&2&2\end{vmatrix}$${}= (-2-2,\ -(2-2),\ 2+2)$${}= (-4,\ 0,\ 4)$

3. Su módulo:

   $\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|$${}= \sqrt{16+0+16}$${}= \sqrt{32}$${}= 4\sqrt{2}$

4. Área del triángulo:

   $S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{2}=2\sqrt{2}$

5. Producto mixto: es el producto escalar de $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}$ por $\overrightarrow{AD}$ (sale lo mismo sustituyendo $m=1$ en el determinante $-2m(m-3)$ del apartado a):

   $(-4,\ 0,\ 4)\cdot(0,\ -3,\ 1)=0+0+4=4$

6. Volumen del tetraedro:

   $V=\frac{1}{6}\,|4|=\frac{2}{3}$

Planteamiento La recta $s$ que buscamos está en $\pi$ y corta a $r$, así que pasa por el punto en el que $r$ atraviesa $\pi$. Su vector director es perpendicular al de $r$ (porque la corta perpendicularmente) y al vector normal de $\pi$ (porque está contenida en el plano): lo da el producto vectorial de los dos.

1. Vector director de $r$ y vector normal de $\pi$:

   $\vec{d_r}=(-2,\ 2,\ 2)$$\vec{n}=(1,\ -2,\ 1)$

2. Como $\vec{d_r}\cdot\vec{n}=-2-4+2=-4\ne 0$, $r$ corta a $\pi$ en un solo punto. Sustituimos el punto genérico de $r$ en la ecuación del plano:

   $-2\lambda-2(-1+2\lambda)$${}+(3+2\lambda)-3=0$${}\Longrightarrow 2-4\lambda=0$${}\Longrightarrow \lambda=\frac{1}{2}$

3. Punto de corte, con $\lambda=\frac{1}{2}$ (cumple la ecuación del plano: $-1-0+4-3=0$):

   $Q=(-1,\ 0,\ 4)$

4. Vector director de la recta pedida:

   $\vec{d_r}\times\vec{n}$${}= \begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ -2&2&2\\ 1&-2&1\end{vmatrix}$${}= (2+4,\ -(-2-2),\ 4-2)$${}= (6,\ 4,\ 2)$

5. Tomamos el vector proporcional $\vec{d_s}=(3,\ 2,\ 1)$ y comprobamos que es perpendicular a los dos:

   $\vec{d_s}\cdot\vec{d_r}=-6+4+2=0$$\vec{d_s}\cdot\vec{n}=3-4+1=0$

Planteamiento El simétrico $P'$ de $P$ respecto de $\pi$ está en la recta perpendicular a $\pi$ que pasa por $P$, a la misma distancia del plano y al otro lado. El punto $M$ en el que esa recta corta a $\pi$ es el punto medio entre $P$ y $P'$.

1. Recta que pasa por $P(1,\ 1,\ 1)$ con la dirección del vector normal $\vec{n}=(1,\ -2,\ 1)$:

   $\begin{cases}x=1+t\\ y=1-2t\\ z=1+t\end{cases}$

2. Corte con $\pi$:

   $(1+t)-2(1-2t)$${}+(1+t)-3=0$${}\Longrightarrow 6t-3=0$${}\Longrightarrow t=\frac{1}{2}$

3. Punto medio, que es la proyección de $P$ sobre $\pi$:

   $M=\left(\frac{3}{2},\ 0,\ \frac{3}{2}\right)$

4. Como $M=\frac{P+P'}{2}$, despejamos $P'=2M-P$:

   $P'=(3-1,\ 0-1,\ 3-1)=(2,\ -1,\ 2)$

Planteamiento El volumen del tetraedro es la sexta parte del valor absoluto del producto mixto de los tres vectores que salen de un vértice: $V=\frac{1}{6}\left|[\vec{OA},\vec{OB},\vec{OC}]\right|$.

1. Vectores desde $O$:

   $\vec{OA}=(0,\ 2,\ -2)$$\vec{OB}=(1,\ 2,\ m)$$\vec{OC}=(2,\ 3,\ 2)$

2. Producto mixto, desarrollando el determinante por la primera fila:

   $\begin{vmatrix}0&2&-2\\ 1&2&m\\ 2&3&2\end{vmatrix}$${}= 0\cdot(4-3m)$${}-2(2-2m)-2(3-4)$

3. Operamos:

   $0-4+4m+2=4m-2$

4. Imponemos que el volumen valga 3:

   $\frac{|4m-2|}{6}=3\ \Longrightarrow\ |4m-2|=18$

5. Primer caso, valor positivo:

   $4m-2=18\ \Longrightarrow\ m=5$

6. Segundo caso, valor negativo:

   $4m-2=-18\ \Longrightarrow\ m=-4$

Planteamiento Hallamos la ecuación del plano $ABC$ con un vector normal (producto vectorial de dos vectores del plano) y aplicamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano.

1. Con $m=0$, $B(1,\ 2,\ 0)$. Dos vectores del plano:

   $\vec{AB}=(1,\ 0,\ 2)$$\vec{AC}=(2,\ 1,\ 4)$

2. Vector normal:

   $\vec{n}$${}= \vec{AB}\times\vec{AC}$${}= \begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 1&0&2\\ 2&1&4\end{vmatrix}$

3. Calculamos cada componente:

   $\vec{n}$${}= (0\cdot 4-2\cdot 1,\ 2\cdot 2-1\cdot 4,\ 1\cdot 1-0\cdot 2)$${}= (-2,\ 0,\ 1)$

4. Plano $-2x+z+D=0$ que pasa por $A(0,\ 2,\ -2)$:

   $0-2+D=0\ \Longrightarrow\ D=2$

5. Multiplicando por $-1$, el plano es $2x-z-2=0$. Comprobamos que $B$ y $C$ lo cumplen:

   $2\cdot 1-0-2=0$$2\cdot 2-2-2=0$

6. Distancia de $O(0,\ 0,\ 0)$ al plano:

   $d(O,\pi)$${}= \frac{|2\cdot 0-0-2|}{\sqrt{2^2+0^2+(-1)^2}}$${}= \frac{2}{\sqrt{5}}$${}= \frac{2\sqrt{5}}{5}$

Planteamiento El plano pedido contiene el punto $Q$ de la recta y su vector director $\vec{d}$, y también el punto $P$. Sus dos vectores directores son $\vec{d}$ y $\vec{QP}$; el normal es su producto vectorial.

1. De la ecuación continua de $r$ se leen un punto y el vector director:

   $Q(1,\ 2,\ 3)$$\vec{d}=(1,\ 2,\ 2)$

2. $P$ no está en $r$, porque al sustituirlo las fracciones no son iguales:

   $\frac{1-1}{1}=0$$\frac{1-2}{2}=-\frac{1}{2}$

3. Segundo vector director del plano:

   $\vec{QP}=P-Q=(0,\ -1,\ -2)$

4. Vector normal:

   $\vec{n}$${}= \vec{d}\times\vec{QP}$${}= \begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 1&2&2\\ 0&-1&-2\end{vmatrix}$

5. Componentes:

   $\vec{n}$${}= (2\cdot(-2)-2\cdot(-1),\ 2\cdot 0-1\cdot(-2),\ 1\cdot(-1)-2\cdot 0)$${}= (-2,\ 2,\ -1)$

6. Plano por $P(1,\ 1,\ 1)$ con normal $(-2,\ 2,\ -1)$:

   $-2(x-1)+2(y-1)-(z-1)=0$

7. Operando y multiplicando por $-1$:

   $2x-2y+z-1=0$

8. Comprobación con $Q(1,\ 2,\ 3)$:

   $2-4+3-1=0$

Planteamiento Buscamos el punto $X$ de $r$ tal que $\vec{PX}$ es perpendicular a $\vec{d}$: la recta $PX$ pasa por $P$ y corta a $r$ formando un ángulo recto.

1. Punto genérico de $r$ (ecuaciones paramétricas):

   $X=(1+t,\ 2+2t,\ 3+2t)$

2. Vector de $P$ a $X$:

   $\vec{PX}=(t,\ 1+2t,\ 2+2t)$

3. Condición de perpendicularidad, $\vec{PX}\cdot\vec{d}=0$:

   $t\cdot 1+(1+2t)\cdot 2$${}+(2+2t)\cdot 2$${}= 9t+6=0$

4. Despejamos el parámetro:

   $t=-\frac{2}{3}$

5. Punto de corte con $r$:

   $X=\left(\frac{1}{3},\ \frac{2}{3},\ \frac{5}{3}\right)$

6. Vector director de la recta pedida:

   $\vec{PX}=\left(-\frac{2}{3},\ -\frac{1}{3},\ \frac{2}{3}\right)$

7. Multiplicamos por $-3$ para quitar fracciones y comprobamos que es perpendicular a $\vec{d}$:

   $\vec{v}=(2,\ 1,\ -2)$$(2,\ 1,\ -2)\cdot(1,\ 2,\ 2)=2+2-4=0$

Planteamiento La recta y el plano son paralelos cuando el vector director de la recta es perpendicular al vector normal del plano ($\vec{d}\cdot\vec{n}=0$) y la recta no está contenida en el plano.

1. Normales de los dos planos que definen $r$:

   $\vec{n}_1=(1,\ -1,\ 1)$$\vec{n}_2=(1,\ 2,\ -1)$

2. Vector director de $r$:

   $\vec{d}$${}= \vec{n}_1\times\vec{n}_2$${}= \begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 1&-1&1\\ 1&2&-1\end{vmatrix}$

3. Componentes:

   $\vec{d}$${}= ((-1)(-1)-1\cdot 2,\ 1\cdot 1-1\cdot(-1),\ 1\cdot 2-(-1)\cdot 1)$${}= (-1,\ 2,\ 3)$

4. Normal del plano $\pi$ y condición de perpendicularidad:

   $\vec{n}=(m,\ -1,\ -2)$$\vec{d}\cdot\vec{n}=-m-2-6=0$

5. Despejamos:

   $m=-8$

6. Un punto de $r$: con $x=1$ queda $-y+z=2$ y $2y-z=3$; sumando, $y=5$ y $z=7$:

   $Q(1,\ 5,\ 7)$

7. $Q$ no está en $\pi$ para $m=-8$, así que la recta no está contenida en el plano:

   $-8\cdot 1-5-2\cdot 7=-27\neq 5$

Planteamiento Como para $m=-8$ la recta es paralela al plano, todos sus puntos están a la misma distancia de él: basta calcular la distancia de un punto de $r$ al plano.

1. Plano: $\pi\equiv -8x-y-2z-5=0$. Punto de $r$ del apartado a):

   $Q(1,\ 5,\ 7)$

2. Distancia del punto al plano:

   $d(Q,\pi)$${}= \frac{|-8\cdot 1-5-2\cdot 7-5|}{\sqrt{(-8)^2+(-1)^2+(-2)^2}}$${}= \frac{|-32|}{\sqrt{69}}$

3. Racionalizamos:

   $\frac{32}{\sqrt{69}}=\frac{32\sqrt{69}}{69}\approx 3{,}85$

Planteamiento Comparamos los vectores directores: si no son proporcionales, las rectas se cortan o se cruzan. Lo decide el determinante de los dos directores y el vector que une un punto de cada recta.

1. Puntos y vectores directores:

   $A(-1,\ -2,\ 2),\ \vec{u}=(4,\ 3,\ -1)$$B(1,\ 2,\ -3),\ \vec{v}=(-1,\ 1,\ -2)$

2. $\vec{u}$ y $\vec{v}$ no son proporcionales, porque los cocientes de las componentes no coinciden:

   $\frac{4}{-1}\neq\frac{3}{1}$

3. Vector que une los dos puntos:

   $\vec{AB}=(2,\ 4,\ -5)$

4. Determinante de los tres vectores:

   $\begin{vmatrix}2&4&-5\\ 4&3&-1\\ -1&1&-2\end{vmatrix}$${}= 2(-6+1)$${}-4(-8-1)-5(4+3)$

5. Operamos:

   $-10+36-35=-9\neq 0$

Planteamiento Una recta perpendicular a $r$ y a $s$ tiene como dirección $\vec{w}=\vec{u}\times\vec{v}$. Si además está en un plano con $r$, ese plano pasa por $A$ y tiene como vectores directores $\vec{u}$ y $\vec{w}$; su normal es $\vec{u}\times\vec{w}$.

1. Dirección perpendicular a las dos rectas:

   $\vec{w}$${}= \vec{u}\times\vec{v}$${}= \begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 4&3&-1\\ -1&1&-2\end{vmatrix}$

2. Componentes:

   $\vec{w}$${}= (3(-2)-(-1)1,\ (-1)(-1)-4(-2),\ 4\cdot 1-3(-1))$${}= (-5,\ 9,\ 7)$

3. Normal del plano:

   $\vec{n}$${}= \vec{u}\times\vec{w}$${}= \begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 4&3&-1\\ -5&9&7\end{vmatrix}$

4. Componentes:

   $\vec{n}$${}= (3\cdot 7-(-1)9,\ (-1)(-5)-4\cdot 7,\ 4\cdot 9-3(-5))$${}= (30,\ -23,\ 51)$

5. Plano por $A(-1,\ -2,\ 2)$ con esa normal:

   $30(x+1)$${}-23(y+2)$${}+51(z-2)=0$

6. Operando ($30-46-102=-118$):

   $30x-23y+51z-118=0$

7. Comprobación: $\vec{n}$ es perpendicular a $\vec{u}$:

   $\vec{n}\cdot\vec{u}=120-69-51=0$

8. y también a $\vec{w}$:

   $\vec{n}\cdot\vec{w}=-150-207+357=0$

Planteamiento El simétrico $P'$ cumple que el punto medio $M$ de $PP'$ es la proyección de $P$ sobre $r$. Hallamos $M$ cortando $r$ con el plano perpendicular a $r$ que pasa por $P$, y después $P'=2M-P$.

1. Normales de los dos planos que definen $r$:

   $\vec{n}_1=(1,\ -2,\ 1)$$\vec{n}_2=(0,\ 1,\ -1)$

2. Vector director de $r$:

   $\vec{d}$${}= \vec{n}_1\times\vec{n}_2$${}= \big((-2)(-1)-1\cdot 1,\ 1\cdot 0-1\cdot(-1),\ 1\cdot 1-(-2)\cdot 0\big)$${}= (1,\ 1,\ 1)$

3. Un punto de $r$: con $z=0$ sale $y=1$ y $x=2+2=4$. Ecuaciones paramétricas:

   $r\equiv(x,\ y,\ z)=(4+t,\ 1+t,\ t)$

4. Plano perpendicular a $r$ por $P(2,\ 2,\ 1)$, con normal $\vec{d}$:

   $x+y+z-5=0$

5. Lo cortamos con $r$:

   $(4+t)+(1+t)+t$${}-5=0$${}\Longrightarrow 3t=0$${}\Longrightarrow t=0$

6. El punto medio es $M(4,\ 1,\ 0)$. Despejamos $P'$ de $M=\frac{P+P'}{2}$:

   $P'$${}= 2M-P$${}= (8-2,\ 2-2,\ 0-1)$${}= (6,\ 0,\ -1)$

Planteamiento Trazamos la recta perpendicular a $\pi$ por $Q$, la cortamos con $\pi$ para obtener el punto medio $M$ y calculamos $Q'=2M-Q$.

1. Recta perpendicular a $\pi$ por $Q(1,\ -1,\ -3)$, con dirección $\vec{n}=(1,\ -2,\ 1)$:

   $(x,\ y,\ z)=(1+t,\ -1-2t,\ -3+t)$

2. Sustituimos en $\pi$:

   $(1+t)-2(-1-2t)$${}+(-3+t)+6=0$${}\Longrightarrow 6+6t=0$

3. Despejamos y obtenemos el punto medio:

   $t=-1$$M(0,\ 1,\ -4)$

4. Simétrico:

   $Q'$${}= 2M-Q$${}= (0-1,\ 2+1,\ -8+3)$${}= (-1,\ 3,\ -5)$

5. Comprobación: $M$ está en $\pi$ y $\vec{QQ'}$ es proporcional a $\vec{n}$:

   $0-2+(-4)+6=0$$\vec{QQ'}=(-2,\ 4,\ -2)=-2\,\vec{n}$

Planteamiento Tomamos un punto y un vector director de cada recta. Si los vectores no son proporcionales, las rectas se cortan o se cruzan según si el determinante de $\vec{AB}$, $\vec{u}$ y $\vec{v}$ es nulo o no.

1. En $r$: $y=0$ y $z=2x$. Con $x=t$:

   $r\equiv(t,\ 0,\ 2t)$$A(0,\ 0,\ 0)$$\vec{u}=(1,\ 0,\ 2)$

2. En $s$: $z=0$ e $y=-7-x$. Con $x=-7+\mu$:

   $s\equiv(-7+\mu,\ -\mu,\ 0)$$B(-7,\ 0,\ 0)$$\vec{v}=(1,\ -1,\ 0)$

3. $\vec{u}$ y $\vec{v}$ no son proporcionales (la segunda componente de $\vec{u}$ es $0$ y la de $\vec{v}$ no), así que no son paralelas ni coincidentes. Con $\vec{AB}=(-7,\ 0,\ 0)$:

   $\begin{vmatrix}-7&0&0\\ 1&0&2\\ 1&-1&0\end{vmatrix}$${}= -7\cdot\big(0\cdot 0-2\cdot(-1)\big)$${}= -14$

4. El determinante no es nulo: los tres vectores no son coplanarios.

   $-14\neq 0$