Punt mort o llindar de rendibilitat: exercicis resolts

Q: Com es calcula el benefici a partir del punt mort?

Amb les dades d'aquesta pàgina, calcula B=Q(P−CVu)−CF. Si no canvien ni el preu ni els costos, també pots expressar-lo com B=(Q−Q∗)(P−CVu).

L’essencial

Els costos fixos no canvien amb la quantitat dins del període i de l'interval d'activitat estudiats. Els costos variables totals sí que canvien: si el cost variable unitari és constant, s'obtenen multiplicant-lo per la quantitat. No confonguis un cost per unitat amb un cost total.

El marge de contribució unitari és el que aporta cada venda després de cobrir el seu cost variable. Aquesta aportació cobreix primer els costos fixos. En igualar ingressos i costos, s'obté la fórmula del llindar de rendibilitat; les seves unitats són unitats de producte, no euros.

Variables i relacions del model

Símbol	Significat	Unitat o relació
$CF$	SignificatCostos fixos del període	Unitat o relació€ per període
$P$	SignificatPreu de venda unitari	Unitat o relació€/unitat
$CV_u$	SignificatCost variable unitari	Unitat o relació€/unitat
$Q$	SignificatQuantitat venuda en el període	Unitat o relacióunitats per període
$IT$	SignificatIngressos totals	Unitat o relació $IT=PQ$
$CT$	SignificatCostos totals	Unitat o relació $CT=CF+CV_uQ$
$B$	SignificatBenefici del model	Unitat o relació $B=IT-CT=Q(P-CV_u)-CF$
$Q^*$	SignificatQuantitat d'equilibri	Unitat o relació $Q^*=CF/(P-CV_u)$ , si $P>CV_u$

En aquest model se suposa un únic producte, preu constant, costos lineals i venda de tota la producció. També s'exigeix que les dades estiguin en el mateix període: un cost fix mensual no es barreja directament amb vendes anuals. El resultat és el benefici del model de costos; no incorpora partides financeres o fiscals que no s'hagin inclòs.

Si el preu no supera el cost variable unitari i hi ha costos fixos positius, no hi ha cap quantitat positiva que permeti cobrir-los. En aquest cas no hi ha punt mort: cap venda no deixa marge per cobrir els costos fixos.

Exemples resolts

Una empresa d'un sol producte té costos fixos mensuals de

6600

€, preu de

30

€/unitat i cost variable de

8

€/unitat. Amb costos lineals i venda de tota la producció, calcula i interpreta el punt mort mensual.

Resta el cost variable unitari del preu: aquesta és l'aportació de cada venda per cobrir primer els costos fixos.
$m=P-CV_u=30-8=22\;\text{€/unitat}$
Iguala els ingressos als costos totals i aïlla la quantitat. S'utilitza el mateix període en totes les dades.
$Q^*=\frac{CF}{P-CV_u}=\frac{6600}{22}=300\;\text{unitats}$
El llindar expressa unitats, no euros. En aquest punt es cobreixen els costos; el benefici positiu apareix en vendre per damunt, si es mantenen aquests supòsits.

Resultat $Q^*=300\;\text{unitats}$

Una empresa d'un sol producte té costos fixos mensuals de

5850

€, preu de

22

€/unitat i cost variable de

9

€/unitat. Amb costos lineals i venda de tota la producció, calcula i interpreta el punt mort mensual. Calcula també el benefici o pèrdua si ven

500

unitats aquest mes.

Resta el cost variable unitari del preu: aquesta és l'aportació de cada venda per cobrir primer els costos fixos.
$m=P-CV_u=22-9=13\;\text{€/unitat}$
Iguala els ingressos als costos totals i aïlla la quantitat. S'utilitza el mateix període en totes les dades.
$Q^*=\frac{CF}{P-CV_u}=\frac{5850}{13}=450\;\text{unitats}$
Calcula el resultat per a la quantitat venuda: cada unitat aporta el marge i després es descompten els costos fixos.
$B=Q(P-CV_u)-CF=500\cdot 13-5850=650\;\text{€}$
Interpreta el signe del resultat: hi ha benefici en aquest model.

Resultat $Q^*=450\;\text{unitats}$ ; $B=650\;\text{€}$ .

Una empresa d'un sol producte té costos fixos mensuals de

2750

€, preu de

16

€/unitat i cost variable de

8

€/unitat. Amb costos lineals i venda de tota la producció, calcula i interpreta el punt mort mensual. Calcula també el benefici o pèrdua si ven

400

unitats aquest mes. Si només es venen unitats senceres, indica la primera quantitat sense pèrdues.

Resta el cost variable unitari del preu: aquesta és l'aportació de cada venda per cobrir primer els costos fixos.
$m=P-CV_u=16-8=8\;\text{€/unitat}$
Iguala els ingressos als costos totals i aïlla la quantitat. S'utilitza el mateix període en totes les dades.
$Q^*=\frac{CF}{P-CV_u}=\frac{2750}{8}=343{,}75\;\text{unitats}$
Calcula el resultat per a la quantitat venuda: cada unitat aporta el marge i després es descompten els costos fixos.
$B=Q(P-CV_u)-CF=400\cdot 8-2750=450\;\text{€}$
Interpreta el signe del resultat: hi ha benefici en aquest model.
El valor teòric admet fraccions. Si el producte només es ven sencer, la primera quantitat que cobreix els costos és $344$ unitats; s'arrodoneix cap amunt, mai a l'enter més proper.

Resultat $Q^*=343{,}75\;\text{unitats}$ ; $B=450\;\text{€}$ .

La gràfica de l’exemple 2, pas a pas

Costos fixos. Una recta horitzontal a 5850 €: no depenen de les unitats que vens.
Costos totals. Comencen a 5850 € amb zero unitats i pugen 9 € per unitat: CT = 5850 + 9·Q.
Ingressos. Surten de zero i pugen 22 € per unitat: IT = 22·Q. Pugen més de pressa que els costos perquè cada unitat deixa 13 € de marge.
El punt mort i les zones. Les rectes es tallen a 450 unitats i 9900 €. A l’esquerra, pèrdues; a la dreta, beneficis. Amb 500 unitats, el benefici és la distància entre les rectes: 650 €.

Si l’exercici demana el gràfic, marca-hi les zones de pèrdues i beneficis i interpreta el punt mort: donar només la xifra, sense les zones, és un dels errors típics.

Veure-ho en una taula

Unitats	Ingressos	Costos totals	Resultat
0	0 €	5850 €	−5850 €
450	9900 €	9900 €	0 €
500	11 000 €	10 350 €	650 €
900	19 800 €	13 950 €	5850 €

Exercicis

De menys a més. «Prova-ho al comprovador» te’l deixa preparat a dalt perquè el resolguis tu i el codi el corregeixi; la solució és plegada a sota.

En tots els exercicis: un sol producte, preu i cost variable unitari constants, costos lineals i venda de tota la producció.

Exercici 1Nivell 1Comprovat per codi
Un taller d'enquadernació treballa amb un sol producte. Els seus costos fixos mensuals són $9600$ €, el preu de venda unitari és $28$ € i el cost variable unitari és $12$ €. Calcula el punt mort mensual en unitats. Explica què significa el resultat.
Mostra la solució
1. Resta el cost variable unitari del preu: aquesta és l'aportació de cada venda per cobrir primer els costos fixos.
  $m=P-CV_u=28-12=16\;\text{€/unitat}$
2. Iguala els ingressos als costos totals i aïlla la quantitat. S'utilitza el mateix període en totes les dades.
  $Q^*=\frac{CF}{P-CV_u}=\frac{9600}{16}=600\;\text{unitats}$
3. El llindar expressa unitats, no euros. En aquest punt es cobreixen els costos; el benefici positiu apareix en vendre per damunt, si es mantenen aquests supòsits.
Q* = 600 unitats.
Exercici 2Nivell 1Comprovat per codi
Una parada de quaderns artesanals treballa amb un sol producte. Els seus costos fixos mensuals són $4500$ €, el preu de venda unitari és $15$ € i el cost variable unitari és $6$ €. Calcula el punt mort mensual en unitats. Explica què significa el resultat.
Mostra la solució
1. Resta el cost variable unitari del preu: aquesta és l'aportació de cada venda per cobrir primer els costos fixos.
  $m=P-CV_u=15-6=9\;\text{€/unitat}$
2. Iguala els ingressos als costos totals i aïlla la quantitat. S'utilitza el mateix període en totes les dades.
  $Q^*=\frac{CF}{P-CV_u}=\frac{4500}{9}=500\;\text{unitats}$
3. El llindar expressa unitats, no euros. En aquest punt es cobreixen els costos; el benefici positiu apareix en vendre per damunt, si es mantenen aquests supòsits.
Q* = 500 unitats.
Exercici 3Nivell 1Comprovat per codi
Un servei d'impressió de làmines treballa amb un sol producte. Els seus costos fixos mensuals són $7200$ €, el preu de venda unitari és $40$ € i el cost variable unitari és $16$ €. Calcula el punt mort mensual en unitats. Explica què significa el resultat.
Mostra la solució
1. Resta el cost variable unitari del preu: aquesta és l'aportació de cada venda per cobrir primer els costos fixos.
  $m=P-CV_u=40-16=24\;\text{€/unitat}$
2. Iguala els ingressos als costos totals i aïlla la quantitat. S'utilitza el mateix període en totes les dades.
  $Q^*=\frac{CF}{P-CV_u}=\frac{7200}{24}=300\;\text{unitats}$
3. El llindar expressa unitats, no euros. En aquest punt es cobreixen els costos; el benefici positiu apareix en vendre per damunt, si es mantenen aquests supòsits.
Q* = 300 unitats.
Exercici 4Nivell 1Comprovat per codi
Un taller de clauers treballa amb un sol producte. Els seus costos fixos mensuals són $2520$ €, el preu de venda unitari és $10{,}5$ € i el cost variable unitari és $3{,}5$ €. Calcula el punt mort mensual en unitats. Explica què significa el resultat.
Mostra la solució
1. Resta el cost variable unitari del preu: aquesta és l'aportació de cada venda per cobrir primer els costos fixos.
  $m=P-CV_u=10{,}5-3{,}5=7\;\text{€/unitat}$
2. Iguala els ingressos als costos totals i aïlla la quantitat. S'utilitza el mateix període en totes les dades.
  $Q^*=\frac{CF}{P-CV_u}=\frac{2520}{7}=360\;\text{unitats}$
3. El llindar expressa unitats, no euros. En aquest punt es cobreixen els costos; el benefici positiu apareix en vendre per damunt, si es mantenen aquests supòsits.
Q* = 360 unitats.
Exercici 5Nivell 2Comprovat per codi
Un estudi d'agendes personalitzades treballa amb un sol producte. Els seus costos fixos mensuals són $8400$ €, el preu de venda unitari és $32$ € i el cost variable unitari és $18$ €. Calcula el punt mort mensual en unitats i el benefici o pèrdua mensual si ven $750$ unitats. Explica què significa el resultat.
Mostra la solució
1. Resta el cost variable unitari del preu: aquesta és l'aportació de cada venda per cobrir primer els costos fixos.
  $m=P-CV_u=32-18=14\;\text{€/unitat}$
2. Iguala els ingressos als costos totals i aïlla la quantitat. S'utilitza el mateix període en totes les dades.
  $Q^*=\frac{CF}{P-CV_u}=\frac{8400}{14}=600\;\text{unitats}$
3. Calcula el resultat per a la quantitat venuda: cada unitat aporta el marge i després es descompten els costos fixos.
  $B=Q(P-CV_u)-CF=750\cdot 14-8400=2100\;\text{€}$
4. Interpreta el signe del resultat: hi ha benefici en aquest model.
Q* = 600 unitats. Benefici (Q = 750): 2.100 €.
Exercici 6Nivell 2Comprovat per codi
Un petit fabricant d'estotjos treballa amb un sol producte. Els seus costos fixos mensuals són $10500$ €, el preu de venda unitari és $26$ € i el cost variable unitari és $11$ €. Calcula el punt mort mensual en unitats i el benefici o pèrdua mensual si ven $600$ unitats. Explica què significa el resultat.
Mostra la solució
1. Resta el cost variable unitari del preu: aquesta és l'aportació de cada venda per cobrir primer els costos fixos.
  $m=P-CV_u=26-11=15\;\text{€/unitat}$
2. Iguala els ingressos als costos totals i aïlla la quantitat. S'utilitza el mateix període en totes les dades.
  $Q^*=\frac{CF}{P-CV_u}=\frac{10500}{15}=700\;\text{unitats}$
3. Calcula el resultat per a la quantitat venuda: cada unitat aporta el marge i després es descompten els costos fixos.
  $B=Q(P-CV_u)-CF=600\cdot 15-10500=-1500\;\text{€}$
4. Interpreta el signe del resultat: hi ha pèrdues en aquest model.
Q* = 700 unitats. Benefici (Q = 600): -1.500 €.
Exercici 7Nivell 2Comprovat per codi
Una botiga de kits de dibuix treballa amb un sol producte. Els seus costos fixos mensuals són $6300$ €, el preu de venda unitari és $24$ € i el cost variable unitari és $10$ €. Calcula el punt mort mensual en unitats i el benefici o pèrdua mensual si ven $450$ unitats. Explica què significa el resultat.
Mostra la solució
1. Resta el cost variable unitari del preu: aquesta és l'aportació de cada venda per cobrir primer els costos fixos.
  $m=P-CV_u=24-10=14\;\text{€/unitat}$
2. Iguala els ingressos als costos totals i aïlla la quantitat. S'utilitza el mateix període en totes les dades.
  $Q^*=\frac{CF}{P-CV_u}=\frac{6300}{14}=450\;\text{unitats}$
3. Calcula el resultat per a la quantitat venuda: cada unitat aporta el marge i després es descompten els costos fixos.
  $B=Q(P-CV_u)-CF=450\cdot 14-6300=0\;\text{€}$
4. Interpreta el signe del resultat: es cobreixen exactament els costos; no hi ha ni benefici ni pèrdua.
Q* = 450 unitats. Benefici (Q = 450): 0 €.
Exercici 8Nivell 2Comprovat per codi
Un taller de bosses de tela treballa amb un sol producte. Els seus costos fixos mensuals són $2500$ €, el preu de venda unitari és $18$ € i el cost variable unitari és $10$ €. Calcula el punt mort mensual en unitats i el benefici o pèrdua mensual si ven $400$ unitats. Explica què significa el resultat. Distingeix el llindar teòric de la primera quantitat entera que cobreix els costos.
Mostra la solució
1. Resta el cost variable unitari del preu: aquesta és l'aportació de cada venda per cobrir primer els costos fixos.
  $m=P-CV_u=18-10=8\;\text{€/unitat}$
2. Iguala els ingressos als costos totals i aïlla la quantitat. S'utilitza el mateix període en totes les dades.
  $Q^*=\frac{CF}{P-CV_u}=\frac{2500}{8}=312{,}5\;\text{unitats}$
3. Calcula el resultat per a la quantitat venuda: cada unitat aporta el marge i després es descompten els costos fixos.
  $B=Q(P-CV_u)-CF=400\cdot 8-2500=700\;\text{€}$
4. Interpreta el signe del resultat: hi ha benefici en aquest model.
5. El valor teòric admet fraccions. Si el producte només es ven sencer, la primera quantitat que cobreix els costos és $313$ unitats; s'arrodoneix cap amunt, mai a l'enter més proper.
Q* = 312,5 unitats. Benefici (Q = 400): 700 €.
Exercici 9Nivell 3Comprovat per codi
Un fabricant de caixes decorades treballa amb un sol producte. Els seus costos fixos mensuals són $18480$ €, el preu de venda unitari és $34{,}5$ € i el cost variable unitari és $13{,}5$ €. Calcula el punt mort mensual en unitats i el benefici o pèrdua mensual si ven $1200$ unitats. Explica què significa el resultat.
Mostra la solució
1. Resta el cost variable unitari del preu: aquesta és l'aportació de cada venda per cobrir primer els costos fixos.
  $m=P-CV_u=34{,}5-13{,}5=21\;\text{€/unitat}$
2. Iguala els ingressos als costos totals i aïlla la quantitat. S'utilitza el mateix període en totes les dades.
  $Q^*=\frac{CF}{P-CV_u}=\frac{18480}{21}=880\;\text{unitats}$
3. Calcula el resultat per a la quantitat venuda: cada unitat aporta el marge i després es descompten els costos fixos.
  $B=Q(P-CV_u)-CF=1200\cdot 21-18480=6720\;\text{€}$
4. Interpreta el signe del resultat: hi ha benefici en aquest model.
Q* = 880 unitats. Benefici (Q = 1.200): 6.720 €.
Exercici 10Nivell 3Comprovat per codi
Un estudi de carpetes personalitzades treballa amb un sol producte. Els seus costos fixos mensuals són $16250$ €, el preu de venda unitari és $19{,}5$ € i el cost variable unitari és $7$ €. Calcula el punt mort mensual en unitats i el benefici o pèrdua mensual si ven $1100$ unitats. Explica què significa el resultat.
Mostra la solució
1. Resta el cost variable unitari del preu: aquesta és l'aportació de cada venda per cobrir primer els costos fixos.
  $m=P-CV_u=19{,}5-7=12{,}5\;\text{€/unitat}$
2. Iguala els ingressos als costos totals i aïlla la quantitat. S'utilitza el mateix període en totes les dades.
  $Q^*=\frac{CF}{P-CV_u}=\frac{16250}{12{,}5}=1300\;\text{unitats}$
3. Calcula el resultat per a la quantitat venuda: cada unitat aporta el marge i després es descompten els costos fixos.
  $B=Q(P-CV_u)-CF=1100\cdot 12{,}5-16250=-2500\;\text{€}$
4. Interpreta el signe del resultat: hi ha pèrdues en aquest model.
Q* = 1.300 unitats. Benefici (Q = 1.100): -2.500 €.

Així surt a la PAU

Els exercicis oficials de la PAU sobre aquest tema, resolts pas a pas a EducaIA:

Els exercicis oficials de punt mort de la PAU d’Empresa de Catalunya, resolts pas a pas

Més preguntes reals d’exàmens oficials sobre aquest tema. Et diem de què van; l’enunciat és a l’examen.

Madrid 2022 convocatòria extraordinària · pregunta A.5
Calcular i representar el llindar; estudiar com canvien el benefici i l'equilibri en augmentar els costos fixos.
Obre l’examen (p. 1)
Madrid 2023 convocatòria extraordinària · pregunta A.5
Calcular les entrades mensuals d'equilibri i el benefici d'una sala; també demana un preu mínim.
Obre l’examen (p. 1)
Madrid 2024 convocatòria ordinària · pregunta A.6
Homogeneïtzar costos del període, calcular i interpretar el llindar, dibuixar-lo i obtenir el benefici d'altres vendes.
Obre l’examen (p. 1)

Errors típics

Barrejar despeses mensuals amb xifres anuals: el problema exigeix obtenir abans l'estructura de costos del mateix període.
Criteri de correcció
Introduir el cost variable total en lloc del cost variable unitari al denominador de la fórmula.
Criteri de correcció
Donar la xifra sense interpretar-la o sense situar les zones de pèrdues i beneficis quan es demana el gràfic.
Criteri de correcció
Canviar els costos fixos en el benefici i conservar el llindar antic: la solució ha de recalcular totes dues magnituds.
Criteri de correcció
Arrodonir cap avall un llindar fraccionari d'un producte que només admet unitats senceres.

Preguntes freqüents

Com es calcula el punt mort?

Divideix els costos fixos del període pel preu unitari menys el cost variable unitari. Abans comprova que el marge sigui positiu i que totes les dades corresponguin al mateix període.

El punt mort és el mateix que el llindar de rendibilitat?

Sí, en aquest model són noms de la quantitat que iguala ingressos i costos. L'equilibri no implica benefici positiu: això exigeix vendre per damunt.

El punt mort s'expressa en euros o en unitats?

La fórmula d'aquesta pàgina dona el resultat en unitats de producte. Per obtenir els ingressos en aquest punt, multiplica la quantitat d'equilibri pel preu unitari.

Què passa si el punt mort surt amb decimals?

Conserva el valor teòric en el càlcul. Si només pots vendre unitats senceres, arrodoneix cap amunt per obtenir la primera quantitat que evita pèrdues.

Com es calcula el benefici a partir del punt mort?

Amb les dades d'aquesta pàgina, calcula $B=Q(P-CV_u)-CF$ . Si no canvien ni el preu ni els costos, també pots expressar-lo com $B=(Q-Q^*)(P-CV_u)$ .

Fonts

El llindar teòric pot ser fraccionari. Si només es venen unitats senceres, arrodoneix cap amunt per trobar la primera quantitat sense pèrdues. Estar exactament en el llindar vol dir benefici nul, no benefici positiu. En el gràfic, els ingressos parteixen de l'origen i els costos totals parteixen dels costos fixos.

RD 243/2022, annex II: Empresa i Disseny de Models de Negoci, criteri 5.2 i blocs B i D; costos, ingressos i llindar de rendibilitat. Obre
EvAU Madrid 2022 extraordinària, Economia de l'Empresa, A.5: enunciat pàgina 1, criteri pàgina 3 i solució pàgina 6. Matèria històrica. Obre
EvAU Madrid 2023 extraordinària, Economia de l'Empresa, A.5: enunciat pàgina 1, criteri pàgina 3 i solució pàgina 5; l'apartat c demana a més un preu mínim. Obre
EvAU Madrid 2024 ordinària, Empresa i Disseny de Models de Negoci, A.6: enunciat pàgina 1, criteri pàgina 3 i solució pàgina 6. Obre

Escrit per EducaIA. Les solucions les comprova un programa, sense IA.

Com fem els apunts i els exercicis

L’essencial

Exemples resolts

La gràfica de l’exemple 2, pas a pas

Exercicis

Així surt a la PAU

Errors típics

Preguntes freqüents

Fonts

Tens examen d’Empresa?