VAN, TIR i termini de recuperació: exercicis resolts

Q: Què és el VAN i com es calcula?

És el valor que una inversió afegeix avui: cada flux de caixa es divideix entre (1+k)t per portar-lo a l’any 0, se sumen i es resta el desemborsament. Si surt positiu, la inversió rendeix més que la taxa k que s’exigeix.

Q: Quina diferència hi ha entre el VAN i la TIR?

El VAN dona un import en euros per a una taxa concreta. La TIR dona una rendibilitat en percentatge: la taxa amb la qual el VAN seria zero. Una inversió amb VAN>0 a la taxa k té TIR>k.

Q: Com es calcula la TIR amb dos anys?

Iguala el VAN a zero, anomena x=1+TIR i multiplica per x2: resta D x2−F1x−F2=0. Resol l’equació de segon grau, queda’t amb l’arrel positiva i resta 1.

L’essencial

Una inversió es descriu amb el desemborsament inicial $D$ , que es paga l’any 0, i amb els fluxos nets de caixa $F_t$ de cada any: els cobraments menys els pagaments d’aquell any. Si l’enunciat dona cobraments i pagaments, resta primer any a any. Un valor residual, allò que s’obté en vendre l’equip al final, se suma al flux de l’últim any.

Un euro d’aquí a un any val menys que un euro avui, perquè avui es podria invertir a una taxa $k$ . Per això cada flux es divideix entre $(1+k)^t$ , on $t$ és l’any en què arriba: és actualitzar-lo, portar-lo a l’any 0. El VAN és la suma dels fluxos actualitzats menys el desemborsament. Si $\mathrm{VAN}>0$ , la inversió rendeix més que $k$ i convé; si $\mathrm{VAN}<0$ , rendeix menys. Entre dos projectes es prefereix el de més VAN.

Els tres criteris de selecció d’inversions

Criteri	Com es calcula	La inversió interessa si…
Flux net de caixa	Com es calcula $F_t=\text{cobraments}_t-\text{pagaments}_t$ (més el valor residual en l’últim any)	La inversió interessa si…És la dada de partida dels tres criteris
VAN	Com es calcula $\mathrm{VAN}=-D+\sum_{t=1}^{n}\dfrac{F_t}{(1+k)^t}$	La inversió interessa si… $\mathrm{VAN}>0$ ; entre diverses, la de més VAN
TIR	Com es calculaLa taxa que compleix $-D+\sum_{t=1}^{n}\dfrac{F_t}{(1+\mathrm{TIR})^t}=0$	La inversió interessa si… $\mathrm{TIR}>k$ ; entre diverses, la de més TIR
TIR amb un flux	Com es calcula $\mathrm{TIR}=\dfrac{F_1}{D}-1$	La inversió interessa si… $\mathrm{TIR}>k$
TIR amb dos fluxos	Com es calcula $D\,x^2-F_1\,x-F_2=0$ , amb $x=1+\mathrm{TIR}>0$	La inversió interessa si… $\mathrm{TIR}>k$
Termini de recuperació	Com es calculaAnys fins que $F_1+F_2+\dots\ge D$ , sense actualitzar; la fracció de l’últim any, per $12$ , dona els mesos	La inversió interessa si…Es recupera dins de la vida del projecte; entre diversos, el més ràpid

La TIR és la taxa de descompte que fa zero el VAN, i es compara amb la rendibilitat exigida: si la supera, la inversió interessa. Amb un sol flux, $\mathrm{TIR}=F_1/D-1$ . Amb dos, es diu $x=1+\mathrm{TIR}$ , es multiplica l’equació per $x^2$ i resta una equació de segon grau de la qual només val l’arrel positiva. Amb més anys es busca per tempteig: es proven taxes fins a trobar-ne dues entre les quals el VAN canvia de signe i s’estreny l’interval.

El termini de recuperació compta quants anys tarden els fluxos acumulats, sense actualitzar, a igualar el desemborsament. Si s’assoleix a mitjan any, se suposa que el flux arriba repartit per igual: allò que falta entre el flux d’aquell any dona la fracció d’any, i per $12$ , els mesos. És senzill, però ignora el valor dels diners en el temps i allò que arriba després de recuperar la inversió. Per això s’anomena criteri estàtic, i el VAN i la TIR, dinàmics.

Exemples resolts

Una impremta estudia comprar una màquina de

30\,000

€ que generarà uns fluxos nets de caixa de

16\,500

€ el primer any i

21\,780

€ el segon. Amb una taxa de descompte del

10\ \%

, calcula el VAN i digues si convé.

Planteja el VAN amb una taxa del $10\ \%$ : cada flux es divideix entre $(1+k)^t$ , on $t$ és l’any en què arriba, i el desemborsament de l’any 0 es resta sense actualitzar.
$\mathrm{VAN}=-30\,000+\dfrac{16\,500}{1{,}1}+\dfrac{21\,780}{1{,}1^2}$
Actualitza cada flux per portar-lo a l’any 0.
$\dfrac{16\,500}{1{,}1}=15\,000,\quad \dfrac{21\,780}{1{,}1^2}=18\,000$
Suma els fluxos actualitzats i resta el desemborsament.
$\mathrm{VAN}=-30\,000+15\,000+18\,000=3\,000$ €
Interpreta el signe: el VAN és positiu, de manera que la inversió rendeix més que el $10\ \%$ exigit i convé fer-la.

Resultat $\mathrm{VAN}=3\,000$ €: la inversió convé.

Un hostal reforma les habitacions per

50\,000

€ i espera uns fluxos nets de caixa de

20\,000

€,

24\,000

€ i

18\,000

€ en els tres anys següents. Calcula el termini de recuperació en anys i mesos.

Acumula els fluxos sense actualitzar, any a any, fins que igualin o superin el desemborsament.
$\text{després de l’any }2:\ 20\,000+24\,000=44\,000<50\,000;\quad\text{després de l’any }3:\ 62\,000\ge50\,000$
En començar l’any $3$ falten $6\,000$ €. Si el flux arriba repartit per igual al llarg de l’any, es recuperen en la part proporcional d’aquell any; multiplicant per $12$ , en mesos.
$\dfrac{6\,000}{18\,000}\cdot12=4\ \text{mesos}$

Resultat $2$ anys i $4$ mesos.

Una inversió de

8\,000

€ genera

5\,000

€ al final del primer any i

4\,500

€ al final del segon. Calcula la TIR i digues si interessa a una empresa que exigeix un

9\ \%

La TIR és la taxa que fa zero el VAN: escriu el VAN amb la TIR en lloc de la taxa i iguala’l a $0$ .
$0=-8\,000+\dfrac{5\,000}{1+\mathrm{TIR}}+\dfrac{4\,500}{(1+\mathrm{TIR})^2}$
Anomena $x=1+\mathrm{TIR}$ , multiplica tota l’equació per $x^2$ i divideix entre $1\,000$ per treballar amb nombres petits. Resta una equació de segon grau.
$8x^2-5x-4{,}5=0$
Resol i queda’t amb l’arrel positiva: l’altra donaria $1+\mathrm{TIR}<0$ , que no té sentit econòmic.
$x=\dfrac{5+\sqrt{5^2+4\cdot8\cdot4{,}5}}{2\cdot8}=\dfrac{5+13}{16}=1{,}125$
Desfés el canvi de variable i expressa la TIR en percentatge.
$\mathrm{TIR}=x-1=0{,}125=12{,}5\ \%$
Compara amb la taxa exigida: $12{,}5\ \%>9\ \%$ , de manera que la inversió interessa.

Resultat $\mathrm{TIR}=12{,}5\ \%$ : interessa.

Una empresa de repartiment compra una furgoneta elèctrica per

30\,000

€. Preveu uns fluxos nets de caixa de

12\,000

€,

15\,000

€ i

10\,000

€ en els tres anys següents. Amb una taxa de descompte del

6\ \%

, calcula el VAN als cèntims.

Planteja el VAN amb una taxa del $6\ \%$ : cada flux es divideix entre $(1+k)^t$ , on $t$ és l’any en què arriba, i el desemborsament de l’any 0 es resta sense actualitzar.
$\mathrm{VAN}=-30\,000+\dfrac{12\,000}{1{,}06}+\dfrac{15\,000}{1{,}06^2}+\dfrac{10\,000}{1{,}06^3}$
Actualitza cada flux. Aquí es mostren arrodonits a l’euro només per seguir el compte; el VAN es calcula amb els quocients sense arrodonir.
$\dfrac{12\,000}{1{,}06}\approx11\,321,\quad \dfrac{15\,000}{1{,}06^2}\approx13\,350,\quad \dfrac{10\,000}{1{,}06^3}\approx8\,396$
Suma i resta el desemborsament. Amb els termes arrodonits sortiria quasi el mateix; la diferència de cèntims es deu a aquest arrodoniment, per això s’arrodoneix només al final.
$\mathrm{VAN}=-30\,000+\dfrac{12\,000}{1{,}06}+\dfrac{15\,000}{1{,}06^2}+\dfrac{10\,000}{1{,}06^3}=3\,066{,}89$ €
Interpreta el signe: el VAN és positiu, de manera que la inversió rendeix més que el $6\ \%$ exigit i convé fer-la.

Resultat $\mathrm{VAN}=3\,066{,}89$ €: la inversió convé.

Exercicis

De menys a més. «Prova-ho al comprovador» te’l deixa preparat a dalt perquè el resolguis tu i el codi el corregeixi; la solució és plegada a sota.

Exercici 1Nivell 1Comprovat per codi
Una cooperativa agrícola vol comprar una collidora usada per $20\,000$ €. Espera uns fluxos nets de caixa de $13\,200$ € el primer any i $14\,520$ € el segon. Amb una taxa de descompte del $10\ \%$ anual, calcula el VAN i indica si la compra convé.
Mostra la solució
1. Planteja el VAN amb una taxa del $10\ \%$ : cada flux es divideix entre $(1+k)^t$ , on $t$ és l’any en què arriba, i el desemborsament de l’any 0 es resta sense actualitzar.
  $\mathrm{VAN}=-20\,000+\dfrac{13\,200}{1{,}1}+\dfrac{14\,520}{1{,}1^2}$
2. Actualitza cada flux per portar-lo a l’any 0.
  $\dfrac{13\,200}{1{,}1}=12\,000,\quad \dfrac{14\,520}{1{,}1^2}=12\,000$
3. Suma els fluxos actualitzats i resta el desemborsament.
  $\mathrm{VAN}=-20\,000+12\,000+12\,000=4\,000$ €
4. Interpreta el signe: el VAN és positiu, de manera que la inversió rendeix més que el $10\ \%$ exigit i convé fer-la.
VAN: 4.000 €.
Exercici 2Nivell 1Comprovat per codi
Una acadèmia d’idiomes inverteix $14\,000$ € a renovar dues aules. Calcula que la reforma li donarà uns fluxos nets de caixa de $6\,000$ € el primer any i $9\,500$ € el segon. Si exigeix una rendibilitat del $8\ \%$ anual, calcula el VAN, arrodonit als cèntims, i explica si la reforma interessa.
Mostra la solució
1. Planteja el VAN amb una taxa del $8\ \%$ : cada flux es divideix entre $(1+k)^t$ , on $t$ és l’any en què arriba, i el desemborsament de l’any 0 es resta sense actualitzar.
  $\mathrm{VAN}=-14\,000+\dfrac{6\,000}{1{,}08}+\dfrac{9\,500}{1{,}08^2}$
2. Actualitza cada flux. Aquí es mostren arrodonits a l’euro només per seguir el compte; el VAN es calcula amb els quocients sense arrodonir.
  $\dfrac{6\,000}{1{,}08}\approx5\,556,\quad \dfrac{9\,500}{1{,}08^2}\approx8\,145$
3. Suma i resta el desemborsament. Amb els termes arrodonits sortiria quasi el mateix; la diferència de cèntims es deu a aquest arrodoniment, per això s’arrodoneix només al final.
  $\mathrm{VAN}=-14\,000+\dfrac{6\,000}{1{,}08}+\dfrac{9\,500}{1{,}08^2}=-299{,}73$ €
4. Interpreta el signe: el VAN és negatiu, de manera que la inversió rendeix menys que el $8\ \%$ exigit i no convé fer-la.
VAN: -299,73 €.
Exercici 3Nivell 1Comprovat per codi
Un camió de menjar costa $24\,000$ €. Els seus fluxos nets de caixa previstos són $9\,000$ € el primer any, $9\,000$ € el segon i $12\,000$ € el tercer. Calcula el termini de recuperació en anys i mesos.
Mostra la solució
1. Acumula els fluxos sense actualitzar, any a any, fins que igualin o superin el desemborsament.
  $\text{després de l’any }2:\ 9\,000+9\,000=18\,000<24\,000;\quad\text{després de l’any }3:\ 30\,000\ge24\,000$
2. En començar l’any $3$ falten $6\,000$ €. Si el flux arriba repartit per igual al llarg de l’any, es recuperen en la part proporcional d’aquell any; multiplicant per $12$ , en mesos.
  $\dfrac{6\,000}{12\,000}\cdot12=6\ \text{mesos}$
3. Ajunta les dues parts: $2$ anys complets més els mesos de l’any $3$ .
Termini de recuperació: 2 anys i 6 mesos.
Exercici 4Nivell 1Comprovat per codi
Una botiga de bicicletes estudia obrir un taller de reparació. Muntar-lo costa $42\,000$ € i preveu uns fluxos nets de caixa de $22\,000$ € el primer any i $24\,200$ € el segon. Amb una taxa de descompte del $10\ \%$ , calcula el VAN i digues si ha d’obrir el taller.
Mostra la solució
1. Planteja el VAN amb una taxa del $10\ \%$ : cada flux es divideix entre $(1+k)^t$ , on $t$ és l’any en què arriba, i el desemborsament de l’any 0 es resta sense actualitzar.
  $\mathrm{VAN}=-42\,000+\dfrac{22\,000}{1{,}1}+\dfrac{24\,200}{1{,}1^2}$
2. Actualitza cada flux per portar-lo a l’any 0.
  $\dfrac{22\,000}{1{,}1}=20\,000,\quad \dfrac{24\,200}{1{,}1^2}=20\,000$
3. Suma els fluxos actualitzats i resta el desemborsament.
  $\mathrm{VAN}=-42\,000+20\,000+20\,000=-2\,000$ €
4. Interpreta el signe: el VAN és negatiu, de manera que la inversió rendeix menys que el $10\ \%$ exigit i no convé fer-la.
VAN: -2.000 €.
Exercici 5Nivell 2Comprovat per codi
Un estudi de fotografia compra equip d’il·luminació per $27\,000$ €. Els fluxos nets de caixa previstos són $10\,500$ €, $13\,230$ € i $9\,261$ € en els tres anys següents. Amb una taxa de descompte del $5\ \%$ , calcula el VAN i el termini de recuperació en anys, amb dos decimals.
Mostra la solució
1. Planteja el VAN amb una taxa del $5\ \%$ : cada flux es divideix entre $(1+k)^t$ , on $t$ és l’any en què arriba, i el desemborsament de l’any 0 es resta sense actualitzar.
  $\mathrm{VAN}=-27\,000+\dfrac{10\,500}{1{,}05}+\dfrac{13\,230}{1{,}05^2}+\dfrac{9\,261}{1{,}05^3}$
2. Actualitza cada flux per portar-lo a l’any 0.
  $\dfrac{10\,500}{1{,}05}=10\,000,\quad \dfrac{13\,230}{1{,}05^2}=12\,000,\quad \dfrac{9\,261}{1{,}05^3}=8\,000$
3. Suma els fluxos actualitzats i resta el desemborsament.
  $\mathrm{VAN}=-27\,000+10\,000+12\,000+8\,000=3\,000$ €
4. Interpreta el signe: el VAN és positiu, de manera que la inversió rendeix més que el $5\ \%$ exigit i convé fer-la.
5. Acumula els fluxos sense actualitzar, any a any, fins que igualin o superin el desemborsament.
  $\text{després de l’any }2:\ 10\,500+13\,230=23\,730<27\,000;\quad\text{després de l’any }3:\ 32\,991\ge27\,000$
6. En començar l’any $3$ falten $3\,270$ €. Si el flux arriba repartit per igual al llarg de l’any, es recuperen en la part proporcional d’aquell any.
  $\dfrac{3\,270}{9\,261}\approx0{,}35\ \text{anys}$
7. Suma els anys complets i la fracció, amb dos decimals.
  $2+0{,}35=2{,}35\ \text{anys}$
8. El termini fa servir fluxos sense actualitzar: no té en compte que els euros de l’any 3 valen menys que els de l’any 1.
VAN: 3.000 €. Termini de recuperació: 2,35 anys.
Exercici 6Nivell 2Comprovat per codi
Una empresa d’esdeveniments pot invertir $40\,000$ € en un escenari desmuntable que, al cap d’un any, li deixarà un flux net de caixa de $46\,000$ € i cap altre. El seu finançament li costa un $12\ \%$ anual. Calcula la TIR i raona si li convé.
Mostra la solució
1. Amb un únic flux, el VAN és zero quan el flux actualitzat iguala el desemborsament.
  $0=-40\,000+\dfrac{46\,000}{1+\mathrm{TIR}}$
2. Aïlla $1+\mathrm{TIR}$ : és el que creix els diners invertits en un any.
  $1+\mathrm{TIR}=\dfrac{46\,000}{40\,000}=1{,}15$
3. Resta $1$ i expressa la TIR en percentatge.
  $\mathrm{TIR}=0{,}15=15\ \%$
4. Compara amb el cost dels diners: $15\ \%>12\ \%$ , de manera que la inversió rendeix més del que costa finançar-la i convé.
TIR: 15 %.
Exercici 7Nivell 2Comprovat per codi
Un gimnàs inverteix $10\,000$ € en màquines noves, que generaran uns fluxos nets de caixa de $6\,000$ € el primer any i $7\,200$ € el segon. Calcula la TIR i digues si la inversió interessa quan la rendibilitat exigida és del $14\ \%$ .
Mostra la solució
1. La TIR és la taxa que fa zero el VAN: escriu el VAN amb la TIR en lloc de la taxa i iguala’l a $0$ .
  $0=-10\,000+\dfrac{6\,000}{1+\mathrm{TIR}}+\dfrac{7\,200}{(1+\mathrm{TIR})^2}$
2. Anomena $x=1+\mathrm{TIR}$ , multiplica tota l’equació per $x^2$ i divideix entre $1\,000$ per treballar amb nombres petits. Resta una equació de segon grau.
  $10x^2-6x-7{,}2=0$
3. Resol i queda’t amb l’arrel positiva: l’altra donaria $1+\mathrm{TIR}<0$ , que no té sentit econòmic.
  $x=\dfrac{6+\sqrt{6^2+4\cdot10\cdot7{,}2}}{2\cdot10}=\dfrac{6+18}{20}=1{,}2$
4. Desfés el canvi de variable i expressa la TIR en percentatge.
  $\mathrm{TIR}=x-1=0{,}2=20\ \%$
5. Compara: $20\ \%>14\ \%$ , la inversió rendeix més que la taxa exigida.
TIR: 20 %.
Exercici 8Nivell 2Comprovat per codi
Una bugaderia compra una màquina industrial per $32\,000$ €. Durant dos anys donarà uns fluxos nets de caixa de $16\,500$ € i $19\,360$ €, i al final del segon any es vendrà per $4\,840$ € (valor residual, sense impostos). Amb una taxa de descompte del $10\ \%$ , calcula el VAN i digues si convé la compra.
Mostra la solució
1. El valor residual és un cobrament més de l’últim any: suma’l al flux de l’any 2 abans d’actualitzar.
  $F_2=19\,360+4\,840=24\,200$ €
2. Planteja el VAN amb una taxa del $10\ \%$ : cada flux es divideix entre $(1+k)^t$ , on $t$ és l’any en què arriba, i el desemborsament de l’any 0 es resta sense actualitzar.
  $\mathrm{VAN}=-32\,000+\dfrac{16\,500}{1{,}1}+\dfrac{24\,200}{1{,}1^2}$
3. Actualitza cada flux per portar-lo a l’any 0.
  $\dfrac{16\,500}{1{,}1}=15\,000,\quad \dfrac{24\,200}{1{,}1^2}=20\,000$
4. Suma els fluxos actualitzats i resta el desemborsament.
  $\mathrm{VAN}=-32\,000+15\,000+20\,000=3\,000$ €
5. Interpreta el signe: el VAN és positiu, de manera que la inversió rendeix més que el $10\ \%$ exigit i convé fer-la.
VAN: 3.000 €.
Exercici 9Nivell 3Comprovat per codi
Una clínica veterinària valora comprar un ecògraf per $44\,000$ €. Preveu uns cobraments de $52\,000$ € el primer any i $50\,040$ € el segon, amb uns pagaments de $20\,100$ € i $21\,000$ €, respectivament. Amb una taxa de descompte del $10\ \%$ : a) calcula el VAN; b) calcula la TIR, amb dos decimals; c) calcula el termini de recuperació en anys i mesos.
Mostra la solució
1. Calcula primer el flux net de cada any: cobraments menys pagaments d’aquell mateix any.
  $F_1=52\,000-20\,100=31\,900,\quad F_2=50\,040-21\,000=29\,040$ €
2. Planteja el VAN amb una taxa del $10\ \%$ : cada flux es divideix entre $(1+k)^t$ , on $t$ és l’any en què arriba, i el desemborsament de l’any 0 es resta sense actualitzar.
  $\mathrm{VAN}=-44\,000+\dfrac{31\,900}{1{,}1}+\dfrac{29\,040}{1{,}1^2}$
3. Actualitza cada flux per portar-lo a l’any 0.
  $\dfrac{31\,900}{1{,}1}=29\,000,\quad \dfrac{29\,040}{1{,}1^2}=24\,000$
4. Suma els fluxos actualitzats i resta el desemborsament.
  $\mathrm{VAN}=-44\,000+29\,000+24\,000=9\,000$ €
5. Interpreta el signe: el VAN és positiu, de manera que la inversió rendeix més que el $10\ \%$ exigit i convé fer-la.
6. La TIR és la taxa que fa zero el VAN: escriu el VAN amb la TIR en lloc de la taxa i iguala’l a $0$ .
  $0=-44\,000+\dfrac{31\,900}{1+\mathrm{TIR}}+\dfrac{29\,040}{(1+\mathrm{TIR})^2}$
7. Anomena $x=1+\mathrm{TIR}$ , multiplica tota l’equació per $x^2$ i divideix entre $1\,000$ per treballar amb nombres petits. Resta una equació de segon grau.
  $44x^2-31{,}9x-29{,}04=0$
8. Resol i queda’t amb l’arrel positiva: l’altra donaria $1+\mathrm{TIR}<0$ , que no té sentit econòmic.
  $x=\dfrac{31{,}9+\sqrt{31{,}9^2+4\cdot44\cdot29{,}04}}{2\cdot44}\approx1{,}2521$
9. Desfés el canvi de variable. Fes servir tots els decimals de $x$ que doni la calculadora i arrodoneix només la TIR, a dos decimals.
  $\mathrm{TIR}=x-1\approx25{,}21\ \%$
10. La TIR supera la taxa del $10\ \%$ , com era d’esperar amb un VAN positiu.
11. Acumula els fluxos sense actualitzar, any a any, fins que igualin o superin el desemborsament.
  $\text{després de l’any }1:\ 31\,900<44\,000;\quad\text{després de l’any }2:\ 60\,940\ge44\,000$
12. En començar l’any $2$ falten $12\,100$ €. Si el flux arriba repartit per igual al llarg de l’any, es recuperen en la part proporcional d’aquell any; multiplicant per $12$ , en mesos.
  $\dfrac{12\,100}{29\,040}\cdot12=5\ \text{mesos}$
13. El desemborsament es recupera en $1$ any i $5$ mesos.
VAN: 9.000 €. TIR: 25,21 %. Termini de recuperació: 1 anys i 5 mesos.
Exercici 10Nivell 3
Una autoescola compra un cotxe de pràctiques per $15\,000$ €, que donarà uns fluxos nets de caixa de $8\,400$ € el primer any i $8\,560$ € el segon. El seu banc li cobra un $5\ \%$ el primer any i un $7\ \%$ el segon. Calcula el VAN amb aquestes dues taxes.
Mostra la solució
1. Amb taxes diferents, cada flux es descompta amb les taxes de tots els anys que el separen de l’any 0: el segon, amb la del primer any i amb la del segon.
  $\mathrm{VAN}=-15\,000+\dfrac{8\,400}{1{,}05}+\dfrac{8\,560}{1{,}05\cdot1{,}07}$
2. Actualitza cada flux.
  $\dfrac{8\,400}{1{,}05}=8\,000,\quad \dfrac{8\,560}{1{,}1235}\approx7\,619$
3. Suma i resta el desemborsament, sense arrodonir els termes.
  $\mathrm{VAN}=-15\,000+8\,000+\dfrac{8\,560}{1{,}1235}=619{,}05$ €
4. El VAN és positiu: convé, tot i que el marge és petit davant del desemborsament.
VAN: 619,05 €.

Així surt a la PAU

Els exercicis oficials de la PAU sobre aquest tema, resolts pas a pas a EducaIA:

Els exercicis oficials d’inversió (VAN, TIR i termini) de la PAU d’Empresa de Catalunya, resolts pas a pas

Més preguntes reals d’exàmens oficials sobre aquest tema. Et diem de què van; l’enunciat és a l’examen.

Madrid 2023 convocatòria ordinària · pregunta A.5
Inversió a dos anys amb cobraments, pagaments i valor residual al 10 %: VAN, TIR per equació de segon grau i termini de recuperació.
Obre l’examen (p. 1)
Madrid 2023 convocatòria extraordinària · pregunta A.6
Dos projectes del sector de l’automòbil comparats pel VAN al 12 % i pel termini de recuperació.
Obre l’examen (p. 1)
Madrid 2024 convocatòria extraordinària · pregunta B.6
VAN de dos models de negoci a partir de cobraments i pagaments al 10 % i lectura de les TIR que dona l’enunciat.
Obre l’examen (p. 2)
Madrid 2025 convocatòria extraordinària · pregunta 2
Dos projectes tecnològics: VAN al 5 %, efecte d’un desemborsament més gran i, a escollir, TIR o termini de recuperació.
Obre l’examen (p. 1)

Errors típics

Donar el VAN sense dir si la inversió convé: el raonament segons el criteri es puntua a part del càlcul.
Criteri de correcció
Actualitzar cobraments i pagaments sense calcular abans el flux net de cada any, o restar pagaments d’un any a cobraments d’un altre.
Criteri de correcció
Oblidar el valor residual o posar-lo a l’any 0: se suma al flux de l’últim any.
Criteri de correcció
Quedar-se amb l’arrel negativa de l’equació de segon grau de la TIR.
Criteri de correcció
Donar el termini de recuperació en anys sencers quan s’assoleix a mitjan any: cal repartir la fracció en mesos o dies.
Criteri de correcció
Dividir tots els fluxos entre $(1+k)$ amb el mateix exponent, o actualitzar també el desemborsament de l’any 0.
Escriure la TIR en tant per u ( $0{,}2$ ) quan es demana en percentatge ( $20\ \%$ ), o comparar-la amb la taxa en unitats diferents.

Preguntes freqüents

Què és el VAN i com es calcula?

És el valor que una inversió afegeix avui: cada flux de caixa es divideix entre $(1+k)^t$ per portar-lo a l’any 0, se sumen i es resta el desemborsament. Si surt positiu, la inversió rendeix més que la taxa $k$ que s’exigeix.

Quina diferència hi ha entre el VAN i la TIR?

El VAN dona un import en euros per a una taxa concreta. La TIR dona una rendibilitat en percentatge: la taxa amb la qual el VAN seria zero. Una inversió amb $\mathrm{VAN}>0$ a la taxa $k$ té $\mathrm{TIR}>k$ .

Com es calcula la TIR amb dos anys?

Iguala el VAN a zero, anomena $x=1+\mathrm{TIR}$ i multiplica per $x^2$ : resta $D\,x^2-F_1x-F_2=0$ . Resol l’equació de segon grau, queda’t amb l’arrel positiva i resta $1$ .

Què és el termini de recuperació o payback?

És el temps que tarden els fluxos acumulats, sense actualitzar, a tornar el desemborsament. Si s’assoleix a mitjan any, la part que falta entre el flux d’aquell any dona la fracció, que es passa a mesos multiplicant per $12$ .

Què significa un VAN negatiu?

Que, amb la taxa exigida, la inversió no recupera el desemborsament més aquesta rendibilitat. No vol dir que perdi diners en termes absoluts: pot tornar més del que s’ha invertit i, tot i això, rendir menys que $k$ .

Fonts

Arrodoneix només al final: el VAN, als cèntims, i la TIR, en percentatge amb dos decimals.

RD 243/2022, annex II: Empresa i Disseny de Models de Negoci, bloc B «El model de negoci i de gestió»: la funció financera, inversió, valoració i selecció d’inversions. Obre
EvAU Madrid 2023 ordinària, Economia de l’Empresa, A.5: enunciat pàgina 1, criteri pàgina 3 i solució pàgines 5 i 6. Matèria anterior a l’actual. Obre
EvAU Madrid 2023 extraordinària, Economia de l’Empresa, A.6: enunciat pàgina 1, criteri pàgina 3 i solució pàgines 5 i 6. Matèria anterior a l’actual. Obre
EvAU Madrid 2024 extraordinària, Empresa i Disseny de Models de Negoci, B.6: enunciat pàgina 2, criteri pàgina 3 i solució pàgina 9. Obre
PAU Madrid 2025 extraordinària, Empresa i Disseny de Models de Negoci, pregunta 2: enunciat pàgina 1, criteri pàgina 3 i solució pàgines 4 i 5. Obre

Escrit per EducaIA. Les solucions les comprova un programa, sense IA.

Com fem els apunts i els exercicis